新教材人教版高中数学必修A第二册--6.2.3-向量的数乘运算课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/2/11,#,6,.,2,.,3,向量的数乘运算,6.2.3向量的数乘运算,新教材人教版高中数学必修A第二册-6,一,二,三,一、向量的数乘运算,1,.,思考,(1),质点从点,O,出发做匀速直线运动,若经过,1 s,的位移对应的向量用,a,表示,那么在同方向上经过,3 s,的位移所对应的向量是多少,?,提示,3,a,(2),已知非零向量,a,作出,a,+,a,+,a,和,(,-,a,),+,(,-,a,),+,(,-,a,),.,一二三一、向量的数乘运算(2)已知非零向量a,作出a+a+,一,二,三,(3),上述两个和向量有什么几何意义,?,提示,类似数的乘法,我们把,a,+,a,+,a,记作,3,a,即,=,3,a,.,显然,3,a,的方向与,a,的方向相同,3,a,的长度是,a,的长度的,3,倍,即,|,3,a,|=,3,|,a,|.,同样,把,(,-,a,),+,(,-,a,),+,(,-,a,),记作,3(,-,a,),.,显然,3(,-,a,),的方向与,a,的方向相反,3(,-,a,),的长度是,a,的长度的,3,倍,这样,3(,-,a,),=-,3,a,.,一二三(3)上述两个和向量有什么几何意义?,一,二,三,2,.,填空,一二三2.填空,一,二,三,3,.,做一做,(1),若,|,a,|=,3,|,b,|=,则,|-,2,a,|=,|,3,b,|=,.,(2),若,a,与,b,是相反向量,则,5,a,与,-,4,b,的方向,.,一二三3.做一做,一,二,三,二、数乘向量的运算律,1,.,思考,(1),我们学习过的实数乘法有哪些运算律,?,提示,乘法交换律,:,ab=ba,;,乘法结合律,:(,ab,),c=a,(,bc,);,乘法分配律,:,a,(,b+c,),=ab+ac.,其中,a,b,c,表示任意实数,.,一二三二、数乘向量的运算律,一,二,三,(2),已知向量,a,请通过作图判断以下结论是否成立,.,3(2,a,),=,6,a,;,(2,+,3),a,=,2,a,+,3,a,;,2(,a,+,b,),=,2,a,+,2,b,.,提示,各式均成立,(,如图,),.,一二三(2)已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.提示,一,二,三,2,.,填空,(1),数乘向量的运算律,(,a,),=,(,),a,;,(,+,),a,=,a,+,a,;,(,a,+,b,),=,a,+,b,.,特别地,有,(,-,),a,=,-,(,a,),=,(,-,a,),;,(,a,-,b,),=,a,-,b,.,(2),向量的,加法,、,减法,、,数乘,运算统称为向量的线性运算,.,向量线性运算的结果仍是向量,.,对于任意向量,a,b,以及任意实数,1,2,恒有,(,1,a,2,b,),=,1,a,2,b,.,一二三2.填空,一,二,三,3,.,做一做,A.2,a,+,3,b,B.,a,-,3,b,C.2,a,-,3,b,D.2,a,-,2,b,答案,:,C,一二三3.做一做,一,二,三,三、共线向量定理,1,.,思考,(1),数乘向量,a,(,R,),与原向量,a,(,a,0,),之间有什么关系,?,提示,设,b,=,a,可知,a,与,b,共线,.,(2),上述结论反过来如何表述,?,还成立吗,?,提示,反过来可表述为,:,如果向量,a,(,a,0,),与,b,共线,那么存在唯一的,R,使,b,=,a,成立,.,这一结论是正确的,证明如下,:,已知,a,(,a,0,),与,b,共线,由向量数乘的定义知,:,当,b,=,0,时,b,=,a,(,a,0,),此时,=,0,.,一二三三、共线向量定理,一,二,三,(3),向量共线定理中为什么要注明,“,a,0,”?,提示,如果,a,=,0,则,a,=,0,当,b,为非零向量时,a,与,b,共线,但,b,a,定理不成立,;,当,b,=,0,时,b,=,a,但,可以取任意实数,.,2,.,填空,(1),向量,a,(,a,0,),与,b,共线的充要条件是,:,存在唯一一个实数,使,b,=,a,.,(2),要证明向量,a,b,共线,只需证明存在实数,使得,b,=,a,即可,.,(3),若,b,=,a,(,R,),则,a,与,b,共线,.,一二三(3)向量共线定理中为什么要注明“a0”?,一,二,三,3,.,做一做,(1),若向量,e,1,e,2,不共线,则下列各组中,向量,a,b,共线的有,.,(,填序号,),a=,2,e,1,b=-,2,e,1,;,a=e,1,-e,2,b=-,2,e,1,+,2,e,2,;,a=e,1,+e,2,b=,2,e,1,-,2,e,2,.,答案,:,解析,:,中,a,=-,b,所以,a,b,共线,;,中,b,=-,2,a,所以,a,b,共线,;,中,a,=,4,b,所以,a,b,共线,;,中,不存在,R,使,a,=,b,所以,a,b,不共线,.,一二三3.做一做,一,二,三,(2),判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“,”,错误的打“,”,.,向量,a,与,a,的方向不是相同就是相反,.,(,),若向量,a,和,b,共线,则必有,b,=,a,.,(,),答案,:,一二三(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,向量的线性运算,例,1,(1),化简下列各向量表达式,:,分析,(1),根据向量的线性运算法则求解,;(2),运用实数的二元一次方程组的解法求解,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练向量的线性运算,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,反思感悟,向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可以合并,即,“,合并同类项,”“,提取公因式,”,这里的,“,同类项,”“,公因式,”,指的是向量,.,运算时要遵循括号内运算优先的原则,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 