典型的代数系统

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1,14.3,几个典型的代数系统,14.3.1,半群与独异点,14.3.2,群,14.3.3,环与域,14.3.4,格与布尔代数,2,14.3,几个典型的代数系统,14.3.1,半群与独异点,14.3.2,群,14.3.3,环与域,14.3.4,格与布尔代数,3,半群与独异点的定义与实例,半群与独异点的幂运算,半群与独异点的子代数和积代数,半群与独异点的同态,半群与独异点,4,半群与独异点的定义,定义,14.12,设,V,=,是代数系统，,为二元运算，如果,运算是可结合的，则称,V,为,半群,.,设,V,=,是半群，若,e,S,是关于 ,运算的单位元，则称,V,是,含幺半群,，也叫做,独异点,.,有时也将独异点,V,记作,V,=.,5,实例,例,1,(1) ,是,半群，,+,是普通加法,其中除,外都是独异点,.,(2),设,n,是大于,1,的正整数,和,都是半群和独异点，其中,+,和,分别表示矩阵加法和矩阵乘法,.,(3) ,，其中,为集合的对称差运算,.,为半群，也是独异点,.,(4) ,其中,Z,n,=0,1, ,n,1,， ,为模,n,加法,.,为半群，也是独异点,.,(5) ,其中,为函数的复合运算,.,为半群，也是独异点,.,(6) ,其中,R*,为非零实数集合，,运算定义如下：,x,y,R*,x,y,=,y,.,为半群,.,6,定义,(1),在半群,中，,x,S,，规定：,x,1,=,x,，,x,n,+1,=,x,n,x,n,Z,+,(2),在独异点,中，,x,S,，,x,0,=,e,，,x,n,+1,=,x,n,x,， ,n,N,用数学归纳法不难证明,x,的幂遵从以下运算规则：,x,n,x,m,=,x,n,+,m,，,(,x,n,),m,=,x,nm,，,在半群中,m,n,Z,+,，在独异点中,m,n,N,，,半群与独异点的幂运算,7,半群与独异点的子代数,定义,半群与独异点的子代数分别称为,子半群,与,子独异点,.,判定方法：,设,V,=,是半群，,T,S,，,T,非空，如果,T,对,V,中的运算,封闭，则,是,V,的子半群,.,设,V,=,是独异点，,T,S,，,T,非空，如果,T,对,V,中,的运算,封闭，而且,e,T,，那么,构成,V,的子独,异点,.,8,理由,:,是,T,的单位元，,T,本身可以构成独异点，但不是,V,2,的子独异点，因为,V,2,的单位元是,e,.,实例,例：,设半群,V,1,=,，独异点,V,2,=.,其中,为矩阵乘法，,e,为,2,阶单位矩阵,且,，,则,T,S,，且,T,是,V,1,=,的子半群，,但不是子独异点。,9,半群与独异点的同态,定义,14.13,(1),设,V,1,=,，,V,2,=,是半群，,f,:,S,1,S,2,.,若 对任意的,x,y,S,1,有, ,f,(,x,y,) =,f,(,x,),f,(,y,),则称,f,为半群,V,1,到,V,2,的同态映射，简称,同态,.,(2),设,V,1,=,，,V,2,=,是独异点，,f,:,S,1,S,2,.,若对任意的,x,y,S,1,有,f,(,x,y,) =,f,(,x,),f,(,y,),且,f,(,e,1,)=,e,2,则称,f,为独异点,V,1,到,V,2,的同态映射，简称,同态,.,10,实例,则,f,是半群,V,1,=,的自同态，但不是独异点,V,2,=,的自同态，因为,f,(,e,),e,.,设半群,V,1,=,，独异点,V,2,=.,其中,为矩阵乘法，,e,为,2,阶单位矩阵,且,令,11,14.3,几个典型的代数系统,14.3.1,半群与独异点,14.3.2,群,14.3.3,环与域,14.3.4,格与布尔代数,12,群,群的定义与实例,群中的术语,群的性质,子群的定义及判别,群的同态与同构,循环群,置换群,13,群,群的定义与实例,群中的术语,群的性质,子群的定义及判别,群的同态与同构,循环群,置换群,14,群的定义与实例,定义,14.14,设,是代数系统,，,为二元运算,.,如果,运算是可结合的,，存在,单位元,e,G,，并且对,G,中的任何元素,x,都有,x,1,G,，则称,G,为,群,.,实例,都是群；,和,不是群,.,是群，而,不是群,.,是群，,为对称差运算,.,，也是群,.,Z,n,= 