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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,学案3 等 比 数 列,返回目录,1.等比数列的定义,一般地，如果一个数列从,起，每一项与它的,的比等于,常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的,，公比通常用字母,表示.,其数学表达式为：,（q为常数）或,（q为常数）（n2）,常用定义判断或证明一个数列是等比数列.,第2项,前一项,同一,公比,q(q0),考点分析,返回目录,2.等比数列的通项公式,设等比数列a,n,的首项为a,1,，公比为q，则它的通项公式a,n,=,.,通项公式的变形为a,n,=a,m,q,n-m,，也可写为q,n-m,=常用此求通项公式中的公比q.当公比q1时a,n,=可以看成函数y=cq,x,，是一个不为零的常数与指数函数的乘积.因此，数列a,n,各项所对应的点都在y=cq,x,图象上.,3.等比中项,如果三个数x，G，y组成,，则G叫做x和y的等比中项，那么 ，即G,2,=,.,xy,a,1,q,n-1,等比数列,返回目录,4.等比数列的单调性,等比数列a,n,中，公比为q，则,当a,1,0,q1,或a,1,0，0q1时，数列a,n,为,；,当a,1,0,0q1,或a,1,0，q1时，数列a,n,为,；,当q=1时，数列a,n,为,；当q0时，数列a,n,为,.,5.等比数列的前n项和公式,如果等比数列a,n,的首项为a,1,，公比为q，当q=1,时，S,n,=,；当q1时，S,n,=,=,.其推导 方法为,.,递增数列,递减数列,常数列,摆动数列,na,1,错位相减法,6.等比数列的性质,若数列a,n,为等比数列，m，n，p，qN*,且m+n=p+q，则a,m,a,n,=,.,a,n,是等比数列，则a,n,|a,n,|成,数列,公比分别是,；按顺序抽出间隔相同的项组成的新数列,.,a,n,成等比数列，则S,m,，S,2m,-S,m,，S,3m,-S,2m,，公比为,.,返回目录,q,m,a,p,a,q,等比,q和|q|,成等比数列,成等比数列,返回目录,考点一 等比数列的证明,【分析】,首先证明该数列为等比数列，得出公式，再求出首项便可写出通项公式.,数列a,n,的前n项和为,，,（,）（*）,（）求,，,；,（）证明：数列,是等比数列.,题型分析,返回目录,【解析】,（）由,（,），得,（,），,又,（,），即,（,），得,（）证明：当n2时，a,n,=S,n,-S,n-1,=(a,n,-1)-(a,n-1,-1)，得 .,是首项为 ，公比为 的等比数列.,返回目录,【评析】,若用为 常数证明等比数列，不要忘记单独验证n=1时的情况.,（2）要想到利用等比数列的通项公式，需先证明该数列是等比数列.,对应演练,在数列a,n,中,a,1,=2,a,n+1,=4a,n,-3n+1,nN*.,(1)证明:数列a,n,-n是等比数列;,(2)求数列a,n,的前n项和S,n,;,(3)证明:不等式S,n+1,4S,n,对任意nN*皆成立.,返回目录,(1)由题设a,n+1,=4a,n,-3n+1,得a,n+1,-(n+1)=4(a,n,-n),nN*.,又a,1,-1=1,所以数列a,n,-n是首项为1,且公比为4的等比数列.,(2)由(1)可知a,n,-n=4,n-1,于是数列a,n,的通项公式为a,n,=4,n-1,+n.,所以数列a,n,的前n项和S,n,=,返回目录,返回目录,(3)对任意的nN*,S,n+1,-4S,n,=,-4 ,=-(3n,2,+n-4)0.,所以不等式S,n+1,4S,n,对任意nN*皆成立.,1,、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。,2,、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。,3,、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。,4,、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。,5,、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。,6,、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。,十一月 24,2024/11/24,2024/11/24,2024/11/24,11/24/2024,7,、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我,;,对事以诚信，事无不成。,2024/11/24,2024/11/24,24 November 2024,8,、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。,2024/11/24,2024/11/24,2024/11/24,2024/11/24,返回目录,考点二 等比数列基本量的计算,在等比数列a,n,中，已知a,6,-a,4,=24,a,3,a,5,=64,求a,n,前8项的和S,8,.,【分析】,利用已知的两个等式条件，可得a,1,和q的两个方程，解之可得数列a,n,，从而S,8,便可求得.,返回目录,【解析】,解法一：设数列a,n,的公比为q，依题意,a,6,-a,4,=a,1,q,3,(q,2,-1)=24 ,a,3,a,5,=(a,1,q,3,),2,=64,a,1,q,3,=8.,将a,1,q,3,=-8代入式，得q,2,-1=-3,q,2,=-2，舍去.