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,单击此处编辑母版标题样式,第一讲 二重积分的概念与性质,内容提要,二重积分的概念与性质,教学要求,1.理解二重积分的意义与性质；,2.掌握二重积分的概念与性质。,第一讲 二重积分的概念与性质内容提要,平顶柱体体积=底面积高,曲顶为平顶.,求曲顶柱体的体积 V=？,曲顶柱体的体积,一、实例,曲顶柱体:,平面上的有界闭区域D为底，,以,侧面是以D的边界曲线为准线,母,线平行 轴的柱面所围成的图形.,以连续曲面,为顶，,以连续曲面,为顶，,例如,平顶柱体体积=底面积高曲顶为平顶.求曲顶柱体的体积 V=,曲顶柱体体积 V 求法如下：,（1）分割:,分别以这些,小区域的边界曲,线为准线，,D,曲顶柱体体积 V 求法如下：（1）分割:分别以这些小区域的边,D,(2)求每个小曲顶柱体的体积近似值,：,),(,为高,以,i,i,f,h,x,D(2)求每个小曲顶柱体的体积近似值：,),(为高以iif,(3)求近似和：,（4）取极限：,(3)求近似和：（4）取极限：,求平面薄片的质量,将区域 D,任意 分成若,干 个小区域，（如右图）,求法步骤如下：,（1）分割：,且表示该区域的面积。,（2）求近似：,求平面薄片的质量将区域 D任意 分成若干 个小区域，（如,（3）求和：,将求得的 n 个小薄片质量相加，,便得到整个薄片质量 M 的近似值：,（4）求极限：,将区域 D 无限细分，,和式的极限就是薄片的质量,抽去上述两个问题的实际意义，归纳它们的,相同点，给予定义如下：,（3）求和：将求得的 n 个小薄片质量相加，便得到整个薄片质,二、二重积分的概念,定义：,如果当各,小区域直径最大值,此和式的极限,存在,，,则称此,极限值为函数,二、二重积分的概念定义：如果当各小区域直径最大值此和式的极限,面积微元,积分变量,积分区域,被积函数,积分和式,二重积分中各种符号的称呼：,由二重积分定义，可以得出：,曲顶柱体的体积 V,平面薄片的质量 M,二重积分号,面积微元积分变量积分区域被积函数积分和式二重积分中各种符号的,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的,体积的,负值,对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义 当被,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D，如右图。,故二重积分（,在直角坐标系下,）可写为,D,即面微积元为,在二重积分的定义中，对区域 D 的划分是,任意,的，,因此，可对区域 D,进行特殊,划分,，,这样面积微元 可以,记作 ，如图,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线,三、二重积分的性质,性质,当 为常数时,，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,常数可以提到积分号之外。,三、二重积分的性质性质当 为常数时，性质（二重积分与定积,性质,(对区域具有可加性),性质,（如图1）,图1,图2,性质(对区域具有可加性)性质（如图1）图1图2,性质,若在,D,上,则有,性质若在D上则有,性质,（二重积分估值不等式）,特殊地,所以,性质（二重积分估值不等式）特殊地所以,性质,（二重积分中值定理）,性质的几何意义是：,性质（二重积分中值定理）性质的几何意义是：,解,故,解故,解,练习,解练习,解,故,解故,1.二重积分的定义,3.二重积分的性质,（7个性质）,2.二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,小 结,曲顶柱体体积,曲顶柱体体积相反数,1.二重积分的定义3.二重积分的性质（7个性质）2.二,
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