第四章-频域分析法-控制工程基础课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第4章 频域分析法,通过求解微分方程分析时域性能是十分有用的，但对于比较复杂的系统这种办法就比较麻烦。因为微分方程的求解计算工作量将随着微分方程阶数的增加而增大。另外，当方程已经求解而系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确定应该如何调整系统来获得预期结果。从工程角度来看，希望找出一种方法，使之不必求解微分方程就可以预示出系统的性能。同时，又能指出如何调整系统性能技术指标。频域分析法具有上述特点。该方法是以输入信号的频率为变量，对系统的性能在频率域内进行研究的一种方法。这种分析法有利于系统设计，能够估计到影响系统性能的频率范围。特别地，当系统中存在难以用数学模型描述的某些元部件时，可用实验方法求出系统的频率特性，从而对系统和元件进行准确而有效的分析。本章主要研究线性系统的频率特,性。,第4章 频域分析法 通过求解微分方程分析时域性,1,学习,目的,1. 搞清频率特性的基本概念2. 掌握典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法3. 掌握系统稳定性的频域分析方法4. 了解频域性能指标与时间特性指标之间的关系5. 掌握用系统开环频率特性分析闭环系统性能的方法6. 掌握应用MATLAB工具分析系统频率性能的方法,内容,提要,本章主要阐述系统频率特性的基本概念、典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法、频域稳定判据和系统性能频域分析法,重点,系统,开环博德图,的绘制,难点,系统开环尼氏图的绘制、幅值穿越频率和相位穿越频率的求取,学习1. 搞清频率特性的基本概念2. 掌握典,2,4.1 频率特性的基本概念4.1.1 频率响应与频率特性,设系统传递函数为 。给系统输入一个正弦信号为 (4.1),式中 正弦输入信号的振幅；, 正弦输入信号的频率。,系统的稳态输出量写成,(4.2),比较系统,稳态输出量,和输入信号的波形时发现，稳态输出量的频率与输入量相同，但其振幅及相位都与输入量不同。若改变输入量 的 而保持其振幅 恒定，输出量与输入量的振幅比 及输出量与输入量的相位差 都是频率 的函数。,为了进一步说明,频率特性,的基本概念，考虑图4.1所示RC电,路。其传递函数为,4.1 频率特性的基本概念4.1.1 频率响应与频率特性,3,式中， 电路的时,间常数，,若输入电压为正弦信,号 ,其拉氏变换为,则 电路输出量 的拉氏变换为,通过拉氏反变换，得,(4.3),图4.1,RC,电路,(4.3) 图4.1 RC电路,4,由式（4.3）可见，第一项为输出电压的瞬态分量，第二项为稳,态分量。,定义系统的稳态输出电压和输入电压的复数比为 ，,便有,(4.4),式中, 幅值比为,相位差为,称 为,RC,电路的频率特性。,从这一简单系统的频率特性，也可看出 的物理意义：,（1）频率特性反映系统的内在性质，与外界因素无关。当,系统结构 参数（,R,、,C,）给定，频率特性,随频率 的变化规律也随之完全确定。,（2）频率特性随频率变化而变化。这是因为系统含有储能元,(4.5),(4.6),由式（4.3）可见，第一项为输出电压的瞬态分量，第二项为稳(,5,件（如电容,C,）。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感,这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系统显,示出不同的特性。,（3）系统频率特性的幅值 随着频率 的升高而衰减，,换而言之，频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的“复现,能力”或“跟踪能力”。对于低频信号（即 ），有,这表明在输入信号频率较低时，输出量与输入量的幅值几乎,相等，相位近似相同。系统输入信号基本上可以按原比例在输出,端复现出来；而对于高频信号（即 ），,这表明输入信号较高时，输出量幅值只有输入量幅值的 倍，,相位后滞近 。