向量的线性运算,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,A.2,a,-,b,B.2,b,-,a,C.,b,-,a,D.,a,-,b,(2),已知,2,a,-,b,=,m,a,+,3,b,=,n,那么,a,b,用,m,n,可以表示为,a,=,b,=,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练A.2a-bB.2b-a,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,共线向量定理及其应用,角度,1,向量共线的判定,例,2,判断下列各小题中的向量,a,b,是否共线,(,其中,e,1,e,2,是两非零不共线向量,),.,(1),a,=,5,e,1,b,=-,10,e,1,;,(3),a,=,e,1,+,e,2,b,=,3,e,1,-,3,e,2,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练共线向量定理及其应用,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,解,:,(1),b,=-,2,a,a,与,b,共线,.,(3),设,a,=,b,则,e,1,+,e,2,=,(3,e,1,-,3,e,2,),(1,-,3,),e,1,+,(1,+,3,),e,2,=,0,.,e,1,与,e,2,是两非零不共线向量,1,-,3,=,0,1,+,3,=,0,.,这样的,不存在,因此,a,与,b,不共线,.,反思感悟,向量共线的判定一般是用其判定定理,即,a,是一个非零向量,若存在唯一一个实数,使得,b,=,a,则向量,b,与非零向量,a,共线,.,解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)b=-2a,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,角度,2,用已知向量表示未知向量,答案,:,C,反思感悟,用已知向量来表示另外一些所求未知向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理,相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2用已知向量表示未知,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,角度,3,证明三点共线问题,反思感悟,1,.,证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线,两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据,.,2,.,若,A,B,C,三点共线,则向量,在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两个向量之间存在线性关系,而向量共线定理是实现线性关系的依据,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度3证明三点共线问题,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,(1),求证,:,A,B,M,三点共线,;,(2),若点,B,在线段,AM,上,求实数,的取值范围,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)求证:A,B,M三点,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,角度,4,求参问题,答案,:,A,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度4求参问题 答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,答案,:,C,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,向量线性运算的综合应用,角度,1,求解三角形的面积比,答案,:,D,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练向量线性运算的综合应用答案,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,答案,:,C,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,角度,2,解决三角形的四心问题,答案,:,B,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2解决三角形的四心问,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,A.,外心,B.,重心,C.,垂心,D.,内心,答案,:,B,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练A.外心B.重心,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,对共线向量的条件理解不清致误,典例,已知非零向量,e,1,和,e,2,试判断,3,e,1,+,2,e,2,与,3,e,1,-,2,e,2,是否共线,.,错解,:,若存在实数,使,3,e,1,+,2,e,2,=,(3,e,1,-,2,e,2,),则,3,e,1,+,2,e,2,=,3,e,1,-,2,e,2,即,(3,-,3,),e,1,=,(,-,2,-,2),e,2,错解错在什么地方,?,你能发现吗,?,怎样避免这类错误呢,?,提示,错解中对向量共线的条件理解不清,只有当,e,1,e,2,不共线,且,e,1,=,e,2,时,才有,=,0,否则不一定成立,.,题目条件没有限定,e,1,和,e,2,不共线,因此,上述解法是错误的,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对共线向量的条件理解不清致,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,正解,:,若向量,e,1,和,e,2,不共线,由错解过程可知,3,e,1,+,2,e,2,与,3,e,1,-,2,e,2,不共线,.,若向量,e,1,和,e,2,共线,可设,e,2,=k,e,1,(,k,R,),则,3,e,1,+,2,e,2,=,(3,+,2,k,),e,1,3,e,1,-,2,e,2,=,(3,-,2,k,),e,1,3,+,2,k,与,3,-,2,k,中至少有一个不为,0,不妨设,3,-,2,k,0,防错有,术,本题容易对向量共线的条件理解不清而致误,即没有考虑,e,1,与,e,2,共线的情况,.,要注意结论,“,若非零向量,e,1,e,2,不共线,且,e,1,=,e,2,则必有,=,0”,成立的条件是,e,1,e,2,不共线,因此在应用该结论解决相关问题时,务必注意这一条件,.,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练正解:若向量e1和e2不,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,1,.,设,a,是