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,谢谢观赏,第1章立体几何初步,12点、线、面之间的位置关系,1.2.2空间两条直线的位置关系,第1章立体几何初步,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,情景导入 栏目链,在天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交，也不平行，它们具有怎样的位置关系呢？旗杆与天安门广场、天安门广场与地面又有怎样的位置关系呢？,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,在天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,情景导入 栏目链,1.理解异面直线的概念，画法,2.理解并掌握公理4、等角原理,3.理解异面直线所成角的概念，会求异面直线所成角.,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,1.理解异面直线的概念，画法 情景导入,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,情景导入 栏目链,1,空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，_；平行直线；同一平面内，_公共点；异面直线：_在任何一个平面内，没有公共点_和_统称为共面直线,2公理4.文字语言：_的两条直线互相平行；符号语言：设,a,、,b,、,c,是三条直线，,a,b,，,c,b,_,有且只有一个公共点,没有,不同,相交直线,平行直线,平行于同一条直线,a,c,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,1空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，_,3空间中的等角定理：空间中，如果两个角的两边_并且_，那么这两个角_,4异面直线所成的角：已知异面直线,a,、,b,，经过空间中任一点,O,作直线,a,a,，,b,b,，我们把,a,与,b,所成的_叫异面直线,a,与,b,所成的角(夹角),分别对应平行,方向相同,相等,锐角(或直角),情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,3空间中的等角定理：空间中，如果两个角的两边_,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,情景导入 栏目链,一、空间两条直线的位置关系,(1)共面：空间的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面共面的两条直线位置关系又分平行和相交两种,(2)异面直线：把既不相交也不平行的直线叫做异面直线异面直线判定方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,一、空间两条直线的位置关系(1)共面：空间的几个点或几条直线,空间的两条直线的位置关系的判定是以平面的基本性质和推论为重要依据的，位置关系的表示则是通过相关符号语言实现的，以下几种常用的符号语言同学们要记牢点,A,在直线,b,上，记作,A,b,，点,B,不在直线,b,上，记作：,B,b,；点,B,在平面,内，记作,B,，点,B,不在平面,内，记作：,B,；直线,a,在平面,内，记作,a,，直线,a,不在平面,内，记作,a,.,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,空间的两条直线的位置关系的判定是以平面的基本性质和推论为重要,二、公理4,公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行用符号语言表示为：设,a,、,b,、,c,是三条直线，,a,b,，,c,b,a,c,.,公理4将平面内两条直线平行的传递性推广到了空间中，是证明线线平行的重要依据之一，但要注意：并不是所有平面内的结论都能推广到空间中来,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,二、公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行用符号,三、等角定理,如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角相等,等角定理的实质是空间中角的平移，在应用时我们需要注意以下两个结论的区别：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且两边的方向分别相同，那么这两个角相等；如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且有一组边的方向相同，另一组边的方向相反，那么这两个角互补其中“角的两边分别平行”这个条件要特别注意，谨记等角定理的逆命题不成立,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,三、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且,四、异面直线所成的角,已知异面直线,a,、,b,，经过空间中任一点,O,作直线,a,a,、,b,b,，我们把,a,与,b,所成的锐角(或直角)叫做异面直线,a,与,b,所成的角(夹角),求异面直线所成角的一般步骤是：根据定义作出或找出两异面直线所成的角；使该角为某个三角形的内角；解这个三角形求角其中通过平移法作出其所成角是关键，解答相关题目时要谨记异面直线所成角的取值范围千万不要把相交直线所成的钝角作为异面直线所成的角若求出的是钝角，应取它的补角作为异面直线所成的角.,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,四、异面直线所成的角已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,情景导入 栏目链,题型1异面直线的判断与证明,例1,如右图，在空间四边形,ABCP,中，连接,AC,、,PB,，,D,、,E,是,PC,上不重合的两点，,F,、,H,分别是,PA,、,PB,上的点，且与点,P,不重合,求证：,EF,和,DH,是异面直线,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,题型1异面直线的判断与证明例1 如右图，在空间四边形AB,分析：,根据两直线异面的定义，要直接证明两直线异面是比较困难的，因而往往从问题的反面入手，即采用反证法，当然，还可以直接使用异面直线的判定定理：“过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线”，而进行直接的证明,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,分析：根据两直线异面的定义，要直接证明两直线异面是比较困难的,解析：,方法一,假设,EF,、,DH,不是异面直线，则由两直线的位置关系知，它们必在同一个平面,内,E,，,D,，,ED,，即,PC,.,P,，,C,.