输入信号被抑制而不能传递出去。对于实际中,的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的“低通”滤波及相位滞,后作用。,件（如电容C）。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感,6,4.1.2 频率特性的求取方法,频率特性一般可以通过如下三种方法得到：,（1）根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求,其稳态解， 取输出稳态分量和输入正弦的复数之比求得。,（2）根据系统的传递函数来求取。将 代入传递函数,中，可直接得到系统的频率特性。,（3）通过实验测得。,一般经常采用的是后两种方法。这里主要讨论如何根据,传递,函数,求取系统的频率特性。仍以图4.1所示系统为例，其传递函,数为 ，将传递函数中的复变量 用纯虚数 来代,替，便可得到频率特性的表达式 ，取它的模,和幅角 ，正是式(4.5)和式(4.6)这种以 代替 。,由传递函数获得频率特性的方法，对于线性定常系统是普遍适用,的。频率特性是传递函数的一种特殊情况，即频率特性是定义在,4.1.2 频率特性的求取方法 频率特性一般可,7,复平面（ 平面）虚轴上的传递函数。,系统的频率特性可分解为实部和虚部，即,（4.7）,也可以表示为,幅值,和,相位,关系，,即,（4.8）,式中, 的实部，称为实频特性；, 的虚部，称为虚频特性。, 的模，它等于稳态输出量与输入量的振幅,比，称为,幅频特性,；, 的幅角，它等于稳态输出量与输入量的相,位差，称为,相频特性,。,这些频率特性之间有如下关系：,（4.9）,4.1.3 频率特性的图示方法,复平面（ 平面）虚轴上的传递函数。,8,因此，系统频率特性采用下面三种图示表达形式：,（1） 幅相频率特性（尼奎斯特图）：系统频率特性,是个矢量。按式 （4.9）和式（4.10）可以求出幅频特性,与相频特性 。给出不同 值，即可算出相应,和 值。这样就可以在极坐标复平面上画 值由零到无,穷大时的 矢量，把各矢端连成曲线即得到系统的极坐标,幅相频率特性曲线,通常称它为尼魁斯特曲线或尼魁斯特图。当,然，也可根据式（4.11）和式（4.12）通过求出不同 时的实,频特性和虚频特性，来获得幅相频率特性曲线。,（2） 对数频率特性（博德图）：对数频率特性是由两张图,（4.10）,（4.11）,（4.12）,（4.10） （4.11） （4.12）,9,组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频特性。对数频率,特性又称为博德图。,考虑系统任意环节的频率特性表达式,（4.13）,取它的自然对数，得到,（4.14）,上式对数的实部 是频率特性模的对数，虚部是频,率特性的幅角。用这种办法表示的频率特性包含两条曲线：,一是 与 之间关系曲线，称为对数幅频特性；一是,与 之间关系曲线，称为对数相频特性。而在实际应用,中，往往不是用自然对数来表达对数幅频特性，而是采用以10,为底的对数来表示。 对数幅频的表达式可写为：,（4.15）,表达式中采用的单位是,分贝,，以“dB”（decibel）表示。在,组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频特性。对数频率,10,对数表达式中，对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是画在半,对数坐标纸上，频率采用对数分度，而幅值（单位：分贝）和角,度（单位：度），则采用线性分度。,需要注意的是，在以 划分的频率轴（横坐标）上，一般,只标注 的自然数值。该坐标的特点是：若在横轴上任意取,两点使其满足 ，则在对数频率轴上两点的距离为,。因此，不论起点如何，只要角频率变化10,倍，在横轴上线段长均等于一个单位，叫做一个,10倍频程,，以,“dec”（decade）表示。当频率变化10倍时，即频率变化了一,个10倍频程。,（3）对数幅相频率特性（尼柯尔斯图）：在所需要的频率范,围内，以频率 作为参数来表示的对数幅值和相角关系的图。