0,1, ,n,1,，,为模,n,加,.,15,Klein,四元群,设,G,= ,e,a,b,c,，,G,上的运算由下表给出，,称为,Klein,四元群,e a b c,e,a,b,c,e a b c,a e c b,b c e a,c b a e,运算表特征：,对称性,-,运算可交换,主对角线元素都是幺元,-,每个元素是自己的逆元,a,b,c,中任两个元素运算,都等于第三个元素,.,16,群,群的定义与实例,群中的术语,群的性质,子群的定义及判别,群的同态与同构,循环群,置换群,17,群中的术语,定义,14.15,(1),若群,G,是有穷集，则称,G,是,有限群,，否则为,无限群,.,群,G,中的元素个数称为群,G,的,阶,，有限群,G,的阶记作,|,G,|.,(2),若群,G,中的二元运算是可交换的，则称,G,为,交换群,或,阿贝尔,(Abel),群,.,实例：,(1) ,和,是无限群,(2) ,是有限群，也是,n,阶群,(3) Klein,四元群是,4,阶群,(4),n,阶,(,n,2),实可逆矩阵集合关于矩阵乘法,(1)(2)(3),都是交换群；,(4),是非交换群,.,【,例,】,设,是群，则,是阿贝尔群的充要条件是对任意的,a,b,G,有,(,a,*,b,)2,=a,2,*,b,2,。,证明,:,(1),“,”,设,是阿贝尔群，,下证对任意的,a,b,G,有,(,a,*,b,),*,(,a,*,b,),=,(,a,*,a,),*,(,b,*,b,),。,对任意的,a, b,G,，有,a,*,b,=,b,*,a,，因此，,(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b,),即,(,a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b,),也就是,(a*b),2,=a,2,*b,2,，得证。,Abel,群,实例,(2) “”,设对任意,a,b,G,，有,(,a,*,b,)2,=a,2,*,b,2,，,下证,是阿贝尔群。,a,b=e,*,(,a,*,b,),*,e,=,(,a,1,*,a,),*,(,a,*,b,),*,(,b,*,b,1,),=a,1,(,a,(,a,*,b,),*,b,),*,b,1,=a,1,*,(,a,*,a,),*,(,b,*,b,),*,b,1,=a,1,(,a,*,b,),*,(,a,*,b,),*,b,1,=,(,a,1,a,),*,(,b,*,a,),*,(,b,*,b,1,),=e,*,(,b,*,a,),*,e=b,*,a,即得,a,*,b=b,*,a,，因此群,是阿贝尔群。,Abel,群,实例,20,群中的术语,(,续,),定义,14.16,设,G,是群，,x,G,，,n,Z,，则,x,的,n,次幂,x,n,定,义为,实例,在,中有,2,3,= ?,(2,1,),3,=1,3,=1,1,1=0,在,中有,(,2),3,= ?,2,3,=2+2+2=6,21,定义,14.17,设,G,是群，,x,G,，使得等式,x,k,=,e,成立的最小,正整数,k,称为,x,的,阶（或周期）,，记作,|,x,| =,k,，称,x,为,k,阶元,.,若不存在这样的正整数,k,，则称,x,为,无限阶元,.,实例,（,1,）在,中，,0,1,2,3,4,5,分别是几阶元？,2,和,4,是,3,阶元，,3,是,2,阶元，,1,和,5,是,6,阶元,0,是,1,阶元,（,2,）在,中，整数集合中元素分别是几阶元？,0,是,1,阶元，其它整数的阶都不存在，都是无限阶元,.,群中的术语,(,续,),【,例,】,求证：,群中不可能有零元。,证明,：,(1),当群的阶为,1,时，唯一元素为幺元。,(2),设,|,G,|,1,且 假设 群,有零元,。,那么,x,G,，都有,x,=,x,=,e,，,所以，零元,就不存在逆元，,这与,是群相矛盾。,【,思考,】,写出群,中各元素的阶数。