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,5.1.1,任意角,5.1.1任意角,必备知识,自主学习,导思,1.,体操中“前空翻转体,540,度”“后空翻转体,720,度”是什么意思？,2.,任意角可以分为哪几类？,3.,什么是终边相同的角？,必备知识自主学习导思1.体操中“前空翻转体540度”“后,1.,任意角,(1),角的分类,类型,定义,图示,正,角,一条射线绕其端点，按,_,方向旋转形成的角,负,角,一条射线绕其端点，按,_,方向旋转形成的角,零,角,一条射线没有做任何旋转,逆时针,顺时针,1.任意角类型定义图示正一条射线绕其端点，按_方,(2),本质：将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角,.,(3),应用：可以定义任意的旋转角,.,(2)本质：将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到,2.,象限角,如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与,x,轴的,_,重合，那么，角的,终边,(,除端点外,),在第几象限，就说这个角是,_.,如果角的终边在坐标,轴上，就认为这个角不属于任何一个象限,.,3.,终边相同的角,(1),定义：所有与角,终边相同的角，连同角,在内,.,(2),表示：集合,S=|=+k360,，,kZ.,(3),本质：表示成角,与整数个周角的和,.,非负半轴,第几象限角,2.象限角非负半轴第几象限角,【,思考,】,反过来，若角,，,满足,S=|=+k360,，,kZ,时，角,，,是否是终边相同的角？,提示：,当角,，,满足,S=|=+k360,，,kZ,时，表示成角,与,相隔整数个周角，即角,，,终边相同,.,【思考】反过来，若角，满足S=|=+k360,【,基础小测,】,1.,辨析记忆,(,对的打“”，错的打“,”),(1),经过,1,小时，时针转过,30.(,),(2),终边与始边重合的角是零角,.(,),(3),第二象限的角是钝角,.(,),提示：,(1),，因为是顺时针旋转，所以时针转过,-30.,(2),，终边与始边重合的角是,k360(kZ).,(3),，钝角是第二象限的角，但第二象限角不一定是钝角,.,【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”，错的打“”),2.,与,45,角终边相同的角是,(,),A.-45,B.225,C.395,D.-315,【,解析,】,选,D.,与,45,角终边相同的角可以表示为,45+k360,，,kZ,，结合四个选项可以发现只有答案,D,符合题意,.,2.与45角终边相同的角是(),3.(,教材二次开发：例题改编,),已知,0360,，且,与,600,角终边相同，则,=_,，它是第,_,象限角,.,【,解析,】,因为,600=360+240,，所以,240,角与,600,角终边相同，且,0240360,，故,=240,，它是第三象限角,.,答案：,240,三,3.(教材二次开发：例题改编)已知0360，且与,关键能力,合作学习,类型一任意角的概念及应用,(,数学抽象,),【,题组训练,】,1.(2020,杭州高一检测,),下列说法：终边相同的角必相等；锐角必是第一象限角；小于,90,的角是锐角；第二象限的角必大于第一象限的角；若角,的终边经过点,M(0,，,-3),，则角,是第三或第四象限的角，其中错误的是,(,),A.,B.,C.,D.,关键能力合作学习类型一任意角的概念及应用(数学抽象),2.,给出下列四个命题：,-75,是第四象限角；,225,是第三象限角；,475,是第三象限角；,-310,是第一象限角,.,其中正确的命题有,(,),A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,3.,将时钟拨快,20,分钟，则分针转过的度数是,_.,2.给出下列四个命题：-75是第四象限角；225是第,【,解析,】,1.,选,C.,终边相同的角必相等错误，如,0,与,360,终边相同，但不相等；,锐角的范围为,(0,，,90),，必是第一象限角，正确；,小于,90,的角是锐角错误，如负角；,第二象限的角必大于第一象限的角错误，如,120,是第二象限角，,390,是第一象限角；,若角,的终边经过点,M(0,，,-3),，则角,是终边在,y,轴负半轴上的角，故错误,.,其中错误的是,.,【解析】1.选C.终边相同的角必相等错误，如0与360,2.,选,C.,因为,-90-750,，所以,-75,是第四象限角，正确；因为,180225270,，所以,225,是第三象限角，正确；,因为,360+90475360+180,，所以,475,是第二象限角，错误；因为,-360-310-270,，所以,-310,是第一象限角，正确,.,所以这四个命题中有,3,个是正确的,.,3.,分针每分钟转,6,，由于顺时针旋转，所以,20,分钟转了,-120.,答案：,-120,2.选C.因为-90-750，所以-75是第四象,【,解题策略,】,根据角的概念解题的关键,(1),准确理解各个象限内角的特点，逐个判断所在的象限,.,(2),钟表的旋转方向都是顺时针方向，所以所得的角应该是负角,.,【解题策略】,【,补偿训练,】,已知集合,A=,第一象限角,，,B=,锐角,，,C=,小于,90,的角,，则下面关系正确的是,(,),A.A=B=C,B.A,C,C.AC=BD.BC,C,【,解析,】,选,D.,由已知得,B,C,，所以,BC=C,，故,D,正确,.,【补偿训练】已知集合A=第一象限角，B=锐角，C=,类型二终边相同的角的表示及应用,(,直观想象,),【,典例,】,写出终边落在直线,y=x,上的角的集合,S,，并把,S,中适合不等式,-360720,的元素,写出来,.,类型二终边相同的角的表示及应用(直观想象),四步,内容,理解,题意,条件：角的终边在直线,y=x,上,.,结论：求角的集合；,求适合,-360720,的角,.,思路,探求,在,0,360,内找到终边在,y=x,上的角；,推广到任意角；,找出,-360720,内的角,.,四步内容理解条件：角的终边在直线y=x上.