二项式定理的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,二项式定理的性质,复习回顾,:,二项式定理及展开式,:,二项式系数,通 项,(a+b),1,(a+b),2,(a+b),3,(a+b),4,(a+b),5,(a+b),6,=,=,=,=,=,=,a +b,a,3,+3a,2,b+3ab,2,+b,3,a,4,+4a,3,b+6a,2,b,2,+4ab,3,+b,4,a,5,+5a,4,b+10a,3,b,2,+10a,2,b,3,+5ab,4,+b,5,a,6,+6a,5,b+15a,4,b,2,+20a,3,b,3,+15a,2,b,4,+6ab,5,+b,6,a,2,+2ab+b,2,(a+b),1,=,1,a +,1,b,(a+b),2,=,1,a,2,+,2,ab+,1,b,2,(a+b),3,=,1,a,3,+,3,a,2,b+,3,ab,2,+,1,b,3,(a+b),4,=,1,a,4,+,4,a,3,b+,6,a,2,b,2,+,4,ab,3,+,1,b,4,(a+b),5,=,1,a,5,+,5,a,4,b+,10,a,3,b,2,+,10,a,2,b,3,+,5,ab,4,+,1,b,5,(a+b),6,=,1,a,6,+,6,a,5,b+,15,a,4,b,2,+,20,a,3,b,3,+,15,a,2,b,4,+,6,ab,5,+,1,b,6,(a+b),7,=,?,(a+b),8,=,?,(a+b),n,=,?,(a+b),1 _,(a+b),2 _,(a+b),3 _,(a+b),4 _,(a+b),5 _,(a+b),6 _,(a+b),n _,(a+b),n+1_,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 C C C C 1,1 C C C 1,杨辉三角,(a+b),1 _,(a+b),2 _,(a+b),3 _,(a+b),4 _,(a+b),5 _,(a+b),6 _,(a+b),n _,(a+b),n+1_,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 C C C C 1,1 C C C 1,杨辉三角,详解九章算法,中记载的表,这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉,1261,年所著的,详解九章算法,一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似左面的表：,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,性质,1,：对称性,二 项 式 系 数 的 性 质,由于,：,所以 相对于 的增减情况由 决定,性质,2,：增减性与最大,值,由,：,可知，当 时，,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,例,1,：,求,(1+2x),8,的展开式中二项式系数最大的项,解：已知二项式幂指数是偶数，展开式共项，依二 项式系数性质,中间一项的二项式系数最大，则：,T,5,=C,8,4,(2x),4,=7016x,4,=1120 x,4,解：依题意,n,为偶数，且,若将“只有第,10,项”改为“第,10,项”呢？,变式：,例,2,已知 展开式中只有第,10,项系数最大，求第五项。,当,n=6,时,其图象是,7,个孤立点,f,（,r,）,r,6,3,O,6,15,20,1,f,（,r,）,r,n,O,6,15,20,1,20,10,30,35,O,n,f,（,r,）,n,为奇数,当,n,是偶数时，中间的一项,取得最大值 ；,当,n,是奇数时，中间的两项,和 相等，且同时取得最大值。,n,为偶数,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于,：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,性质,3,：各二项式系数的和,性质,4:,在,(a,b),n,展开式中,奇数项的二项,式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,.,例,6,、,若,(x,1),4,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,3,x,3,a,4,x,4,，求,a,0,a,2,a,4,的值为,例,7,、已知,(1-2x),7,=a,0,+a,1,x+a,2,x,2,+,+a,7,x,7,则,(1)a,1,+a,2,+a,3,+,+a,7,=_,(2)a,1,+a,3,+a,5,+a,7,=_,2,、在,(a,b,）,10,展开式中，二项式系数最大,的项是,(),1,、在,(a,b),20,展开式中，与第五项二项式,系数相同的项是,().,A,A.,第,6,项,B.,第,7,项,C.,第,6,项和第,7,项,D.,第,5,项和第,7,项,C,A.,第,15,项,B.,第,16,项,C.,第,17,项,D.,第,18,项,此种类型的题目应该先找准,r,的值，然后再确定第几项。,注：,练习,3,.,(a+b),n,展开式中第四项与第六项的系数相等，则,n,为,A,.,8 B,.,9 C,.,10 D,.,11,4,.,二项式,(1-x),4n+1,的展开式系数最大的项是（）,A,.,第,2n+1,项,B,.,第,2n+2,项,C,.,第,2n,项,D,第,2n+1,项或,2n+2,项,5,.,若,(a+b),n,的展开式中，各项的二项式系数和为,8192,，,则,n,的值为 （）,A16 B,.,15 C,.,14 D,.,13,A,A,D,6,已知,(2x+1),10,=a,0,x,10,+a,1,x,9,+a,2,x,8,+a,9,x+a,10,(1),求,a,0,+a,1,+a,2,+a,9,+a,10,的值,(2),求,a,0,+a,2,+a,4,+a,10,的值,（,2,）数学思想：函数思想,a,图象、图表；,b,单调性；,c,最值。,（,3,）数学方法：,赋值法、递推法,（,1,）二项式系数的三个性质,对称性,增减性与最大值,各二项式系数和,小结,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,