,群,实例,23,群,群的定义与实例,群中的术语,群的性质,子群的定义及判别,群的同态与同构,循环群,置换群,24,群的性质,-,幂运算规则,定理,14.3,设,G,为群,则,G,中的幂运算满足：,(1),x,G,，,(,x,1,),1,=,x,.,(2) ,x,y,G,，,(,xy,),1,=,y,1,x,1,.,(3) ,x,G,，,x,n,x,m,=,x,n,+,m,，,n,m,Z.,(4) ,x,G,，,(,x,n,),m,=,x,nm,，,n,m,Z.,(5),若,G,为交换群，则,(,xy,),n,=,x,n,y,n,.,证：,(1) (,x,1,),1,是,x,1,的逆元，,x,也是,x,1,的逆元,.,根据逆元的唯一性，等式得证,.,(2) (,y,1,x,1,)(,xy,)=,y,1,(,x,1,x,),y,=,y,1,y,=,e,同理,(,xy,)(,y,1,x,1,)=,e,，故,y,1,x,1,是,xy,的逆元,.,根据逆元的唯一性等式得证,.,25,等式,(5),只对交换群成立,.,如果,G,是非交换群，那么,群的性质,-,幂运算规则,(,续,),说明：,(3) (4) (5),的证明：,用数学归纳法证明对于自然数,n,和,m,证等式为真，,然后讨论,n,或,m,为负数的情况,.,(2),中的结果可以推广到有限多个元素的情况，即,26,群的性质,-,群方程存在唯一解,定理,14.4,G,为群，,a,b,G,，方程,ax,=,b,和,ya,=,b,在,G,中有解且仅有唯一解,.,证,：,(1),存在性：,a,1,b,代入方程左边的,x,得,a,(,a,1,b,) = (,a a,1,),b,=,eb,=,b,所以,a,1,b,是该方程的解,.,(2),下面证明唯一性,.,假设,c,是方程,ax,=,b,的解，必有,ac,=,b,，从而有,c,=,ec,= (,a,1,a,),c,=,a,1,(,ac,) =,a,1,b,同理可证,ba,1,是方程,ya,=,b,的唯一解,.,例 设群,G,=,，其中,为对称差,.,群方程,a,X,=,，,Y,a,b,=,b,的解,X,=,a,1,=,a,=,a,，,Y,=,b,a,b,1,=,b,a,b,=,a,27,群的性质,-,消去律,定理,14.5,G,为群，则,G,中适合消去律，即对任意,a,b,c,G,有,(1),若,ab,=,ac,，则,b,=,c,.,(2),若,ba,=,ca,，则,b,=,c,.,证,(1),ab,=,ac,a,1,(,ab,)=,a,1,(,ac,) (,a,1,a,),b,=(,a,1,a,),c,b=c,(2),同理可证,.,例,1,设,G,=,a,1,a,2, ,a,n,是,n,阶群，令,a,i,G,=,a,i,a,j,|,j,=1,2, ,n,证明,a,i,G,=,G,.,证,:,由群中运算的封闭性有,a,i,G,G,.,假设,a,i,G,G,，即,|,a,i,G,|,n,.,必有,a,j,a,k,G,使得,a,i,a,j,=,a,i,a,k,（,j,k,）,由消去律得,a,j,=,a,k,与,|,G,|=,n,矛盾,.,28,群中元素阶的性质,定理,14.6,G,为群，,a,G,且,|,a,|=,r,.,设,k,是整数，则,(1),a,k,=,e,当且仅当,r,|,k,(2) |,a,1,|=|,a,|,证,(1),充分性,.,由,r,|,k,，必存在整数,m,使得,k,=,mr,，所以有,a,k,=,a,mr,= (,a,r,),m,=,e,m,=,e,.,必要性,.,（反证法）根据除法，存在整数,m,和,i,使得,k,=,mr,+,i, 0,i,r,1,从而有 ,e,=,a,k,=,a,mr,+,i,= (,a,r,),m,a,i,=,ea,i,=,a,i,因为,|,a,| =,r,，必有,i,= 0.,这就证明了,r,|,k,.,(2),由,(,a,1,),r,= (,a,r,),1,=,e,1,=,e,可知,a,1,的阶存在,.,令,|,a,1,|=,t,，根据上面的证明有,t,|,r,.,a,又是,a,1,的逆元，所以,r,|,t,.,从而证明了,r,=,t,，即,|,a,1,|=|,a,|.,29,群性质的应用,例,2,证明单位元为群中唯一幂等元,.,证 