,对数幅相频率特性,也称为尼柯尔斯（Nichols）图。,对数表达式中，对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是画在半,11,4.2 典型环节的频率特性图,4.2.1 比例环节,比例环节的传递函数为 ，其,频率特性,为,(4.16),其实频特性和虚频特性为：,(4.17),其对数幅频特性和相频特性为：,(4.19),(4.20),(4.18),图 4.2 比例环节幅相频率特性,比例环节的幅相频率特性是复,平面实轴上一个点，如图4.2所示。,4.2 典型环节的频率特性图4.2.1 比例环节 (,12,幅频特性是,K,，相频特性是 。比例环节的对数幅频特性为幅,值等于 的一条水平直线。相角为零，与频率无关。,比例环节的博德图如图4.3所示。,图4.3 比例环节对数幅频特性和对数相频特性,幅频特性是K，相频特性是 。比例环节的对数幅频特性为,13,4.2.2 惯性环节,惯性环节的传递函数为,其实频和虚频特性可表示为,式中,在 和 时， 值分别为,（4.23）,（4.21）,（4.22）,（4.24）,4.2.2 惯性环节 惯性环节的传递函数为,14,当 趋于无穷大时， 的幅值趋于零，相角趋于,。当 由 时，惯性环节幅相频率特性为一个半,圆。这一点可以证明如下：,虚频特性与实频特性之比为 ，将其代入实频特性表达式中，得,式(4.26)代表一个圆的方程式，圆的半径为 ，圆心在 处，如图4.4所示。,由式（4.23）和式（4.24）可求得惯性环节的对数幅频特性,和对数相频特性表达式,（4.25）,/0,；,/ -45,90,（4.26）,（4.27）,（,15,图4.4 惯性环节的幅相频率特性,图4.4 惯性环节的幅相频率特性,16,在低频段，即当 时， 比起1来小得，可以忽略,不计。而在高频段，即当 时，1比起 小得可以忽略,不计。因此，可得,（4.29）,因此，可以用两条渐近线来近似表示对数幅频特性曲线：,当频率为 时，是一条幅值等于0的水平线，称为低频,渐近线；当频率 时，是一条斜率为 dB/dec 的,（4.28）,（4.28）,17,直线，称为高频渐近线。精确的对数幅频特性曲线及渐近线，如,图4.5所示。两条渐进线相交处的频率 称为转折频率。,图 4.5 惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性,直线，称为高频渐近线。精确的对数幅频特性曲线及渐近线，如图,18,由式（4.28）确定相频特性曲线。当 时， 。在,转折频率 处,当频率 趋于无穷大时， 。,上述分析表明， 惯性环节的对数相频特性由于相角是以反,正切函数来表示的，所以相角对 弯角是对称的。,对于初步设计，利用渐近线画出博德图已经够用了，且很方,便。如需要画出精确的频率特性曲线，可参照图4.6的曲线在渐,近线的基础上进行修正。,由此可见：由于采用渐近线而在幅值上产生的最大误差发生,在转折频率 处，并近似等于3dB。,由惯性环节的博德图可以看出, 具有低通滤波器的作用。对于高于 的频率，其对数幅值迅速衰减。,由式（4.28）确定相频特性曲线。当,19,图 4.6 惯性环节的频率特性用渐近线表示时,所引起的对数幅值误差曲线,图 4.6 惯性环节的频率特性用渐近线表示时,20,4.2.3 积分环节,积分环节的传递函数为,（4.30）,积分环节的频率特性为,（4.31）,其幅频特性为,（4.32）,相频特性为,（4.33）,由于 是常数，而 随 增加而减小。,因此， 积分环节的幅相频率特性是一根与虚轴负段相重合的直,图4.7 积分环节的幅相频率特性,4.2.3 积分环节 积分环节的传递函,21,线，如图4.7所示。,积分环节的对数幅频特性可表示为,（4.34）,由式（4.34）不难看,出， 积分环节的对数,幅频特性是一条斜率,为-20dB/dec的直线，,且与零分贝线相交于,这一点，即,积分环节的对数相,频特性为 的水平,直线与频率 无关。,积分环节的博德,图表示于图4.8。,图4.8 积分环节的对数幅频特性,和对数幅频特性,线，如图4.7所示。