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, , , , , ,*,*,*, , , , , , ,*,*,*, , , , , , ,*,*,*, , , , , , ,*,*,*, , , , , , ,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,上页 下页 返回,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,上页 下页 返回,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,上页 下页 返回,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,上页 下页 返回,第三章,多维随机变量及其分布,关键词：,二维随机变量,分布函数 分布律 概率密度,边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度,条件分布函数 条件分布律 条件概率密度,随机变量的独立性,Z=X+Y,的概率密度,M=max(X,Y),的概率密度,N=min(X,Y),的概率密度,1,1,二维随机变量,问题的提出,例,1,：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高,H,的分布或仅研究体重,W,的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。,例,2,：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。,2,定义：设,E,是一个随机试验，样本空间,S=e,；,设,X=X(e),和,Y=Y(e),是定义,在,S,上的随机变量，由它们构成的,向量,(X,Y),叫做二维随机向量,或二维随机变量。,0,S,e,定义：设,(X,Y),是二维随机变量对于任意实数,x,y,，,二元函数,称为二维随机变量,(X,Y),的分布函数。,3,几何意义,(X,Y),平面上随机点的 坐标,即为随机点,(X,Y),落在以点,(,x,y,),为顶点,位于该点左下方的无穷矩形区域,G,内的概率值。,4,分布函数 的性质,x,1,x,2,(x,1,y),(x,2,y),y,y,2,x,y,1,(x,y,1,),(x,y,2,),5,0,6,2.,二维离散型随机变量的联合分布,中心问题,：,(X,Y),取这些,可能,值的概率分别为多少？,定义,若二维,r.v,.,（,X,，,Y,）所有可能的取值是有限对或无限可列对，则称（,X,，,Y,）是二维离散型随机变量。,则,(1),公式法,二维（,X,，,Y,）,的联合分布律,:,(2),表格法,X,Y,(X,Y),的概率分布表：,描述,(X,Y),的取值规律,例,1,：,将一枚硬币连掷三次，令,X=,“,正面出现的次数,”,，,Y=,“,正反面次数之差的绝对值,”,，试求,(X,Y),的联合分布律。,（,0,3,）（,1,1,）（,2,1,）（,3,3,）,P(X=0,Y=3)=P(,反反反,)=1/8,解,:,(X,Y),所有可能的取值为：,0,1,2,3,1,0,3/8,3/8,0,3,1/8,0,0,1/8,X,Y,例,2:,设随机变量,X,在,1,2,3,4,中随机地取一个数,另一随机变量,Y,在,1,到,X,中随机地取一整数,.,求,(X,Y),的,分布律。,分析,(X,Y),所有可能的取值为：,(1,1); (2,1),、,(2,2); (3,1),、,(3,2),、,(3,3); (4,1),、,(4,2),、,(4,3),、,(4,4).,解：,设,X,可能的取值为,Y,可能的取值为,则：,1,2,3,4,1,1/4,1/8,1/12,1/16,2,0,1/8,1/12,1/16,3,0,0,1/12,1/16,4,0,0,0,1/16,(X,Y),的联合分布律为,:,X,Y,二维连续型随机变量,14,说明,(2),的性质,分布函数 是连续函数,. (,因为,是积分上限函数,),反映,(X,Y),落在 处附近的概率大小,概率微分,描述,(X,Y),的取值规律,G,18,1,例,3,：设二维随机变量,(X,Y),具有概率密度：,19,20,例,4,：设二维随机变量,(X,Y),具有概率密度,(1),求常数,k,；,(2),求概率,解：,1,21,2,边缘分布,二维随机变量,(X,Y),作为整体，有分布函数,其中,X,和,Y,都是随机变量，它们的分布函数,记为：,称为,边缘分布函数,。,事实上，,22,对于,离散型,随机变量,(X,Y),，,分布律为,p,11,p,12,p,1j,p,1,p,21,p,22,p,2j,p,2,p,i1,p,i2,p,ij,p,i,X,Y,y,1,y,2,y,j,p,1,p,2,p,.j,1,X,Y,的边缘分布律为：,注意：,23,我们常在表格上直接求边缘分布律,X,Y,1,例,:,求例,1,中二维随机变量,(X,Y),关于,X,与,Y,的边缘分布律,.,0,1,2,3,1,0,3/8,3/8,0,3,1/8,0,0,1/8,1,X,与,Y,的边缘分布律如下,:,0,1,2,3,Y,1,3,对于,连续型,随机变量,(X,Y),，,概率密度为,事实上，,同理：,X,Y,的边缘概率密度为：,27,例,2,：,(X,Y),的联合分布律为,求：,(1)a,b,的值；,(2)X,Y,的边缘分布律；,(3),Y,X,-1,1,0,0.2,0.1,a,1,2,0.1,0.2,b,X,1,0.4,2,0.6,Y,0.3,0.5,-1,1,0,0.2,(2),解：,(1),由分布律性质知,a+b+0.6=1,即,a+b=0.4,28,例,3,：设,G,是平面上的有界区域，其面积为,A,，,若二维随机变量,(X,Y),具有概率密度,则称,(X,Y),在,G,上服从,均匀分布,。