设,G,为群,.,首先证存在性： 显然,ee,=,e,；,再证唯一性：设,a,为,G,中幂等元,.,则,aa,=,a,，从而得到,aa,=,ae,.,根据消去律得,a = e.,例,3,设,G,为群，如果,a,G,都有,a,2,=,e,证明,G,为,Abel,群,.,证,a,2,= e,a = a,1,任取,x,y,G,，,xy =,(,xy,),1,= y,1,x,1,= yx,因此,G,为,Abel,群,.,30,群,群的定义与实例,群中的术语,群的性质,子群的定义及判别,群的同态与同构,循环群,置换群,31,子群的定义,定义,14.18,设,G,是群，,H,是,G,的非空子集，如果,H,关于,G,中的运算构成群，则称,H,是,G,的,子群,记作,H,G,.,若,H,是,G,的子群，且,H,G,，则称,H,是,G,的,真子群,，记作,H,是群，,A,是,G,的非空子集，如果,A,是一个有限集，只要运算*在,A,上封闭，则,是,G,*,的子群。,证明,：,G,*,是群，则,G,*,是半群，,A,*,是半群。以下证明,A,中有幺元,e,且,A,中每一个元素都有逆元。,证明,A,中有幺元,e,。,子群判定定理,(,续,),b,A,，因为运算,*,在,A,上封闭，所以,b,2,=,b,*,b,A,b,3,=,b,2,*,b,A,由于,A,是有限集，所以必存在正整,i,和,j,，不妨设,i,j,，使得,b,i,=,b,j,从而有,b,i,=,b,i,*,b,j,i,和,b,i,=,b,j,i,*,b,i,根据群中的消去律得,b,j,i,=,e,，即,b,j,i,是群,G,*,的幺元。且这个幺元也在,G,的非空子集,A,中。,证明,S,中每一个元素都有逆元。,如果,j,i,1,，那么,b,j,i,=,b,*,b,j,i,1,和,b,j,i,=,b,j,i,1,*,b,，即,b,j,i,1,是,b,的逆元，,b,1,=,b,j,i,1,且,b,j,i,1,A,。,如果,j,i,=1,，,b,=,b,j,i,，那么,b,是幺元。所以,b,1,=,b,。,子群判定定理,(,续,),解,:,作,N,6,=,0,1,2,3,4,5,上模,6,加法,6,的运算表，如表,1,所示。,取,N,6,的子集,S,1,=,0,2,4,和,S,2,=,0,3,，它们的运算表是表,2,和表,3,。,从表中可以看出,模,6,加法,6,在,S,1,和,S,2,上封闭。所以,和,是群,的子群。,表,1,+,6,0,1,2,3,4,5,0,0,1,2,3,4,5,1,1,2,3,4,5,0,2,2,3,4,5,0,1,3,3,4,5,0,1,2,4,4,5,0,1,2,3,5,5,0,1,2,3,4,表,2,+,6,0,3,0,0,3,3,3,0,表,3,+,6,0,2,4,0,0,2,4,2,2,4,0,4,4,0,2,【,例,】,求群,的所有非平凡子群。,37,重要子群的实例,生成子群,定义,设,G,为群，,a,G,，令,H,= ,a,k,|,k,Z ,，则,H,是,G,的子群，称为,由,a,生成的子群，记作,.,证：,首先由,a,知道,.,任取,a,m,a,l,，则,a,m,(,a,l,),1,=,a,m,a,l,=,a,m,l,根据判定定理可知,G,.,实例：,(1),整数加群，由,2,生成的子群是, = 2,k,|,k,Z, = 2Z,(2),群,中，由,2,生成的子群, = 0, 2, 4 ,(3) Klein,四元群,G,= ,e,a,b,c,的所有生成子群是：, = ,e, = ,e,a, = ,e,b, = ,e,c,.,38,群,G,的中心,C,：,设,G,为群,C,= ,a,|,a,G,x,G,(,ax,=,xa,),，则,C,是,G,的子,群，称为,G,的,中心,.,证,:,e,C,.,C,是,G,的非空子集,.,任取,a,b,C,，只需证明,ab,1,与,G,中所有的元素都可交换,.,x,G,，有,(,ab,1,),x,=,ab,1,x,=,ab,1,(,x,1,),1,=,a,(,x,1,b,),1,=,a,(,bx,1,),1,=,a,(,xb,1,) = (,ax,),b,1,= (,xa,),b,1,=,x,(,ab,1,),由判定定理可知,C,G,。