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,-,#,-,2.2.1,直线的倾斜角与斜率,课前篇自主预习,课堂篇探究学习,2.2.1,直线的倾斜角与斜率,2.2.1直线的倾斜角与斜率,核心素养,1,.,理解直线的倾斜角和斜率的概念,.(,数学抽象,),2,.,理解用代数的方法探索直线斜率的过程,.(,逻辑推理,),3,.,掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题,.(,数学运算,),4,.,初步理解直线的方向向量和法向量的概念,并能找出其与直线斜率和倾斜角的内在联系,.(,直观想象,逻辑推理,),思维脉络,核心素养 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象)思维,激趣诱思,知识点拨,三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽工程,大坝拥有三峡展览馆、坛子岭园区、,185,园区、近坝园区、截流纪念园等五个园区,.,俯瞰长江,泄洪观景区和,185,米水位线的观景区则是波澜壮阔、雷霆万钧,.,浩大工程展现了国人的智慧和匠心,.,大坝上不同位置有的坡度,“,陡峭,”,有的,“,平缓,”,我们平常说的词语,“,陡峭,”,和,“,平缓,”,在数学中是如何刻画的呢,?,激趣诱思知识点拨三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽工程,大坝,激趣诱思,知识点拨,1,.,直线的倾斜角,一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与,x,轴相交,将,x,轴绕着它们的交点,按逆时针方向,旋转到与直线重合时所转的,最小正角,记为,则称,为这条直线的倾斜角,;,如果这条直线与,x,轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为,0,.,这样直线倾斜角的取值范围为,0,180,)(,即,0,),.,微判断,平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角,.,(,),答案,:,微练习,直线,x=,0,的倾斜角为,.,答案,:,90,激趣诱思知识点拨1.直线的倾斜角微判断,激趣诱思,知识点拨,2,.,直线的斜率,(1),一般地,如果直线,l,的倾斜角为,则当,90,时,称,k=,tan,为直线,l,的斜率,;,当,=,90,时,称直线,l,的斜率不存在,.,(2),若,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),是直线,l,上两个不同的点,则当,x,1,x,2,时,直线,l,的,当,x,1,=x,2,时,直线,l,的斜率不存在,.,激趣诱思知识点拨2.直线的斜率,激趣诱思,知识点拨,名师点析,斜率与倾斜角的对应关系,激趣诱思知识点拨名师点析 斜率与倾斜角的对应关系,激趣诱思,知识点拨,微判断,(1),任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率,.,(,),(2),任何一条直线有且只有一个斜率和它对应,.,(,),(3),一个倾斜角,不能确定一条直线,.,(,),(4),两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),微练习,下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是,(,),A.(4,2),与,(,-,4,1),B.(0,3),与,(3,0),C.(3,-,1),与,(2,-,1)D.(,-,2,2),与,(,-,2,5),解析,:,选项,D,中,因为,x,1,=x,2,=-,2,所以直线垂直于,x,轴,倾斜角为,90,即斜率不存在,.,答案,:,D,激趣诱思知识点拨微判断,激趣诱思,知识点拨,微思考,直线的斜率越大,倾斜角越大,对吗,?,提示,:,不对,它们之间的变化规律如下,:,当,0,90,时,随,的增大,斜率,k,在,0,+,),范围内增大,;,当,=,90,时,斜率不存在,;,当,90,180,时,随,的增大,斜率,k,在,(,-,0),范围内增大,.,激趣诱思知识点拨微思考,激趣诱思,知识点拨,3,.,直线的方向向量和直线的法向量,定义,符号表示,方向向量,如果表示非零向量,a,的有向线段所在的直线与直线,l,平行或重合,则称向量,a,为直线,l,的一个方向向量,a,l,法向量,如果表示非零向量,v,的有向线段所在直线与直线,l,垂直,则称向量,v,为直线,l,的一个法向量,v,l,激趣诱思知识点拨3.直线的方向向量和直线的法向量 定义符号,激趣诱思,知识点拨,微思考,已知直线,l,:,y=,3,x+,1,你能给出这条直线的方向向量,a,和法向量,v,吗,?,该直线的斜率是多少,?,提示,:,(1),先在直线上取两点,A,(1,4),B,(2,7),则可令,a,=,(1,3),那么,v,=,(3,-,1),.,因此,(1,3),是直线,l,的一个方向向量,(3,-,1),是直线,l,的一个法向量,.,激趣诱思知识点拨微思考,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,直线的倾斜角,例,1,(1),直线,x=-,1,的倾斜角为,(,),A.135,B.90,C.45,D.0,(2),下列说法正确的是,(,),A.,一条直线和,x,轴的正方向所成的角,叫做这条直线的倾斜角,B.,直线的倾斜角,在第一或第二象限,C.,和,x,轴平行的直线,它的倾斜角为,0,D.,不是每一条直线都有倾斜角,(3),已知直线,l,经过第二、四象限,则直线,l,的倾斜角,的取值范围是,(,),A.0,90,)B.90,180,),C.(90,180,)D.(0,180,),探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测直线的倾斜角,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,解析,:,(1),因为直线与,x,轴垂直,所以倾斜角为,90,.,(2),由倾斜角的定义可知,A,错误,;,倾斜角的范围是,0,180,),故,B,错误,;,和,x,轴平行的直线的倾斜角是,0,故,C,正确,;,每条直线都有倾斜角,故,D,错误,.,(3),直线倾斜角的取值范围是,0,180,),又直线,l,经过第二、四象限,所以直线,l,的倾斜角,的取值范围是,(90,180,),.,答案,:,(1)B,(2)C,(3)C,反思感悟,求直线的倾斜角的方法及注意点,(1),方法,:,结合图形,利用特殊三角形,(,如直角三角形,),求角,.,(2),两点注意,:,当直线与,x,轴平行或重合时,倾斜角为,0,;,当直线与,x,轴垂直时,倾斜角为,90,;,注意直线倾斜角的取值范围,.,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:(1)因为直线,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