又,H,，,PH,.,B,PH,，,B,.,同理，由,F,可得：,A,.,由此可知，,P,、,A,、,B,、,C,四点都在平面,内，这与四点是空间四边形的四个顶点相矛盾,故假设不成立，于是,EF,与,DH,是异面直线,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,解析：方法一假设EF、DH不是异面直线，则由两直线的位置关,方法二,PA,PC,P,，,PA,、,PC,确定一个平面，不妨记平面为,.,E,PC,，,F,PA,，,E,，,F,.,EF,.,D,PC,，,D,，且,D,EF,.,PB,P,，,H,PB,，,H,.,EF,与,DH,是异面直线,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,方法二PAPCP，情景导入,规律总结：,(1)异面直线的判定方法一般有两种：利用异面直线的判定定理；反证法,(2)证明两直线异面，一般要从定义出发，由于定义是一个否定形式的命题，因而常用反证法反证法也是常用的一种重要的思维方式和数学方法，它在立体几何中有着广泛的应用反证法的一般步骤为：,反设：即作出与命题结论相反的假设；,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,规律总结：(1)异面直线的判定方法一般有两种：利用异面直线,归缪：以所作的假设为依据，通过严格的逻辑推理，导出矛盾；,结论：判断产生矛盾的原因在于所作的假设是错误的，因而原命题正确,导出逻辑矛盾时常出现以下几种情形：,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,归缪：以所作的假设为依据，通过严格的逻辑推理，导出矛盾；,与定义、公理、定理、推论及性质等的矛盾；,与已知条件的矛盾；,与假设的矛盾；,自相矛盾,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,与定义、公理、定理、推论及性质等的矛盾；情景导入,变 式,训 练,1,如右图所示，已知不共面的三条直线,a,、,b,、,c,相交于点,P,，,A,a,，,B,a,，,C,b,，,D,c,.求证：,AD,与,BC,是异面直线,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,变 式1如右图所示，已知不共面的三条直线a、b、c相交于,变 式,训 练,证明,(反证法)：,假设,AD,与,BC,共面，所确定的平面为,，那么点,P,、,A,、,B,、,C,、,D,都在平面,内直线,a,、,b,、,c,都在平面,内，此与已知条件,a,、,b,、,c,不共面相矛盾,AD,和,BC,是异面直线,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,变 式证明(反证法)：假设AD与BC共面，所确定的平面为,题型2求异面直线所成的角,例2,如右图所示，在正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，求：,(1)异面直线,AB,与,A,1,D,1,所成的夹角；,(2),AD,1,与,DC,1,所成的夹角,分析：,依据异面直线所成的角(或夹角)的定义来求,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,题型2求异面直线所成的角例2 如右图所示，在正方体AB,解析：,(1),A,1,B,1,AB,，而,A,1,D,1,A,1,B,1,，,A,1,D,1,AB,.,AB,与,A,1,D,1,所成的夹角为90.,(2)连接,AB,1,，,B,1,D,1,，,AB,1,DC,1,，,AB,1,与,AD,1,所成夹角即为,DC,1,与,AD,1,所成的夹角,又,AD,1,AB,1,B,1,D,1,，,AB,1,D,1,为正三角形,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,解析：(1)A1B1AB，而A1D1A1B1，情,AD,1,与,AB,1,所成夹角为60.,AD,1,与,DC,1,所成夹角为60.,规律总结：,(1)求异面直线所成的角就是要通过平移转化的方法将异面直线所成角转化成同一平面内的直线所成的角，放到同一三角形中求解,(2)要多角度地平移，不能局限于一个平面,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,AD1与AB1所成夹角为60.情景导入,变 式,训 练,2,如右下图，空间四边形,ABCD,中，,E,、,F,分别是对角线,BD,、,AC,的中点，若,BC,AD,2,EF,，求直线,EF,与直线,AD,所成的角及直线,EF,与直线,BC,所成的角,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,变 式2如右下图，空间四边形ABCD中，E、F分别是对角,变 式,训 练,解析：,因为,E,是,BD,中点，,F,是,AC,中点，故联想三角形中位线定理，取,CD,中点,G,，将,AD,平移至,FG,，故,EF,与,FG,所成的角(,EFG,)就是平面直线,EF,与,AD,所成的角由,BC,AD,2,EF,，得,EF,EG,FG,，所以,EFG,为正三角形，所以,EFG,60，即,EF,与,AD,所成的角为60，同理,EF,与,BC,所成角也为60.,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,变 式解析：因为E是BD中点，F是AC中点，故联想三角形中,题型3平行公理的应用,例3,如右图，空间四边形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点，且,AC,与,BD,所成的角为90.,求证：四边形,EFGH,是矩形,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,题型3平行公理的应用例3 如右图，空间四边形ABCD中，,情景导入,课标点击,自主学习,要点导航,典例剖析,栏目链接,情景导入 栏目链,又,E,、,F,分别为,AB,、,BC,的中点，,EFAC,，又,FGBD,，,EFG,为,AC,与,BD,所成的角,而,AC,与,BD,所成的角为90，,EFG,90，又四边形,EFGH,
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