,得证。,注明,: (1),对于阿贝尔群,G,，,G,的中心就等于,G,.,(2),对某些非交换群,G,，它的中心是,e,.,重要子群的实例,(,续,),39,子群格,定义,设,G,为群，令,S,=,H,|,H,G,是,G,的所有子群的集,合，定义,S,上的偏序，,x,y,S,x,y,x,y,，那么,构成格，称为,G,的,子群格,.,实例,Klein,四元群,G,和,的子群格如下图所示,40,子群习题,1,、设,和,都是群,的子群。证明,也是,的子群。,2,、设,E,是所有偶数组成的集合，证明,是,的子群。,3,、设,是群，,和,是,的子群，令,AB=,a,*,b,|,a,A,b,B,，,BA=,b,*,a,|,a,A,b,B,则,是,的子群当且仅当,AB=BA,。,41,群,群的定义与实例,群中的术语,群的性质,子群的定义及判别,群的同态与同构,循环群,置换群,42,群同态的定义与分类,定义,14.19,设,G,1,G,2,是群，,f,:,G,1,G,2,，若,a,b,G,1,都有,f,(,a b,) =,f,(,a,),f,(,b,),则称,f,是群,G,1,到,G,2,的同态映射，简称,同态,.,如果同态,f,为单射函数，则称为,单同态,;,如果是满射函数，则称为,满同态，,记作,G,1,G,2,;,如果是双射函数，则称为,同构,，记作,G,1,G,2,.,43,群同态的实例,例,4,(1),G,1,=,是整数加群，,G,2,=,是模,n,的整数加群,.,令,f,:Z,Z,n,，,f,(,x,)=,x,mod,n,，,f,是,G,1,到,G,2,的满同态,.,x,y,Z,f,(,x,+,y,) = (,x,+,y,)mod,n,=,x,mod,n,y,mod,n,=,f,(,x,),f,(,y,),(2),设,G,=,是模,n,整数加群，可以证明恰有,n,个,G,的自,同态，即,f,p,:,Z,n,Z,n,f,p,(,x,)=(,px,)mod,n,，,p,=0,1, ,n,1,(3),设,G,1,G,2,是群，,e,2,是,G,2,的单位元,.,f,:,G,1,G,2,，,f,(,a,) =,e,2,，,a,G,1,.,则,f,是,G,1,到,G,2,的同态，称为,零同态,.,a,b,G,1,有,f,(,ab,)=,e,2,=,e,2,e,2,=,f,(,a,),f,(,b,),(4),G,为群，,a,G,.,令,f,:,G,G,f,(,x,)=,axa,1,，,x,G,则,f,是,G,的自同构，称为,G,的,内自同构,.,44,群同态的性质,【,例,】,设,f,是群,G,1,到,G,2,的同态映射，则,(1),f,(,e,1,) =,e,2,e,1,和,e,2,分别是,G,1,和,G,2,的单位元,(2),x,G,1,，,f,(,x,1,) =,f,(,x,),1,(3),设,H,G,1,则,f,(,H,),G,2,证明,:,(1),f,(,e,1,),f,(,e,1,) =,f,(,e,1,e,1,) =,f,(,e,1,) =,f,(,e,1,),e,2,f,(,e,1,)=,e,2,(2),f,(,x,),f,(,x,1,) =,f,(,xx,1,) =,f,(,e,1,) =,e,2,f,(,x,-1,),f,(,x,) =,f,(,x,1,x,) =,f,(,e,1,) =,e,2,(3),e,2,f,(,H,),f,(,H,). ,a,b,f,(,H,), ,x,y,H,使得,f,(,x,)=,a,f,(,y,)=,b,ab,1,=,f,(,x,),f,(,y,),1,=,f,(,xy,1,),xy,1,H,f,(,xy,1,),f,(,H,) ,ab,1,f,(,H,),45,例题,例,5,给出,Klein,四元群上所有的自同态,解,G,=,e,a,b,c,，因为同态,f,满足,f,(,e,)=,e,，因此只可能有以下,6,个双射函数可能是同态映射,:,f,1,(,a,)=,b,f,1,(,b,)=,a,f,1,(,c,)=,c,;,f,2,(,a,)=,c,f,2,(,b,)=,b,f,2,(,c,)=,a,;,f,3,(,a,),=a, f,3,(,b,)=,c,f,3,(,c,)=,b,;,f,4,(,a,)=,b,f,4,(,b,)=,c,f,4,(,c,)=,a,;,f,5,(,a,)=,c,f,5,(,b,)=,a,f,5,(,c,)=,b,;,f,6,=,I,G,，,这六个函数都是双射，只需验证它们都是,G,上的同态映射,.,请自己验证。