,变式训练,1,(1),已知直线,l,的倾斜角为,-,25,则角,的取值范围为,(,),A.25,155,),B.,-,25,155,),C.0,180,),D.25,205,),(2),已知直线,l,向上方向与,y,轴正向所成的角为,30,则直线,l,的倾斜角为,.,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1(1)已知,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,解析,:,(1),因为直线,l,的倾斜角为,-,25,所以,-,25,0,180,),所以,25,205,),.,(2),有两种情况,:,如图,直线,l,向上方向与,x,轴正向所成的角为,60,即直线,l,的倾斜角为,60,;,如图,直线,l,向上方向与,x,轴正向所成的角为,120,即直线,l,的倾斜角为,120,.,答案,:,(1)D,(2)60,或,120,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:(1)因为直线,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,直线的斜率和倾斜角的关系,例,2,已知直线,l,过点,M,(,m+,1,m-,1),N,(2,m,1),.,(1),当,m,为何值时,直线,l,的斜率是,1?,(2),当,m,为何值时,直线,l,的倾斜角为,90,?,分析,(1),根据斜率公式列出关于,m,的方程即可,;,(2),当直线倾斜角为,90,时,利用直线上点的横坐标相等这一特征列等式即可,.,(2),因为直线,l,的倾斜角为,90,所以直线,l,的斜率不存在,所以,m+,1,=,2,m,所以,m=,1,.,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测直线的斜率和倾斜角的,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,反思感悟,通过本例的求解,一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对应关系,若直线斜率存在,则除了斜率公式之外还可以应用,k=,tan,(,其中,为直线的倾斜角,k,为直线的斜率,),斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引起重视,.,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 通过本例的,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,延伸探究,(1),本例条件不变,试求直线,l,的倾斜角为锐角时实数,m,的取值范围,.,(2),若将本例中的,“,N,(2,m,1)”,改为,“,N,(3,m,2,m,)”,其他条件不变,结果如何,?,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究(1)本例,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,求直线的方向向量和法向量,例,3,已知直线过点,A,(,-,1,-,2),B,(3,2),试求,:,直线的一个方向向量,a,法向量,v,斜率,k,与倾斜角,.,得,=,45,.,综上可知,该直线的一个方向向量为,(4,4),法向量为,(4,-,4),斜率为,1,倾斜角为,45,.,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测求直线的方向向量和法,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,反思感悟,1,.,求解一条直线的方向向量、法向量、斜率、倾斜角问题,首先明确其定义,.,2,.,利用相应的计算公式以及理解它们之间的内在联系,尤其是可以根据方向向量进而得出法向量,也可以根据方向向量求斜率,.,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 1.求解一,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,变式训练,2,请写出法向量为,(1,2),的一个一次函数,(,答案不唯一,),.,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2请写出法向,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,斜率公式的综合应用,例,4,已知实数,x,y,满足,y=-,2,x+,8,且,2,x,3,求,的最大值和最小值,.,分析,根据,的几何意义,本题的实质是求线段,y=-,2,x+,8(2,x,3),上的点与原点连线的斜率的最值,.,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测斜率公式的综合应用,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,变式训练,3,(1),若过点,P,(1,-a,1,+a,),与,Q,(3,2,a,),的直线的倾斜角为钝角,则实数,a,的取值范围是,.,(2),求证,A,(1,5),B,(0,2),C,(2,8),三点共线,.,(1),解析,:,因为直线的倾斜角为钝角,所以直线的斜率小于,0,答案,:,(,-,2,1),探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3(1)若过,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,易错点,因忽略斜率不存在的情况而致错,案例,设直线,l,过点,A,(7,12),B,(,m,13),求直线,l,的斜率,k,并说明倾斜角,的取值范围,.,错因分析,上述产生错误的根源是没有讨论,m=,7,这种斜率不存在的情形,.,正解,:,当,m=,7,时,直线,l,与,x,轴垂直,斜率不存在,倾斜角,=,90,;,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测易错点因忽略斜率,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,防范措施,要明确直线的斜率公式是在,x,1,x,2,的条件下才成立的,当,x,1,=x,2,时斜率是不存在的,.,因此在遇到点的坐标有参数存在时,要注意参数的取值范围,若不能排除斜率不存在的情形,则需要进行分类讨论,.,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测防范措施要明确直线的,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,迁移应用,若直线,l,的斜率,k,1,求
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