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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,专题四：数列通项的求法,主讲人：,卢高东,专题四：数列通项的求法主讲人：卢高东,1,数列的通项公式是数列的核心之一，有了数列通项就可以求出任何一项及其前,n,项和研究数列的通项往往是解题的关键点和突破口,常用的求数列通项公式的方法有：,观察归纳法；,定义法；,递推公式法；,由,S,n,求,a,n,法,.,数列的通项公式是数列的核心之一，有了数列通项,2,反思：观察各项的结构特点、项与序号之间的关系、项与项之间的关系，进行类比、归纳、猜想,精讲精练,观察归纳法,例,1,根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：,（,1,）,3,，,15,，,35,，,63,，,99,，,（,2,）,5,，,55,，,555,，,5555,，,55555,，,（,3,）,2,，,0,，,2,，,0,，,2,，,（,4,）,1,，,3,，,3,，,5,，,5,，,7,，,7,，,9,，,9,，,（,1,）,a,n,=,（,2,n,-1)(2,n,+1),（,3,）,a,n,=(-1),n,+1,+1,反思：观察各项的结构特点、项与序号之间的关系、项与项之间的关,3,例,2,（,1,）（,2009,陕西卷）设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,a,6,=,S,3,=12,，则,a,n,=_,（,2,）（,2010,福建卷）在等比数列,a,n,中，若公比为,4,，且前,3,项之和等于,21,，则该数列的通项公式,a,n,=_,4,n,-1,精讲精练,定义法,2,n,反思：利用定义法求数列通项时，要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项,例2（1）（2009陕西卷）设等差数列an的前n项和为,4,例,3,（,2009,陕西卷）已知数列,a,n,满足，,a,1,=1,，,a,2,=2,，,2,a,n,+2,=,a,n,+,a,n,+1,（,1,）令,b,n,=,a,n,+1,-,a,n,，证明：,b,n,为等比数列；,（）求,a,n,的通项公式,（,1,）证：,b,1,=,a,2,-,a,1,=1,，,精讲精练,递推公式法,累加法,b,n,是以,1,为首项，为公比的等比数列,例3（2009陕西卷）已知数列an满足，a1=1，a2,5,例,3,（,2009,陕西卷）已知数列,a,n,满足，,a,1,=1,，,a,2,=2,，,2,a,n,+2,=,a,n,+,a,n,+1,（,1,）令,b,n,=,a,n,+1,-,a,n,，证明：,b,n,为等比数列；,（）求,a,n,的通项公式,（,2,）解：由（,1,）知,b,n,=,a,n,+1,-,a,n,=,当,n,=1,时也适合,精讲精练,递推公式法,累加法,反思：,a,n,+1,=,a,n,+,f,(,n,),型用累加法,例3（2009陕西卷）已知数列an满足，a1=1，a2,6,例,4,数列,a,n,中，,求数列,a,n,的通项公式,解：由已知得,精讲精练,递推公式法,累乘法,反思：,a,n,+1,=,f,(,n,),a,n,型用累乘法,例4 数列an中，解：由已知得精讲精练递推公式法,7,例,5,数列,a,n,中，,a,1,=1,，,a,n,+1,=3,a,n,+2,，求数列,a,n,的通项公式,解：由已知得,a,n,+1,+1=3,（,a,n,+1,），,a,n,+1,是一个首项为,2,，公比为,3,的等比数列，,a,n,+1=23,n,-1,，,故,a,n,=23,n,-1,-1,精讲精练,递推公式法,构造法,反思：,a,n,+1,=,p,a,n,+,q,型用构造法,化为,a,n,+1,-,t,=,p,(,a,n,-,t,),例5 数列an中，a1=1，an+1=3an+2，求数,8,例,6,数列,a,n,中，,a,1,=4,，,a,n,=3,a,n,-1,+2,n,-1,（,n,1,），求数列,a,n,的通项公式,解：设,b,n,=,a,n,+,An,+,B,，则,a,n,=,b,n,-,An,-,B,，将,a,n,，,a,n,-1,代入得,b,n,-,An,-,B,=3,b,n,-1,-,A,(,n,-1)-,B,+2,n,-1,=3,b,n,-1,-(3,A,-2),n,-(3,B,-3,A,+1),，,A,=3,A,-2,且,B,=3,B,-3,A,+1,，得,A,=,B,=1,，,取,b,n,=,a,n,+,n,+1,，则,b,n,=3,b,n,-1,，又,b,1,=6,，,b,n,=63,n,-1,，故,a,n,=23,n,-,n,-1,精讲精练,递推公式法,构造法,反思：,a,n,+1,=,p,a,n,+,f,(,n,),型用构造法,例6 数列an中，a1=4，an=3an-1+2n-1,9,例,7,（,2008,全国,2,卷）数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，,a,1,=1,，,S,n,+1,=4,a,n,+2,，设,b,n,=,a,n,+1,-2,a,n,，证明数列,b,n,是等比数列，并求数列,a,n,的通项公式,解：当,n,=1,时，,a,1,+,a,2,=4,a,1,+2,，得,a,2,=3,a,1,+2=5,，,当,n,2,时，有,S,n,=4,a,n,-1,+2,，得,a,n,+1,=4,a,n,-4,a,n,-1,，,a,n,+1,-2,a,n,=2(,a,n,-,a,n,-1,),，又,b,n,=,a,n,+1,-2,a,n,，,b,n,=2,b,n,-1,，,b,n,=32,n,-1,，,a,n,+1,-2,a,n,=32,n,-1,，,精讲精练,递推公式法,构造法,反思：,a,n,+1,=,p,a,n,+,q,n,型用构造法,例7（2008全国2卷）数列an的前n项和为Sn，a1,10,例,8,数列,a,n,中，,a,1,=2,，,求数列,a,n,的通项公式,解：由已知得,精讲精练,递推公式法,构造法,例8 