思路在036,四步,内容,书写,表达,直线,y=x,与,x,轴的夹角是,45,，在,0,360,范围内，终边在直线,y=x,上的角有两个：,45,，,225.,因此，终边在直线,y=x,上的角的集合：,S=|=45+k360,，,kZ|=225+k360,，,kZ,=|=45+2k180,，,kZ|=45+(2k+1)180,，,kZ=|=45+n180,，,nZ.,所以,S,中适合,-360720,的元素是：,45-2180=-315,；,45-1180=-135,；,45+0180=45,；,45+1180=225,；,45+2180=405,；,45+3180=585.,注意解题过程的规范性：,终边在直线,y=x,上注意讨论两种情况,.,这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合,.,四步内容书写直线y=x与x轴的夹角是45，在0360,四步,内容,题后,反思,在,0,360,范围内，终边在,y=x,上的角有两个，这是同学们容易忽视的地方；最后在,-360,720,求角时，要适当选取,k,的值,.,四步内容题后在0360范围内，终边在y=x上的角有两个,【,解题策略,】,(1),一般地，可以将所给的角,化成,k360+,的形式,(,其中,0360,，,kZ),，其中的,就是所求的角,.,(2),如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加,360,的方式；当所给角是正角时，采用连续减,360,的方式，直到所得结果达到要求为止,.,特别提醒：表示终边相同的角时，,kZ,这一条件不能省略,.,【解题策略】,【,跟踪训练,】,1.(2020,济南高一检测,),下列各角中，与角,30,终边相同的角是,(,),A.-390,B.-330,C.330,D.570,【,解析,】,选,B.,与角,30,终边相同的角的集合为,|=30+k360,，,kZ,，,取,k=-1,，可得,=-330,，,所以与角,30,终边相同的角是,-330.,【跟踪训练】,2.,写出终边落在,x,轴上的角的集合,S.,【,解析,】,S=|=k360,，,kZ|=k360+180,，,kZ,=|=2k180,，,kZ|=(2k+1)180,，,kZ,=|=n180,，,nZ.,2.写出终边落在x轴上的角的集合S.,【,拓展延伸,】,运用终边相同的角的注意点,所有与角,终边相同的角，连同角,在内可以用式子,k360+,，,kZ,表示，在运用时需注意以下四点：,(1)k,是整数，这个条件不能漏掉,.,(2),是任意角,.,(3)k360,与,之间用“,+”,连接，如,k360-30,应看成,k360+(-30),，,kZ.,(4),终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍,.,【拓展延伸】运用终边相同的角的注意点,【,拓展训练,】,写出与,=-1 910,终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式,-720360,的元素,写出来,.,【拓展训练】,【,解析,】,与,=-1 910,终边相同的角的集合为,|=k360-1 910,，,kZ.,因为,-720360,，即,-720k360-1 910360(kZ),，,所以,3 k6 (kZ),，故取,k=4,，,5,，,6.,k=4,时，,=4360-1 910=-470,；,k=5,时，,=5360-1 910=-110,；,k=6,时，,=6360-1 910=250.,【解析】与=-1 910终边相同的角的集合为,类型三象限角及其应用,(,直观想象,),角度,1,用不等式组表示角的集合,【,典例,】,如图所示,.,(1),写出终边落在射线,OA,，,OB,上的角的集合,.,(2),写出终边落在阴影部分,(,包括边界,),的角的集合,.,【,思路导引,】,(1),根据题目给出的角度分别写出,OA,，,OB,表示的角,.,(2),根据阴影部分写出不等式，注意两个角的先后顺序,.,类型三象限角及其应用(直观想象),【,解析,】,(1),终边落在射线,OA,上的角的集合是,|=k360+210,，,kZ.,终边落在射线,OB,上的角的集合是,|=k360+300,，,kZ.,(2),终边落在阴影部分,(,含边界,),的角的集合是,|k360+210k360+300,，,kZ.,【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是|=k3,【,变式探究,】,如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合,.,【变式探究】,【,解析,】,设终边落在阴影部分的角为,，角,的集合由两部分组成,.,|k360+30k360+105,，,kZ.,|k360+210k360+285,，,kZ.,所以角,的集合应当是集合与的并集，即,S=|k360+30k360+105,，,kZ,【解析】设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成.,|k360+210k360+285,，,kZ,=|2k180+302k180+105,，,kZ,|(2k+1)180+30(2k+1)180+105,，,kZ,=|2k180+302k180+105,或,(2k+1)180+30(2k+1)180+105,，,kZ,=|n180+30n180+105,，,nZ.,|k360+210k360+285，,角度,2,n,或 所在象限的判定,【,典例,】,若,是第二象限角，则,2,，分别是第几象限的角？,【,思路导引,】,根据已知条件，用不等式表示出,的范围，再求出,n,或 的范围，然后判定所在象限即可,.,角度2n或 所在象限的判定,【,解析,】,(1),因为,是第二象限角，,所以,90+k360180+k360(kZ),，,所以,180+k7202360+k720,，,所以,2,是第三或第四象限的角，或角的终边在,y,轴的非正半轴上,.,【解析】(1)因为是第二象限角，,(2),因为,是第二象限角，,所以,90+k360180+k360(kZ),，,所以,45+k180 90+k180(kZ
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