图4.8 积分环节的对数幅频特性,22,4.2.4 理想微分环节,理想微分环节的传递函,数为,（4.35）,其频率特性为,（4.36）,其幅频特性为,（4.37）,其相频特性为,(4.38）,显然， 理想微分环节的幅,相频率特性是一根与虚轴正段相重合的直线，如图4.9所示。,微分环节对数幅频特性为：,（4.39）,图4.9 微分环节的,幅相频率特性,4.2.4 理想微分环节 理想微分环节的传递函,23,图4.10 微分环节的博德图,图4.10 微分环节的博德图,24,显然， 和 的频率特性不同之处就是对数幅频特性曲,线的斜率和相角都相差一个符号，因此微分环节的对数幅频特性,是一条通过 ，而斜率为20dB/dec的直线。而对数相频特,性为的一条水平线，如图4.10所示。,这里需要说明的是：如果频率特性包含着 或,因子，那么对数幅频特性分别为：,（dB） （4.40）,及,（dB） （4.41）,而对数相频特性分别为,和 （4.42）,显然， 和 的频率特性不,25,4.2.5 振荡环节,振荡环节的传递函数为,其频率特性为,幅频特性为,相频特性为,（4.43）,（4.44）,（4.45）,4.2.5 振荡环节 振荡环节的传递函数为,26,1.振荡环节的尼奎斯特图,幅相频率特性的低频和高频部分分别为,；,当 从零变化到无穷大时， 振荡环节幅相频率特性由 开,始，到 结束。因此，高频部分与负实轴相切，如图,4.11所示。,下面讨论谐振频率 和 形状不仅与频率 有关，而,且还与阻尼比 有关， 越小，振幅越大。当 小到一定程度,时， 将会出现峰值 。此时所对应的频率称为谐振频率,，令,（4.46）,即可求得 的峰值 。将 值代入式(4.46)，有,1.振荡环节的尼奎斯特图 幅相频率特性的低,27,图 4.11 振荡环节的幅相频率特性,典型曲线,图 4.11 振荡环节的幅相频率特性 典型曲线,28,即 （4.47）,解方程（4.47），得产生峰值的谐振频率为,就是说，当 时， 出现峰值。仅当 ，,即 时，式（4.48）才有意义， 才有峰值。,其谐振峰值,当阻尼 时， 。由式（4.43）得,（4.48）,（4.49）,即,29,即在其无阻尼固有,频率 上引起振,荡， 时的幅,值 将趋于,无穷大。由图4.11,可以看出，,的轨迹与虚轴交点,处的频率为 。,图4.12为 与阻,尼比 之间的关,系曲线。,（4.50）,图 4.12 与阻尼比 之间的关系曲线,30,2.振荡环节的博德图,振荡环节的对数幅频特性为,（4.51）,由式（4.51）(4.45)可以看出：振荡环节的对数幅频特性,和相频特性 ，不仅与 有关，还与阻尼比 有关。,由式（4.51）求得,在低频段，当 时，,在高频段，当 时，,当频率 增加10倍频程时，则有,故振荡环节对数幅频特性可以由两条渐近线近似表示：当,时，是一条0dB的水平线；当 时是一条斜率为,每增加10倍频程下降 dB的直线，记为 。,两条渐近线相交于,2.振荡环节的博德图 振荡环节的对数幅频特性,31,所以无阻尼固有频率 即为振荡环节的转折频率。,上述两条渐近线都是与阻尼比 无关的。然而，当频率接近,于 时，将产生谐振峰值。阻尼比 的大小确定了谐振峰,值的幅值。很明显，用渐近直线来表示时，必然产生误差，误差,大小与 值有关。图4.13为具有不同 值时的博德图。如果需,要绘出精确曲线，则可根据 值的大小由图4.14所示的修正曲,线对渐近线加以修正。,对数相频特性可由式（4.45）求得。 是 和 的函数。,在 时， ，而在转折频率 时，不论 值的大,小，相角 都等于 。因为,第四章-频域分析法-控制工程基础课件,32,当 时，,，,相角曲线对,的弯曲点是斜,对称的。,图4.13振荡环节的对数,幅频特性和,对数相频特性,典型曲线,当 时，图4.13振荡环节的对数典,33,图4.14 振荡环节在,不同值时,的修正曲,线,图4.14 振荡环节在,34,4.2.6 一阶微分环节,一阶微分环节的传递函数为,其频率特性为,（4.52）,其幅频和相频特性分别为：,（4.53）,（4.54）,可见一阶微分环节的幅相频率特性是在复平面上通过（1，0）,点，且平行于虚轴的一条上半直线，如图4.15所示。,其对数幅频特性为,（4.55）,由上式可知一阶微分环节与惯性环节只相差一个符号。