数列an 中，a1=2，解：由已知得精讲精练,11,例,9,（,2009,浙江卷）数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，,S,n,=,kn,2,+,n,，求,a,1,及,a,n,解：当,n,=1,时，,a,1,=,S,1,=,k,+1,，,当,n,2,时，,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,=,kn,2,+,n,-,k,(,n,-1),2,+(,n,-1),=2,kn,-,k,+1,，当,n,=1,时也成立，,a,n,=2,kn,-,k,+1.,精讲精练,由,S,n,求,a,n,法,例9（2009浙江卷）数列an的前n项和为Sn，Sn=,12,例,10,数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，已知,a,1,=,a,，,a,n,+1,=,S,n,+3,n,，,b,n,=,S,n,-3,n,，求,b,n,，,a,n,解：由题意知，,S,n,+1,-,S,n,=,S,n,+3,n,，,S,n,+1,=2,S,n,+3,n,，,S,n,+1,-3,n,+1,=2(,S,n,-3,n,),，即,b,n,+1,=2,b,n,，,又,b,1,=,a,-3,，,b,n,=(,a,-3)2,n,-1,精讲精练,由,S,n,求,a,n,法,例10 数列an的前n项和为Sn，已知a1=a，an+1,13,练习,1,根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：,（,1,）,1,，,3,，,7,，,15,，,31,，,（,1,）,a,n,=2,n,-1,精讲精练,观察归纳法,练习1 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：（,14,练习,2,（,2009,福建卷）等比数列,a,n,中，已知,a,1,=2,，,a,4,=16,（,1,）求数列,a,n,的通项公式；,（,2,）若,a,3,，,a,5,分别为等差数列,b,n,的第,3,项和第,5,项，试求数列,b,n,的通项公式,（,1,）,a,n,=2,n,精讲精练,定义法,（,2,）,b,n,=12,n,-28,练习2（2009福建卷）等比数列an中，已知a1=2，,15,练习,3,（,2009,全国,1,卷）数列,a,n,中，,a,1,=1,，,求数列,b,n,的通项公式,解：由已知得,利用累加法可求得,精讲精练,递推公式法,累加法,练习3（2009全国1卷）数列an中，a1=1，解：由,16,练习,4,数列,a,n,中，,求数列,a,n,的通项公式,解：由已知得,精讲精练,递推公式法,累乘法,练习4 数列an中，解：由已知得精讲精练递推公式法,17,练习,5,（,2010,全国,1,卷）数列,a,n,中，,求数列,b,n,的通项公式,解：由已知得,精讲精练,递推公式法,构造法,练习5（2010 全国1卷）数列an中，解：由已知得精讲,18,练习,6,数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，,S,n,=2,n,2,+,n,+1,，求通项,a,n,解：当,n,=1,时，,a,1,=,S,1,=4,，,当,n,2,时，,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,=,2n,2,+,n,+1-2(,n,-1),2,+(,n,-1)+1,=4,n,-1,，当,n,=1,时不成立，,精讲精练,由,S,n,求,a,n,法,练习6 数列an的前n项和为Sn，Sn=2n2+n+1，,19,2.,在数列,a,n,中，,a,1,=2,，,则,a,n,=,（）,（,A,）,2+ln,n,（,B,）,2+(,n,-1)ln,n,（,C,）,2+,n,ln,n,（,D,）,1+,n,+ln,n,强化提高,1.,根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：,1,，,3,，,6,，,10,，,15,，,A,2.在数列an中，a1=2，强化提高1.根据下面数列的前,20,强化提高,3.,数列,a,n,为各项都是正整数的等差数列，其前项和为,S,n,，数列,b,n,为等比数列，且,a,1,=3,，,b,1,=1,，数列 是公比为,64,的等比数列，,b,2,S,2,=64,求,a,n,，,b,n,解：设,a,n,的公差为,d,，,b,n,的公比为,q,，,则,d,为正整 数，,a,n,=3+(,n,-1),d,，,b,n,=,q,n,-1,，,依题意有,由,(6-,d,),q,=64,知,q,为正有理数，,故,d,为,6,的因子,1,，,2,，,3,，,6,之一，解得,d,=2,，,q,=8,，,故,a,n,=3+2(,n,-1)=2,n,+1,，,b,n,=8,n,-1,强化提高3.数列an为各项都是正整数的等差数列，其前项和,21,4.,数列,a,n,中，,求数列,a,n,的通项公式,解：由已知，当,n,2,时，,强化提高,当,n,=1,时，上式也成立,.,4.数列an中，解：由已知，当n2时，强化提高当n=1,22,5.,数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，,求数列,a,n,的通项公式,解：当,n,=1,时，,a,2,=2,S,1,=2,a,1,=2,，,当,n,2,时，,a,n,+1,-,a,n,=2,S,n,-2,S,n,-1,=2,a,n,，,即,a,n,+1,=3,a,n,，,对于,n,=1,上式不符合，,强化提高,5.数列an的前n项和为Sn，解：当n=1时，a2=2S,23,6.,数列,a,n,中，,求数列,a,n,的通项公式,解：由已知得，,强化提高,采用累加法，得,6.数列an中，解：由已知得，强化提高采用累加法，得,24,饭卡打开巴士风格反对广泛的,的非官是大
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