含参量正常积分课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数学分析,第十九章,含参量积分,高等教育出版社,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数学分析,第十九章,含参量积分,高等教育出版社,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数学分析,第十九章,含参量积分,高等教育出版社,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,一、含参量正常积分的定义,二、,含参量正常积分的连续性,三、含参量正常积分的可微性,对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数,.,含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式,.,1,含参量正常积分,数学分析,第十九章,含参量积分,*点击以上标题可直接前往对应内容,四、含参量正常积分的可积性,五、例题,一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量,设,是定义在矩形区域,上的,定义在,上以,y,为自变量的一元函数,.,在,上可积,是定义在,上的函数,.,二元函数,.,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,含参量正常积分的定义,例题,可积性,上的定值时,函数 是,当,x,取,倘若这时,后退 前进 目录 退出,则其积分值,设是定义在矩形区域上的 定义在上以 y 为自变量的一元函数.,其中,c,(,x,),d,(,x,),1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,上的二元函数,一般地,设,为定义在区域,上可积,是定义在,上的函数,.,若对于,上每一固定的,x,值,作为,y,的函,数在闭区间,则其积分值,上的连,续函数,为定义在,其中c(x),d(x)1 含参量正常积分定义连续性,用积分形式,(1),和,(2),所定义的这函数,与,通称为定义在,上的含参量,x,的,(,正常,),积分,或简称为含参量积分,.,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,用积分形式(1)和(2)所定义的这函数 与通称为定义在,含参量正常积分的连续性,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,定理,19.1,（）,若二元函数,在矩形区域,上连续,在,a,b,上连续,.,则函数,含参量正常积分的连续性1 含参量正常积分定义连续性可微性,由于,在有界闭区域,R,上连续,就有,于是,证,设,对充分小的,(,若,x,为区间的端点,则仅考虑,),即对任意,总存在,对,R,内任意两点,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,从而一致连续,.,只要,由于 在有界闭区域 R上连续,就有 于是证 设 对充分小,即,I,(,x,),在,上连续,.,同理可证,:,若,在矩形区域,R,上连续,量,的积分,在,c,d,上连续,.,所以由,(3),(4),可得,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,则含参,即 I(x)在 上连续.同理可证:若在矩形区域 R上连,若,在矩形区域,R,上连续,都有,这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极,限运算与积分运算的顺序是可以交换的,.,为任意区间,.,注,2,由于连续性是局部性质,定理,19.1,中条件,注,1,对于定理,19.1,的结论也可以写成如下的形式,:,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,则对任何,若在矩形区域 R 上连续,都有 这个结论表明,定义在矩形区,定理,19.2,（的连续性）,若二元函数,在区域,在,上连续,.,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,证,对积分,(6),用换元积分法,则函数,其中,c,(,x,),d,(,x,),为,上的连续函数,上连续,令,定理19.2（的连续性）若,所以从,(6),式可得,由于被积函数,在矩形区域,上连续,(6),所确定的函数,F,(,x,),在,a,b,连续,.,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,当,y,在,c,(,x,),与,d,(,x,),之间取值时,t,在,0,1,上取值,且,由定理,19.1,得积分,所以从(6)式可得 由于被积函数 在矩形区域 上连续,(6,含参量正常积分的可微性,定理,19.3,（）,若函数,与其偏导数,都在矩形区域,上连续,则函数,在,上可微,且,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,含参量正常积分的可微性 定理19.3（,证,对于,内任意一点,x,设,(,若,x,为区,间的端点,就讨论单侧导数,),由拉格朗日中值定理及,在有界闭域,R,上连续,(,从而一致连续,),就有,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,则,只要,对,证 对于 内任意一点x,设(若 x为区间的端点,就讨论,这就证明了对一切,有,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,因此,这就证明了对一切 有1 含参量正常积分定义连续性可微性,定理,19.4,（的可微性）,c,(,x,),d,(,x,),为定义在,上其值含于,p,q,内的,可微函数,在,上可微,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,在,设,上连续,则函数,且,定理19.4（的可微性）c(,证,把,F,(,x,),看作复合函数,:,由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,有,证 把 F(x)看作复合函数:由复合函数求导法则及变,注,由于可微性也是局部性质,定理,19.3,和定理,19.4,其中,为任意区间,.,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,上连续，,注 由于可微性也是局部性质,定理19.3 和定理19.4其,由定理,19.1,与定理,19.2,推得,:,定理,19.5,（）,含参量,正,常积分的可积性,若,在矩形区域,上连续,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,则,与,分别在,和,上可积,.,由定理19.1与定理19.2推得:定理19.,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,为书写简便起见,今后将上述两个积分写作,与,前者表示,先对,y,后对,x,求积分,求积,顺序相反,.,它们统称为累次积分,.,后者则表示,这就是说,:,在,连续性假设下,同时存在两个,求积顺序不同的积分,:,与,1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性为书写简便起,定理,19.6,则,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,在,连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,.,若,在矩形区域,上连续,定理19.6则 1 含参量正常积分定义连续,证,记,其中,对于,则有,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,因为,与,都在,R,上连续,证 记 其中对于 则有1 含参量正常积分,由定理,19.3,故得,因此对一切,有,即得,当,时,取,就得到所要证明的,(8),式,.,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,由定理19.3,故得 因此对一切 有 即得当,例题,解,记,由于,例,1,求,都是,a,和,x,的连续函数,I,(,a,),在 处连续,所以,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,由定理,19.2,已知,例题解 记由于 例1 求 都是 a 和 x 的连续函数,例,2,讨论函数,的连续性,.,解,易见,的定义域为,令,上连续,而在,上连续,.,上连续,.,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,上连续,因此,的任意性可得,在,由,从,例2 讨论函数的连续性.解 易见的定义域为令上连续,而在上,例,3,计算积分,解,令,上满足定理,19.3,的条件,显然,且函数 在,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,于是,例3 计算积分解 令上满足定理19.3的条件,显然 且函,所以,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,因为,所以1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性因为,因此,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,另一方面,所以,因此 1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性另,分小时,函数,(9),的各阶导数存在，且,例,4,设 在 的某个邻域内连续,验证当,|x|,充,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,解,由于,(9),中被积函数,以及,其偏导数,在原点的某个方邻域内连续,于是由定理,19.4,可得,分小时,函数 (9)的各阶导数存在，且 例4 设,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,同理,如此继续下去，求得,k,阶导数为,特别当,时有,于是,附带说明,:,当,x,=0,时,及其各导数为,1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性同理如此继续,例,5,求,解,因为,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,条件,又由于函数,上满足定理,19.6,的,所以交换积分顺序得到,例5 求解 因为 1 含参量正常积分定义连续性可,例,6,设,求,解,显然,本题不宜先求出,再算积分值,.,可试用交换积分次序的方法求出积分值,.,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,上连续,设,则,在,由定理,19.6,例6 设 求 解 显然,本题不宜先求出,1,含参量正常积分,定义,连续性,可微性,例题,可积性,1 含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性,1.,参照定理,19.1,的证明,定理,19.1,中条件是否可减弱为,:,(1),则,(2),验证你的结论,.,2.,若,在,上一致连续,复习思考题,能否推得,在,上一致连续,?,1.参照定理19.1的证明,定理19.1中条件是否可,