,f(x),e,a,b,c,f,1,e,b,a,c,f,2,e,c,b,a,f,3,e,a,c,b,f,4,e,b,c,a,f,5,e,c,a,b,f,6,e,a,b,c,46,例题,例,6,设,G,1,=,G,2,=,证明不存在,G,1,到,G,2,的同态,.,证： 假设存在,G,1,到,G,2,的同态,f,那么,f,(1)=0.,因此,f,(,1)+,f,(,1) =,f,(,1)(,1) =,f,(1)=0,f,(1)=0,与,f,的双射性矛盾,.,47,群,群的定义与实例,群中的术语,群的性质,子群的定义及判别,群的同态与同构,循环群,置换群,48,循环群的定义,定义,14.20,设,G,是群，若存在,a,G,使得,G,= ,a,k,|,k,Z,则称,G,是,循环群,，记作,G,=,，称,a,为,G,的,生,成元,.,实例,整数加群,G = = = ,模,6,加群,G = = = ,49,循环群的分类,设 循环群,G,= ,，根据生成元,a,的阶可以分成两类：,n,阶循环群和无限循环群,.,设,G,= ,是循环群，,若,a,是,n,阶元，则,G,= ,a,0,=,e,a,1,a,2, ,a,n,1,那么,|,G,|=,n,，称,G,为,n,阶循环群,.,若,a,是无限阶元，则,G,= ,a,0,=,e,a,1,a,2, ,这时称,G,为,无限循环群,.,50,循环群的生成元,定理,14.9,设,G,=,是循环群,.,(1),若,G,是无限循环群，则,G,只有两个生成元，即,a,和,a,1,.,(2),若,G,是,n,阶循环群，则,G,含有,(,n,),个生成元,.,对于任何小于,n,且与,n,互质的自然数,r,a,r,是,G,的生成元,.,(,n,),为,欧拉函数,表示,0, 1, ,n,1,中,与,n,互素的整数个数,.,实例,(18)=6,，与,18,互素的正整数为,1, 5, 7, 11, 13, 17.,51,例,7,(,1),设,G,=,e,a, ,a,11,是,12,阶循环群，则,(12)=4.,小于或等于,12,且与,12,互素的数是,1,5,7,11,由定理可知,a, a,5,a,7,和,a,11,是,G,的生成元,.,(2),设,G,=,是模,9,的整数加群，则,(9)=6.,小于,9,且与,9,互素的数是,1,2,4,5,7,8.,根据定理，,G,的生成元是,1, 2, 4, 5, 7,和,8.,(3),设,G,=3Z=3,z,|,z,Z,G,上的运算是普通加法,.,那么,G,只有两个生成元：,3,和,3.,循环群的生成元,(,续,),52,循环群的子群,定理,14.10,设,G,=,是循环群，则,(1),G,的子群仍是循环群,.,(2),若,G,=,是无限循环群，则,G,的子群除,e,以外都是无限循环群,.,(3),若,G,=,是,n,阶循环群，则对,n,的每个正因子,d,，,G,恰好含有一个,d,阶子群,.,53,例,8,(1),G,=,是无限循环群，对于自然数,m,N,，,1,的,m,次幂是,m,，,m,生成的子群是,m,Z,，,m,N.,即, = 0 =0Z, = ,mz,|,z,Z, =,m,Z,，,m,0,(2),G,=,Z,12,是,12,阶循环群,. 12,的正因子是,1, 2, 3, 4, 6,和,12,，因此,G,的子群是：,1,阶子群, = = 0,2,阶子群, = 0, 6 ,3,阶子群, = 0, 4, 8 ,4,阶子群, = 0, 3, 6, 9 ,6,阶子群, = 0, 2, 4, 6, 8, 10 ,12,阶子群, =,Z,12,循环群的子群,(,续,),54,循环群的实例,例,9,任何循环群必定是阿贝尔群。