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,#,单击此处编辑母版标题样式,会计学,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,会计学,1,实对称矩阵的相似矩阵,会计学1实对称矩阵的相似矩阵,定理,1,实对称矩阵的特征值为实数,.,证明,一、实对称矩阵特征值的性质,说明,：本节所提到的对称矩阵，除非特别说,明，均指,实对称矩阵,第1页/共26页,定理1实对称矩阵的特征值为实数.证明一、实对称矩阵特征值的,于是有,两式相减，得,第2页/共26页,于是有两式相减，得第2页/共26页,定理,1,的意义,第3页/共26页,定理1的意义第3页/共26页,证明,于是,第4页/共26页,证明于是第4页/共26页,第5页/共26页,第5页/共26页,二、实对称矩阵的相似理论,定理,4,任意实对称矩阵 都与对角矩阵相似。,它们的重数依次为,其中,证明：,设 的互不相等的特征值为,由定理,3,，对应于特征值,又由定理,2,及 知，有 个线性无关的特征向量，,恰有 个线性无关的特征向量，,从而 与对角矩阵相似。,第6页/共26页,二、实对称矩阵的相似理论定理4 任意实对称矩阵 都,定理,5,设 为 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵,使 ，其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角矩阵。,第7页/共26页,定理5 设 为 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化,为对角矩阵，其具体步骤,为：,将特征向量正交化,;,3.,将特征向量单位化,.,4.,2.,1.,三,.,实对称矩阵对角化的方法,其中对角矩阵 的主对角元的排列顺序与,中列向量的排列顺序相对应,.,第8页/共26页,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化将特征向量正交化;,解,例,1,对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，,使 为对角阵,.,(1),第一步 求 的特征值,第9页/共26页,解例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，(,解之得基础解系,解之得基础解系,第10页/共26页,解之得基础解系 解之得基础解系第10页/共26页,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,第11页/共26页,解之得基础解系第三步 将特征向量正交化第四步 将特征,第12页/共26页,第12页/共26页,第13页/共26页,第13页/共26页,第14页/共26页,第14页/共26页,于是得正交阵,第15页/共26页,于是得正交阵第15页/共26页,利用对角化可求方阵的幂,例,2,设 为,3,阶实对称矩阵,的特征值为,求,解,:,由于 是实对称矩阵,故 必可对角化,且,第16页/共26页,利用对角化可求方阵的幂例2 设 为3阶实对称矩阵,例,3,设三阶实对称矩阵 的特征值为,-1,1,1,与特征值,-1,对应的特征向量为,求,即,解之得基础解系,故 就是对应于 的特征向量,.,解,:,设与特征值 对应的特征向量为,由于实对称矩阵不同特征值所对应的特征向,量一定正交,故,又 的对应于二重特征值 的线性无关的特征向量一定有两个,第17页/共26页,例3 设三阶实对称矩阵 的特征值为-1,1,1,与,记,于是,第18页/共26页,记于是第18页/共26页,例,4,设 是两个 阶实对称矩阵,证明 相似,的充要条件是 有相同的特征值,.,证明,若,A,与,B,有相同的特征值,.,记特征值为,由相似矩阵的传递性知,A,与,B,相似,.,因为实对称矩阵,A,与,B,必可对角化,所以,若,A,与,B,相似,由相似矩阵的性质,A,与,B,一定有相同的特征值,.,第19页/共26页,例4 设 是两个 阶实对称矩阵,证明,1.,对称矩阵的性质：,小结,(1),特征值为实数；,(2),属于不同特征值的特征向量正交；,(3),特征值的重数和与之对应的线性无关的,特征向量的个数相等；,(4),必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，,且对角矩阵对角元素即为特征值,2.,利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1),求特征值；,(2),找特征向量；,(3),将特征向,量正交化；,(4),单位化,第20页/共26页,1.对称矩阵的性质：小结 (1)特征值为实数；2.利,思考题,1,第21页/共26页,思考题1第21页/共26页,思考题,1,解答,第22页/共26页,思考题1解答第22页/共26页,思考题,2,第23页/共26页,思考题2第23页/共26页,思考题,2,解答,第24页/共26页,思考题2解答第24页/共26页,第25页/共26页,第25页/共26页,
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