将a,1,q,3,=8代入式，得q,2,-1=3,q=2.,当q=2时,a,1,=1，S,8,=255；,当q=-2时,a,1,=-1,S,8,=85.,返回目录,解法二,：a,n,是等比数列，依题设得,a,4,=8,a,6,=24+a,4,=248,a,n,是实数列，,故舍去a,4,=-8,得a,4,=8,a,6,=32.,从而a,5,=16,公比q的值为q=2.,当q=2时，a,1,=a,4,q,-3,=1,a,9,=a,6,q,3,=256,;,当q=-2时，a,1,=a,4,q,-3,=-1,a,9,=a,6,q,3,=-256,.,【评析】,(1)等比数列a,n,中,a,n,=a,1,q,n-1,S,n,=,中有五个量,可以知三求二.,(2)注意分类讨论的应用.,返回目录,返回目录,对应演练,设等比数列a,n,的公比q1,前n项和为S,n,已知,a,3,=2,S,4,=5S,2,求a,n,的通项公式.,返回目录,由题设知a,1,0,S,n,=,则,a,1,q,2,=2 ,，,由,得,1-q,4,=5(1-q,2,),即(q,2,-4)(q,2,-1)=0,(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0.,由q1,解得q=-1或q=-2.,当q=-1时,代入得a,1,=2,通项公式a,n,=2(-1),n-1,;,当q=-2时,代入得a,1,=,通项公式a,n,=(-2),n-1,.,返回目录,在等比数列a,n,中,a,1,+a,2,+a,3,+a,4,+a,5,=8且,=2,求a,3,.,【分析】,(1)由已知条件可得a,1,与公比q的方程组，解出a,1,，q，再利用通项公式即可得a,3,.,(2)也可利用性质 =a,1,a,5,=a,2,a,4,直接求得a,3,.,考点三 等比数列的性质,【解析】,解法一：设公比为q，显然q1,a,n,是等比数列,也是等比数列,公比为 .,解得 =4,a,3,=2.,返回目录,由已知条件得,返回目录,解法二,:,由已知得,=4.a,3,=2.,【评析】,在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q，则a,m,a,n,=a,p,a,q,”，可以减少运算量，提高解题速度.,返回目录,对应演练,已知数列a,n,是等比数列，首项为a,1,，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列a,n,的通项公式.,设符合题设的等比数列a,n,中的连续三项为a,m,，a,m+1,，a,m+2,，则a,m+1,=a,m,q，a,m+2,=a,m+1,q（q为公比），,两式相减，得 ，,又a,m+1,=a,m,+(k-t)d,即a,m+1,-a,m,=(k-t)d,同理a,m+2,-a,m+1,=(p-k)d(d为公差),故 ,所求通项公式为 .,返回目录,返回目录,已知数列a,n,的前n项和为S,n,，且a,n,=(3n+S,n,)，对一切正整数n恒成立.,（1）证明：数列3+a,n,是等比数列；,（2）数列a,n,中是否存在成等差数列的四项？若存,在，请求出一组，若不存在，请说明理由.,【分析】,利用a,n,与S,n,之间的关系寻求突破口.,考点四 等比、等差数列的综合问题,【解析】,（1）证明：由已知，得S,n,=2a,n,-3n（nN*）,S,n+1,=2a,n+1,-3(n+1),两式相减得a,n+1,=2a,n+1,-2a,n-3,，,即a,n+1,+3=2（a,n,+3）.，,又a,1,=S,1,=2a,1,-3，a,1,=3，a,1,+3=6.,故数列a,n,+3是首项为6，公比为2的等比数列.,返回目录,返回目录,（2）由（1）知a,n,+3=62,n-1,，,a,n,=62,n-1,-3=32,n,-3.,假设a,n,中存在四项依次为 （m,1,m,2,m,3,m,4,）,它们可以构成等差数列，则,（3 -3）+（3 -3）=（3 -3）+（3 -3），,即 +=+,上式两边同除以 ,得,1+=+,m,1,m,2,m,3,m,4,N*,且m,1,m,2,m,3,m,4,式的左边是奇数，右边是偶数，式不能成立.,数列a,n,中不存在构成等差数列的四项.,返回目录,【评析】,数列a,n,+3构成等比数列，并不是a,n,为等比数列；再就是 并不是相邻的四项，在设法上要注意.,已知等差数列a,n,的首项a,1,=1，公差d0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列b,n,的第2项、第3项、第4项.,（1）求数列a,n,与b,n,的通项公式；,（2）设数列 C,n,对n N*均有,成立，求c,1,+c,2,+c,3,+c,2 010,.,对应演练,返回目录,(1)由已知有a,2,=1+d,a,5,=1+4d,a,14,=1+13d,(1+4d),2,=(1+d)(1+13d).,解得d=2(d0).,a,n,=1+(n-1)2=2n-1.,又b,2,=a,2,=3，b,3,=a,5,=9，,数列b,n,的公比为3.,b,n,=33,n-2,=3,n-1,.,返回目录,返回目录,（2）由 得,当n2时，.,当n2时 =a,n+1,-a,n,=2.,c,n,=2b,n,=23,n-1,（n 2）.,又n=1时，=a,2,，,c,1,=3.,c,1,+c,2,+c,3,+c,2 010,=3+23+23,2,+23,2 010-1,=1+21+23+23,2,+23,2 009,=1+2 =3,2 010,.,返回目录,某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第 一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩 （全部 成活）.,（1）问需要几年，可将此山全部绿化完？,（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树林每,年自然增长率10%，设荒山全部绿化后的年底的,木材总量为S，求S约为多少万立方米（精确到0.1）？,【分析】,将问题合理转化为等差、等比数列模型.,考点五 等比数列应用问题,【解析】,（1）每年植树的亩数构成一个以,a,1,=100，d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.,设需要n年可将此山全部绿化，则,S,n,=a,1,n+（n-1）d=100n+50,=3 250.,解此方程，得n=10（年）.,返回目录,返回目录,（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a,1,（1+0.1）,10,第二年种植的树在第10年后的木材量为2a,2,（1+0.1）,9,第10年种植的树在年底的木材量为2a,10,（1+0.1）,第10年后的木材量依次构成数列b,n,，则其和为,T=b,1,+b,2,+b,10,=2001.1,10,+3001.1,9,+1 1001.
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