,在 时，,4.2.6 一阶微分环节 一阶微分环节的传递函,35,在 时，,一阶微分环节的,对数幅频特性可由上,述两条渐近线表示，,即在 时，是,一条零分贝线；在,时，是一条斜,率为 dB/dec的,直线。它们交接出的,转折频率是 。,一阶微分环节的,博德图见图4.16。,图4.15 一阶微分环节的幅相频率特性,在 时，,36,图4.16 一阶微分环节的博德图,图4.16 一阶微分环节的博德图,37,4.2.7 二阶微分环节,二阶微分环节的传递函数为,频率特性为,（4.56）,其幅频和相频特性分别为：,（4.57）,幅相特性的低频部分和高频部分分别为：,因为，当 时， 的虚部是正的单调增加，而,的实部则由1开始单调递减，所以 的幅相特性曲线如图,4.17所示。相角在 到 之间。,（4.58）,4.2.7 二阶微分环节 二阶微分环节的传递函,38,二阶微分环节的对数频率特性,（4.60）,二阶微分环节和振荡环节的,对数幅频特性和对数相频特性不,同之处仅在于相差一个符号而,已。因此，根据式（4.59）、,（4.60）可以绘制二阶微分环节,的博德图。,图 4.17 二阶微分环节的幅相频率特性,（4.59）,二阶微分环节的对数频率特性图 4.17 二阶微分,39,4.2.8 延迟环节,延迟环节的传递函数为,其幅相频率特性为,（4.61）,因为,而相角与 成线性变化，,因此延迟环节幅相特性是,一个单位圆，如图4.18,所示。,低频时，延迟环节,与惯性环节 的特,性是近似的，如图4.19所,示。 与 的幅,相频率特性在 处彼,此相切。这可由下式看出：,图4.18 延时环节的幅相频率特性,4.2.8 延迟环节 延迟环节的传递函数为图,40,时，,而,然而，当 时，,与 之间存在着,本质的不同，这一点从,图4.19也可以看出,延迟环节的频率特性,也可表示为,由于其幅值总是等于1，,所以，延迟环节 的对数幅值总等于零分贝。其相角,图4.19 延时环节和惯性环节,的幅相频率特性,（弧度）,（度）,（4.62）,时，,41,因此， 相角与频率 是成线性变化的。图4.20所示为延迟环节的对数相频特性。,图 4.20 延迟环节的相频特性,因此， 相角与频率 是成线性变化的。,42,例4.1 设一个二阶,系统的传递函数,试画出这个传递函,数的幅相频率特性。,解：,系统的频率特,性可以写成,将不同的 值代入 表达式，根据求出的各 值下的 和 值就可以画出 的幅相频特性如图4.21所示。,图4.21 例4.1的幅相频率特性,图4.21 例4.1的幅相频率特性,43,例4.2 试画出系统的传递函数,的对数频率特性（博德图）。,解： 为了画出频率特性曲线，必须先求出 和 。根据给定,的振荡环节，则有,得 （弧度/秒）,得,图4.22为求出的对数频率特性。该曲线首先是用渐近线作,出，其转折频率为无阻尼自然频率 （弧度/秒）。然后对,于 可图4.14进行修正，得精确的对数频率特性曲线。,例4.2 试画出系统的传递函数,44,图 4.22 例4.2的对数频率特性曲线,图 4.22 例4.2的对数频率特性曲线,45,4.3 系统开环频率特性图,4.3.1 最小相位系统,为了说明幅频特性和相频特性之间的关系，在此提出最小,相位系统概念。在复平面S右半平面上没有零点和极点的传递,函数称为,最小相位传递函数,；反之，为非最小相位传递函数。具,有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统。,具有相同幅频特性的系统，最小相位传递函数的相角范围是,最小的。例如两个系统的传递函数分别为：,这两个系统具有相同的幅频特性，但它们却有着不同的相频,特性，如图4.23所示。对最小相位系统而言，幅频特性和相频特,性之间具有确定的单值对应关系。这就是说，如果系统的幅频特,4.3 系统开环频率特性图4.3.1 最小相位系统,46,性曲线规定从0变化到无穷大整个频率范围内，那么,相频特性曲,线,就唯一确定，反之亦然。然而对非最小相位系统来说却是不成,立的。以后无特殊说明，一般是指最小相位系统。,图 4.23 和 系统的相频特性,性曲线规定从0变化到无穷大整个频率范围内，那么相频特性曲图,47,4.3.2 系统开环尼氏图的绘制,1.绘制尼氏图的一般方法,为了绘制尼氏图大致形状，一般方法是,描点法,。