,证明：设,G,*,是循环群，它的生成元是,a,，,那么对于,x, y,G,，必有,r, s,I,，使得,x,=,a,r,y,=,a,s,而,x*y,=,a,r,*a,s,=,a,r+s,=,a,s+r,=,a,s,*a,r,=,y*x,因此,G,*,是阿贝尔群。,55,循环群的实例,例,10,设,G,*,是无限循环群，,a,是生成元，则,a,也是无限阶元素。,证明：,设,a,为有限阶元，,|,a,|=,n,，,令,S,=,a,a,2,a,n,，,a,n,=,e,，,a,m,G,，,m,=,nq,s,，,q,s,是整数且,0 ,s,n,，,a,m,=,a,nq,s,=(,a,n,),q,*,a,s,=(,e,),q,*,a,s,=,e,*,a,s,=,a,s,S,，,G,S,，矛盾。,所以,a,是无限阶的。,56,循环群的实例,例,11,设,G,*,是循环群，,a,是生成元若,H,*,是,G,*,的子群。则,H,*,也是循环群。,证明,：,(1),若,H,*,是,G,*,的平凡子群，则,H,=,G,或,H,=,e,，,显然,H,*,是循环群。,(2),若,H,*,不是,G,*,的平凡子群。由于,H,不空，,a,k,H,，,k,0(,即,a,k,e,),，,(,a,k,),1,H,。从而,H,含有,a,的某些正整数次幂，令,A,=,k,|,a,k,H,k,1,k,I,，则,A,不空，从而有最小者，,设最小者为,r,。以下证明,a,r,是子群,H,*,的生成元。,a,m,H,，如果,r,不能整除,m,，则,m,=,rq,s,，,q,是整数，,0,s,r,，,a,m,=,a,rq,s,=(,a,r,),q,*,a,s,，,a,s,=(,a,r,),q,),1,*,a,m,H,，,s,A,。但,s,r,，这与,r,是,A,中最小者矛盾。此矛盾表明，,a,m,H,，,r,能整除,m,，即,a,m,=,a,rq,=(,a,r,),q,，所以,a,r,是子群,H,*,的生成元，,H,*,也是循环群。,57,群,群的定义与实例,群中的术语,群的性质,子群的定义及判别,群的同态与同构,循环群,置换群,58,n,元置换的定义,定义,14.21,设,S,= 1, 2, ,n,S,上的双射函数,:,S,S,称为,S,上的,n,元置换,.,一般将,n,元置换,记为,例如,S,= 1, 2, 3, 4, 5 ,则,都是,5,元置换,.,59,n,元置换的定义,由于,是双射，,(,a,1,),(,a,2,),(,a,n,),都是,S,的元素且互不相同。因此,(,a,1,),(,a,2,),(,a,n,),必为,a,1,a,2,a,n,的一个排列。而,a,1,a,2,a,n,的排列总数是,n,个，因此集合,S,上的,n,元置换有,n,个。,设,S,=,a,1,a,2,a,n,，集合,S,上的所有,n,元置换组成的集合记为,S,n,。,0,=,1,=,2,=,3,=,4,=,5,=,S,3,=,0,1,2,3,4,5,n,元置换的实例,例,12,设,S,=,1,2,3,，试求集合,S,上的所有,3,元置换和,S,3,解：,S,上的,6,个,3,元置换为：,61,k,阶轮换与对换,定义,14.23,设,是,S,= 1, 2, ,n,上的,n,元置换,.,若,(,i,1,)=,i,2,(,i,2,)=,i,3, ,(,i,k,1,)=,i,k,(,i,k,)=,i,1,且保持,S,中的其他元素不变，则称,为,S,上的,k,阶轮换,，,记作,(,i,1,i,2,i,k,).,若,k,=2,，称,为,S,上的,对换,.,例如,5,元置换,分别是,4,阶和,2,阶轮换,=(1 2 3 4),=(1 3),其中,也叫做,对换,62,例,13,设,S,=1, 2, , 8,从,中分解出来的第一个轮换式,(1 5 2 3 6),；第二个轮换为,(4),；第三个轮换为,(7 8).,的轮换表示式,=(1 5 2 3 6) (4) (7 8)=(1 5 2 3 6) (7 8),用同样的方法可以得到,的分解式,=(1 8 3 4 2) (5 6 