第四章复变函数的级数表示-ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主 要 内 容：,1、复数项级数及其敛散性,2、幂级数,3、泰勒级数,4、洛朗级数,第四章 级 数,1,主 要 内 容：1、复数项级数及其敛散性2、幂级数3、泰勒级,1、 复数列的极限,1 复数项级数,定义1,不收敛的数列称为发散数列.,2,1、 复数列的极限1 复数项级数定义1不收敛的数列称为发,定理1,证明,3,定理1证明3,4,4,2、 复数项级数,级数前,n,项的和,-级数的部分和,-无穷级数,定义2,设复数列,定义3,5,2、 复数项级数级数前n项的和-级数的部分和-无穷级,根据复数项级数收敛的定义，我们有,定理2,由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为,两个实数项级数的收敛问题.,6,根据复数项级数收敛的定义，我们有定理2 由,常见实级数敛散性判别法：,1）比较法；2）比值法；3）根值法；,4）交错级数的莱布尼兹判别法.,注意：定理3的逆命题不成立！,定理3,注意经常应用定理3的逆否命题！,性质,7,常见实级数敛散性判别法：1）比较法；2）比值法；3）根值法；,定理4,证明,定理5,由不等式*，我们得到,8,定理4证明定理5由不等式*，我们得到8,定义4,9,定义49,解,例2,10,解例210,11,11,2 幂级数,1、 函数项级数,定义1,设复变函数列：,-称为,复变函数项级数；,级数前,n,项的和,-级数的,部分和；,12,2 幂级数1、 函数项级数定义1设复变函数列：-,2、 幂级数,定义2,的函数项级数称为,幂级数.,13,2、 幂级数定义2的函数项级数称为幂级数.13,关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：,定理1 (-Abel定理）,.,),0,(,0,0,0,级数必绝对收敛,的,则对满足,收敛,在,若级数,z,z,z,z,z,z,c,n,n,n,=,14,关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：定理1 (-,级数皆收敛且绝对收敛.,级数皆发散.,z,0,收敛点,0,.,x,y,z,0,发散点,0,.,y,x,15,级数皆收敛且绝对收敛.级数皆发散.z0 收敛点0.xyz0发,证明,16,证明16,(2)用反证法,，,对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理.,17,(2)用反证法，对于幂级数（1），请写出相应的阿贝尔定理.1,3、幂级数的收敛圆与收敛半径,由,Abe,l,定理，,幂级数（3）,的收敛情况不外乎,下述三种情况：,(1)对所有的,z,，级数(3)都收敛.,(2,)仅在,z,=0,处,级数(3)收敛.,这时， 级数(3)在复,平面上除,z,=0,外处处发散.,18,3、幂级数的收敛圆与收敛半径由Abel定理，幂级数（3）的,显然，, .,否则，级数(3)将在,处发散.,:,定理，在圆周,由,.,),3,(,:,),3,(,发散,数,外，级,在圆周,收敛；,内，级数,b,a,b,a,=,=,z,c,z,c,Abel,19,显然， .否则，级数(3)将在处发散.:定理，在圆,故,20,故20,幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，,在圆周上可能收敛可能发散.,请分析幂级数(2)的收敛范围.,如何求幂级数的收敛半径呢?我们先讨论下面的一个定理:,21,幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，请分析幂级数(,22,22,23,23,例1,解,所以,24,例1解 所以24,综上,思考题:,提示:本题不能直接利用定理3（为什么？）.,25,综上思考题:提示:本题不能直接利用定理3（为什么？）.25,例2,求下列幂级数的收敛半径：,解,(1),26,例2 求下列幂级数的收敛半径：解 (1)26,27,27,4、幂级数的性质,定理4,-幂级数的逐项求导运算,实际上，幂级数在收敛圆内可以逐项求导至任意阶导数.,28,4、幂级数的性质定理4-幂级数的逐项求导运算,-幂级数的逐项积分运算,注：定理4为今后将函数展开成幂级数提供了极大的方便.,29,-幂级数的逐项积分运算注：定理4为今后将函数展开成幂级数,5、 幂级数的运算,与实幂级数一样，复幂级数也可以进行,代数运算.,-幂级数的加、减运算,则,30,5、 幂级数的运算与实幂级数一样，复幂级数也可以进行代数运算,-幂级数的乘法运算,（,即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数.,）,注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立. 但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较小一个收敛半径.,31,-幂级数的乘法运算（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数,-幂级数的代换(复合)运算,在函数展,成幂级数中,很有用.,例3,解：注意到,32,-幂级数的代换(复合)运算在函数展例3解：注意到32,所以,代换,展开,还原,33,所以代换展开还原33,本讲小结,1、级数收敛的定义和性质,2、Abel定理,3、幂级数的收敛半径,4、幂级数的性质,34,本讲小结1、级数收敛的定义和性质2、Abel定理3、幂级数的,3 泰勒级数,我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：一个解析函数是否能用幂级数来表示？