作图基本步,骤为：,(1) 将系统开环传递函数写成若干典型环节串联形式,即,(2) 根据传递函数写出系统频率特性，并表示为幅频和相频,特性的形式,即,(3) 分别求出起始点（ ）和终点（ ），并表示于,极坐标上；,(4) 找出必要的特征点；,(5) 根据已知点和 、 的变化规律，绘制尼氏图的,大致形状。,4.3.2 系统开环尼氏图的绘制 1.绘制尼氏,48,2.尼氏图的一般形状,线性定常系统的频率特性,为,相应的幅相频率特性曲线为,（1）0型系统： 尼氏图始于正实,轴，且起点处尼氏图的切线和正实轴垂直。,尼氏图趋于原点。,（2）I型系统： ，低频段渐,近线为与负虚轴平行的直线;,尼氏图趋于原点。,（3）II型系统： ，低频段尼,氏图趋于负实轴; ,尼氏图趋于原点。,（4）当 有振荡环节时，上述结论不变。,2.尼氏图的一般形状,49,（5）当 有一阶微分环节时，相位非单调下降，尼氏图发,生弯曲。,例4.3已知系统的传递函数为 ，绘制系统尼氏图。,解：系统的频率特性为,分析组成系统的典型环节：比例环节，积分环节，惯性环节,幅频特性和相频特性,实频特性和虚频特性,（5）当 有一阶微分环节时，相位非单调下降，,50,曲线的起始点和终点为,第四章-频域分析法-控制工程基础课件,51,含有一个积分环,节的二阶系统，其频,率特性的尼氏图在低,频段将沿一条渐近线,趋于无穷远处。这条,渐近线是经过（,-KT,j0）,点，平行于虚轴的直,线, 如图4.24所示。,图 4.24 例4.3的,幅相频率特性曲线,图 4.24 例4.3的,52,例4.4 已知系统的传递函数为：,绘制系统的尼氏图。,解：系统的频率特性为：,分析组成系统的典型环节：比例环节，积分环节，惯性环节,幅频特性和相频特性,实频特性和虚频特性,例4.4 已知系统的传递函数为：,53,曲线的起始点和终点为,曲线的特征点：,54,当 时，,含有两个,积分环节的二,阶系统，其频,率特性的尼氏,图在低频段将,沿负实轴趋于,无穷远处，如,图4.25所示。,图 4.25 例4.4的幅相频率特性曲线,当,55,4.3.3 系统开环博德图的绘制,控制系统,开环传递函数,的一般表达式是,故它的对数幅频特性可表示为,（4.63）,由式（4.63）可以看出, 单回路系统开环的对数幅频特性，,可以用各典型环节的对数幅频特性的纵坐标值相加的办法得到。,4.3.3 系统开环博德图的绘制 控制系统开环,56,与对数幅频特性式（4.63）相对应的相频特性 的表达式是,(4.64),上式说明，系统开环的相频特性和幅频特性一样，可以用各,典型环节的相频特性相加的办法来得到。,综上所述，系统开环对数幅频特性曲线的步骤可归纳如下：,（1）把系统传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递,函数乘积。,（2）根据传递函数获得频率特性，并分析其组成环节。,（3）求出转折频率 等，并把它们按照由小到大顺,序在选定的坐标图上沿频率轴标出。,（4）画出对数幅频特性 的低频渐近线。这条渐近线在,与对数幅频特性式（4.63）相对应的相频特性,57,时是一条斜率为每十倍频程 dB的直线。其中,为系统包含积分环节的个数。在 处，渐,近线纵坐标为 （ 为系统开环放大系数）。,（5）在每个转折频率处改变渐近线的斜率。如果是惯性环,节，斜率改变为 dB/dec；如果是振荡环节，则改变为,dB/dec；如果是一阶微分环节，则为 dB/dec；而二阶微分,环节为 dB/dec。,（6）对渐近线进行修正，画出精确的对数幅频特性曲线。,（7）画出每一个环节的对数相频特性曲线，然后把所有的相,频特性在相同的频率下相加，即得到开环的,相频特性曲线,。,例4.5 设系统开环传递函数,绘制该系统的博德图。,时是一条斜率为每十倍频程,58,解：首先将系统传递函数写成标准形式,根据系统传递函数求得频率特性,由式（4.65）可知该系统由下列典型环节组成:,放大环节：,积分环节：,振荡环节： ，其转折频率,解：首先将系统传递函数写成标准形式,59,惯性环节： ，转折频率,一阶微分环节： ，转折频率,将转折频率 在横坐标上按照顺序标出，见图,4.25。并按式（4.63）求出系统对数幅频特性,当 而接近于零时，,令 ，则,这样，在横坐标轴 处垂直向上取 得到一点，,惯性环节：,60,它就是近似曲线要穿过的点。