7),注意：在轮换分解式中，,1,阶轮换可以省略,. ,n,元置换分解为轮换,63,分解成对换,任何,n,元置换可以分解成对换的乘积,因为任何轮换都可以,表示成对换乘积,.,一种可行的表示方法是：,(,i,1,i,2,i,k,) = (,i,1,i,2,) (,i,1,i,3,) (,i,1,i,k,),例如,64,奇置换与偶置换,注意：,轮换分解中的轮换是可以交换的，且分解式是唯一的,对换分解中的对换不能交换，分解式也不是唯一的，,是分解式含有对换个数的奇偶性不变,.,如果一个,n,元置换在它的对换表示式含有偶数个对换，,称为,偶置换,，否则称为,奇置换,.,使用一一对应的思想可以知道奇置换和偶置换的个数都是,n,!/2.,65,n,元置换的乘法与求逆,两个,n,元置换的,乘法,就是函数的复合运算,n,元置换的求,逆,就是求反函数,.,例,14,设,使用轮换表示是：,= (1 5 4) (2 3) (1 4 2 3) = (1 5 2), = ( 1 4 2 3) (1 5 4) (2 3) = (3 5 4),1,= (1 5 4),1,(2 3),1,= (4 5 1) (2 3) = (1 4 5) (2 3),66,n,元置换群及其实例,考虑所有的,n,元置换构成的集合,S,n,S,n,关于置换的乘法是封闭的,.,置换的乘法满足结合律,.,恒等,置换,(1),是,S,n,中的单位元,.,对于任何,n,元置换,S,n,，逆置换,1,是,的逆元,.,这就证明了,S,n,关于置换的乘法构成一个,群，称为,n,元对称群,.,n,元对称群的子群称为,n,元置换群,.,例 设,S,= 1, 2, 3,，,3,元对称群,S,3,= (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2),67,S,3,的运算表,(1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2),(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2),(1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2),(1 2) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (2 3),(1 3) (1 3 2) (1) (1 2 3) (2 3) (1 2),(2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2) (1 3),(1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1),(1 3 2) (1 3) (2 3) (1 2) (1) (1 2 3),68,置换群实例,例,15,设,S=,1,2,3,4,，,G=,0,1,2,3,，其中,(1),验证,G,是,S,上的一个置换群，,(2),找出置换群,G,导出的,S,上的二元关系,R,。,表,s,0,s,1,s,2,s,3,s,0,s,0,s,1,s,2,s,3,s,1,s,1,s,0,s,3,s,2,s,2,s,2,s,3,s,0,s,1,s,3,s,3,s,2,s,1,s,0,证明：证,G,是,S,4, ,的子群即可。,下表是运算在,G,上的运算表。从表中可看出在,G,上是封闭的。根据定理，,G,是,S,4,的子群，即,G,是,S,上的一个置换群,。,右表是运算在,G,上的运算表。从表中可看出在,G,上是封闭的。根据定理，,G,是,S,4,的子群，即,G,是,S,上的一个置换群,。,表,s,0,s,1,s,2,s,3,s,0,s,0,s,1,s,2,s,3,s,1,s,1,s,0,s,3,s,2,s,2,s,2,s,3,s,0,s,1,s,3,s,3,s,2,s,1,s,0,置换群,G,导出的,S,上的二元关系,R,=,1,1,2,2,3,3,4,4,1,2,2,1,3,3,4,4,1,1,2,2,3,4,4,3,1,2,2,1,3,4,4,3,=,1,1,2,2,3,3,4,4,1,2,2,1,3,4,4,3,=,1,2,1,2,3,4,3,4,置换群实例,