,现设,(X,Y),在有界区域上均匀分布，其概率密度为 求边缘概率密度,解：,29,30,二维正态分布的图形,31,32,作业题,P.84 2,、,3,、,5,、,6,、,8,、,9,33,1.,当（,X,，,Y,）为离散型,三,.,二维随机变量的条件分布,定义,在,(X,Y),中，当一个随机变量取固定值的条件下，另一个随机变量的分布，此分布为,条件分布,在 条件下，,X,的条件分布,固定值,自变量,同理,总和,分量,1/16,1/12,0,0,3,1/16,0,0,0,4,1/16,1/12,1/8,0,2,1/16,1/12,1/8,1/4,1,4,3,2,1,X,Y,1/4,1/4,1/4,1/4,25/48,13/48,7/48,3/48,例,8,在例,2,中，,求：,(1),在,X=,3,的条件下,Y,的条件分布律；,(2),求在,Y=1,的条件下,X,的条件分布律。,因为：,所以，,类似可求：,2.,当（,X,，,Y,）,为连续型,固定值,自变量,总和,分量,例,:,设二维随机变量,(X,Y),的,概率密度为：,解,独立性,独立性,复习,:,两个事件,A,与,B,独立性的定义,P(AB)=P(A)P(B),四、随机变量的独立性,1,、定义,：,设,X,与,Y,是两个随机变量,若对任意的,(1),由定义可知,：若,X,与,Y,独立,则,(2),离散型,随机变量,，,X,与,Y,相互独立的充要条件为,:,(3),连续型随机变量，,X,与,Y,相互独立的充要条件为,:,2,、,随机变量独立性的重要结论,(4),联合分布和边缘分布的关系,联合分布,边缘分布,条件：独立性,例,:,设二维随机变量,(X,Y),的,概率密度为,:,Y,X,0,1,P(y=j),1,2,P(X=i),Y,X,0,1,P(y=j),1,2,P(X=i,),51,52,53,54,一般,n,维随机变量的一些概念和结果,55,边缘分布,如：,56,相互独立,57,作业题,P.86,：,12,、,14,、,16,、,17(1),58,1. (X,Y),离散,加法,使 对应的,(X,Y),的那些可能值,其概率之和,5,两个随机变量的函数的分布,59,例,1:,设二维随机变量,(X,Y),的分布律为,:,0,1,2,3,1,0,3/8,3/8,0,3,1/8,0,0,1/8,求,Z=X+Y,的分布律,.,解,:,Z,的所有取值为,:,1, 2, 3, 4, 5, 6.,60,Z,1,2,3,4,5,6,p,k,0,3/8,4/8,0,0,1/8,61,2. (X,Y),连续型,方法,:,分布函数法,62,下面我们就几个具体的函数来讨论,Z=X+Y,的分布,由概率密度的定义可得,Z,的概率密度为：,固定,特别地，当,X,和,Y,相互独立时，上述两式变为（称为,卷积公式,）：,例,1:,设,X,和,Y,是两个相互独立的随机变量,它们都服从,N(0,1),即有,求,Z=X+Y,的概率密度。,解：,由卷积公式,结论,:,分布的可加性,例,2:,设随机变量,X,与,Y,独立同分布，,X,的概率密度为：,求,Z=X+Y,的概率密度。,解：,由卷积公式,0,1,2. M=max(X,Y),及,N=min(X,Y),的分布,设,X,Y,是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,F,X,(x),和,F,Y,(y,),。,由于,现在来求,M=,max(X,Y,),及,N=,min(X,Y,),的分布函数。,(1)M=,max(X,Y,),的分布函数为：,(2) N=,min(X,Y,),的分布函数为：,例,1,：,设系统,L,由两个相互独立的子系统,L,1,，,L,2,联接而成，联接方式分别为,: (1),串联,;(2),并联,;(3),备用,(,当,L,1,损坏时，,L,2,开始工作,),，如图所示。,（1）,（2）,（3）,L,1,，,L,2,的寿命分别用,X,，,Y,表示，已知它们的概率密度分别为,:,试就以上三种联接方式分别写出,L,的寿命,Z,的概率密度,.,解,:(1),串联的情况,:,Z = min (X,Y),X,Y,的分布函数分别为：,Z = min (X,Y),的分布函数为：,Z,的概率密度为,:,（,2,）并联的情况：,Z=,max(X,Y,),Z = max (X,Y),的分布函数为：,Z,的概率密度为,:,（,3,）备用的情况：,Z=X+Y,Z,的概率密度为,:,81,作业题,P.87,：,24,题、,29,题、,36,题,82,复习,联合分布函数，联合分布律，联合概率密度,83,复习,-,边缘分布,84,复习,-,条件分布律，条件密度函数,85,(1),由定义可知,：若,X,与,Y,独立,则,(2),离散型,随机变量,，,X,与,Y,相互独立的充要条件为,:,(3),连续型随机变量，,X,与,Y,相互独立的充要条件为,:,随机变量独立性的重要结论,86,1. (X,Y),离散,加法,使 对应的,(X,Y),的那些可能值,其概率之和,5,两个随机变量的函数的分布,87,2. (X,Y),连续型,方法,:,分布函数法,88,特别地，当,X,和,Y,相互独立时，上述两式变为（称为,卷积公式,）：,89,(2),X,Y,相互独立时，,M=,max(X,Y,),的分布函数为：,90,(3),X,Y,相互独立时，,N=,min(X,Y,),的分布函数为：,91,
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