由前述知道积分环节对数幅频特性,的斜率是-20 dB/dec。所以可以经过上述这一点，绘制 很小,时的系统开环的近似对数幅频特性曲线，即低频渐近线。将低频,渐近线延长至 处，在这以后由于振荡环节的对数幅频,特性曲线渐近线的斜率是- 40 dB/dec，因此在 处，系统的渐,近线的斜率经迭加后变为 - 60 dB/dec，该线一直延长到下一个,转折频率 处。此后，由于惯性环节对数幅频特性曲线的,渐近线斜率为- 20 dB/dec，所以在 处，系统的渐近线的斜率,应为 - 80dB/dec，一直延长到转折频率 处。由于微分环,节的对数幅频特性曲线渐近线的斜率为 + 20 dB/dec，故从,处起系统的渐近线斜率又变为 - 60dB/dec。如此，就得到了系,统开环近似的对数幅频特性，表示在图4.26。为了得到精确曲,线，对上述近似曲线加以修正，即在每一转折频率处，以及低于,和高于转折频率的一倍频程处加以修正就可以得到精确曲线了。,图4.26中以虚线表示的是 的精确对数幅频曲线。,它就是近似曲线要穿过的点。由前述知道积分环节对数幅频特性,61,绘制系统,的相频特性曲,线必须先画出,所有环节的相,频特性，见图,4.26。 ，,分别为,放大环节和积,分环节的相频,特性， 为,振荡环节的相,频性特，,和 各为惯性环节和一阶微分环节的相频特性。然后将它们,的相角在相同的频率下代数相加，这样就画出了 完整的相,频特性曲线 ，如图 4.26所示。,图 4.26 例4.5所示系统的博德图,绘制系统图 4.26 例4.5所示系统,62,4.3.4 传递函数实验确定法,频率特性反映了系统或元件本身内在的固有的运动规律，从,而为实验分析提供了理论依据。从,频率特性,基本概念可知，对于,线性系统或元件，在正弦信号作用下，其稳态输出是与输入信号,频率相同、幅值和相位不同的正弦信号。如果在可能涉及到的频,率范围内，测量出系统或元件在足够多的频率点上的幅值比和相,位移，那么由实验测得的数据可画出系统或元件的博德图。进而,获得系统的传递函数。,对于,最小相位系统,，由于其对数幅频特性和对数相频特性有,确定的对应性，所以，只要获得对数幅频特性就可求得系统的传,递函数。具体方法如下：,（1）根据被测系统博德图的对数幅频特性曲线，用斜率为,0dB/dec、 dB/dec和 dB/dec的直线逼近实验曲线，获,得系统或元件的对数幅频特性曲线的渐近线。,（2）根据渐近线低频段的斜率确定系统或元件包含积分环节,4.3.4 传递函数实验确定法 频率特性反映了,63,（或微分环节）的个数。,（3）从渐近线低频段开始，随着频率的增加，每遇转折频,率，依据渐近线频率的变化，写出对应的环节。如果实验对数幅,频特性在 时，是由 - 20dB/dec变化到 - 40dB/dec，即斜,率变化了-20dB/dec，那么传递函数中应包含有一个,的惯性环节；如果在 处，斜率又变化了 - 40dB/dec，,那么在传递函数中必含有振荡环节 。,振荡环节的无阻尼固有频率就等于转折频率 ，其阻尼比 可通过测量实验对数幅频特性在转折频率 附近的谐振峰值， 并与图4.13所示曲线比较后确定。,（4）当传递函数中的各个环节确定以后，由对数幅频特性渐,近线低频段或其延长线确定增益。由于 趋于零时，,和 趋近于1。,（或微分环节）的个数。,64,所以频率特性可以写成,在实际工程系统中 等于0，1或2。,对于,0 型系统, 由 可知，低频渐近线,是一条 分贝的水平线，故,K,值可由该水平渐近线求得。,对于,型系统,，由 可知，低,频渐近线的斜率为 - 20dB/dec。低频渐近线（或它的延长线）,与0分贝直线交点处的频率在数值上等于,K,。,对于,型系统,，由 可知，当,时， 。因此，低频渐近线的斜率为,40dB/dec，渐近线（或它的延长线）与0分贝直线相交处的频,率在数值上等于 。,图4.27所示为0型、型、型系统的对数幅值曲线，同时,也表示了频率与增益,K,的关系。,所以频率特性可以写成,65,（5）根据上述结果可初步写出系统或元件的传递函数。按照,该传递函数可获得相应的对数相频特性曲线。