,1、泰勒展开定理,对实函数而言，一个关键性条件是：,应在展开点处具有任意阶导数.,对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的导数，所以这一条件是满足的.,下面给出关于这一问题的结论.,35,3 泰勒级数 我们知道一个幂级数的和函,定理1（,Taylor,定理）,D,k,证明：,36,定理1（Taylor定理）Dk证明：36,D,k,z,把上面的式子代入(2),并把它改写成下面的形式,37,Dkz把上面的式子代入(2),并把它改写成下面的形式37,而(3)又可以写为,38,而(3)又可以写为38,39,39,40,40,事实上,，设,f,(,z,)用另外的方法展开为幂级数:,由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的,Taylor,级数，因而是唯一的.,41,事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:由此可见，解析,42,42,(1),直接法,-利用公式;,(2),间接法,-由,已知函数的展开式，,运用级数的代数,运算、分 析运算等方法来展开.,函数展开成,Taylor,级数的方法：,例如,43,(1)直接法-利用公式;(2)间接法-由已知函数,2、 几个初等函数的泰勒展开式,例1,解:,思考题:,44,2、 几个初等函数的泰勒展开式例1 解:思考题: 44,45,45,例2,把下列函数展开成,z,的幂级数:,解,46,例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:解46,(2)因ln(1+,z,)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内,解析， ln(1+,z,)离原点最近的一个奇点是-1,所以它的展开式的收敛范围为,z,1.,注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致.,（逐项积分、求导，收敛半径不变）,47,(2)因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内,例3,解,48,例3 解48,若,f,(,z,),在,z,0,解析,，则,f,(,z,)可以,在,z,0,的某邻域,内,展开成,z,-,z,0,的幂级数.,一个自然的问题是: 如果在环域,r,z,-,z,0, R,内解析，,f,(,z,),能否用,级数表示呢？,4 洛朗,(,Laurent,),级数,本节将讨论在以,z,0,为中心的圆环形区域内解析的函数的级数表示法. 它是后面研究的解析函数在,孤立奇点,邻域内的性质以及定义,留数,和计算留数的基础.,49,若 f (z) 在 z0 解析，则 f (,1、 双边幂级数,-,含有正负幂项的级数,定义,具有如下形式的级数,称为,双边幂级数，,正幂项(包括常数项)部分,：,负幂项部分,：,50,1、 双边幂级数-含有正负幂项的级数定义 具有如下形式,级数(2)是一幂级数，设收敛半径为,R,， 则当,z,-,z,0,R,时，,级数,发散.,51,级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R ， 则当51,z,0,r,R,z,0,R,r,52,z0rRz0Rr52,现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数,能否展开成一个双边幂级数呢？这也是本节开始提出,的问题. 关于这个问题的答案是肯定的，这就是下面,要讨论的洛朗定理.,53,现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数5,2、 函数展开成双边幂级数,定理,),5,(,),(,),(,:,),(,0,0,则,内解析,在,设,.,0,的任何一条简单闭曲线,内绕,是,z,D,c,z,z,c,z,f,R,z,z,r,D,z,f,n,n,n,-,=,-,-,=,54,2、 函数展开成双边幂级数定理)5()()(,:)(00则内,(2)在许多实际应用中，经常遇到,f,(,z,),在奇点,z,0,的去心邻域内解析，需要把,f,(,z,)展成级数， 那么就利用洛朗（,Laurent,）级数来展开.,级数（5）中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为,洛朗级数的,解析部分,和,主要部分.,55,(2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点级,由唯一性，将函数展开成,Laurent,级数，可,用间接法. 在大多数情况，均采用这一简便的方,法求函数在指定圆环域内的,Laurent,展开式.,例1,解：,56,由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可例1,例2,解：,例3,57,例2解：例357,例4,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,58,例4xyo12xyo12xyo1258,解:,59,解:59,60,60,61,61,解,(1) 在(最大的)去心邻域,例5,y,x,o,1,2,62,解 (1) 在(最大的)去心邻域例5yxo1262,(2) 在(最大的)去心邻域,x,o,1,2,练习：,y,63,(2) 在(最大的)去心邻域xo12练习：y63,本讲内容小结,1、泰勒展开定理,（函数展成幂级数的条件，系数计算公式， 收敛半径）,2、几个简单函数的泰勒展式,3、函数的间接展开,64,本讲内容小结1、泰勒展开定理（函数展成幂级数的条件，系数计算,