对于最小相位系,图4.27 0型、I型和II型系统的对数幅频特性曲线,图4.27 0型、I型和II型系统的对数幅频特性,66,统，实验所得的相频特性曲线应与用上述方法确定的传递函数所,画出的相频特性曲线在一定程度上相符，且在很低和很高的频率,范围上，应当严格相符。如果实验所得的相角在高频时不等,于 ，其中 分别表示传递函数分母和分子的阶,次，那么系统必定是一个非最小相位系统。根据实验对数幅频特,性渐近线和对数相频特性曲线，可估算非最小相位的传递函数。,频率特性实验时应注意以下问题：,（1）.在作频率特性实验时，必须采用合适的正弦信号发生,器。它可以是机械、电气和气动的型式。对于时间常数比较大,的系统，作实验时所取的频率范围可为0.0011000 周/秒。正,弦信号必须没有谐波和波形畸变。,（2）.必须合理的选择正弦信号的幅值。由于物理系统具有某,些非线性因素，如果输入信号幅值太大，就要引起系统饱和，得,不到频率特性精确的结果，如果输入信号太小，也会因死区引起,误差。因此，必须合理选择输入正弦信号幅值的大小。为了保证,统，实验所得的相频特性曲线应与用上述方法确定的传递函数所,67,输入波形确实是正弦波，并使系统工作在线性段上，要求在测试,过程中对系统的输出波形进行监测。,（3）.用以测量系统输出的测量装置必须有足够的频宽，在,其工作范围内应该具有接近平直的幅频特性。,例4.6 试确定具有图4.28所示实验频率特性曲线的系统传递函数。,解： 首先, 以 dB/dec及其倍数的线段来逼近实验获得的对,数幅频特性以获得对数幅频特性曲线的渐近线,如图4.28中虚线,所示。,然后找出相应的转折频率 ， ， 。根据,系统对数幅频特性曲线渐近线在各转折频率处的斜率变化，获得,具有如下形式的频率特性：,输入波形确实是正弦波，并使系统工作在线性段上，要求在测试,68,阻尼比 可由,接近于,弧度/秒处的谐,振峰值来求得。,参照图4.13，,得到 。,增益 在数值,上等于低频渐,近线的延长线,与0dB线交点,处的频率值。,于是可得,。,图 4.28 系统的博德图(a),阻尼比 可由图 4.28 系统的博德图(a),69,依据初步,确定的频率特,性，可获得,对,数相频特性,曲,线，如图4.28,中虚线所示。,由图可以看出，,由初步确定的,传递函数画出,的对数相频特,性和实验测得,的相频特性是一致的，且该系统是最小相位系统。,系统传递函数为：,图 4.28 系统的博德图(b),依据初步图 4.28 系统的博德图(b),70,4.4,频域稳定性判据,4.4.1,尼奎斯特稳定性判据,第 3 章已经得到闭环系统稳定的充分必要条件是：所有的闭,环,极点,位于,s,平面的左半平面或者说特征方程的根都必须具有,负实部。尼魁斯特判据仍是根据系统稳定的充分必要条件导出的,一种方法。尼魁斯特稳定性判据的特点是根据开环系统频率特性,来判断闭环系统的稳定性，也称频域法判据，简称奈氏判据。应,用奈氏判据不必求解闭环特征根，同时还可以得知系统的相对稳,定性以及改善系统的稳定性的途径。因此该判据在控制工程中得,到广泛应用。,1.幅角定理,尼奎斯特稳定性判据,是以复变函数中的幅角定理为基础的。,因此，需要了解幅角定理的基本内容。,幅角定理（Cauchy定理）：,设 函数为 多项式的分式，它在 平面上（除有限,4.4 频域稳定性判据 4.4.1 尼奎斯特稳定性判据,71,个奇点外）为单值的连续正则函数。并设 平面上解析点 映,射到 平面上为点 ，或为从原点指向此映射点的向,量 。若在 平面上任意选定一条封闭曲线 ，只要此曲,线不经过 的奇点，就可将 平面的封闭曲线 映射到, 平面上，其结果也是一条封闭曲线，记为 。在 平,面上，当解析点 顺时针方向沿 变化一周时，在 平,面上对应映射点的轨迹 顺时针包围原点的总次数为,次。即 以原点为中心顺时针旋转 周。其,中， 为包围于 内的 函数的零点数； 为包围于 内,的 函数的极点数。,幅角定理有严格的数学证明。这里只作一些简单说明。,将 写成如下 多项式的分式形式,式中,（4.66）,个奇点外）为单值的连续正则函数。并设 平面上解析点,72,如图4.29所示，在 上选择点,A,，使 从这点开始沿,移动，绕 顺时针旋转一周时，所有位于封闭曲线 域外的零、,极点指向变点 的向量转过的角度净变化均为零；而位于封闭曲,线 域内的零、极点指向变点 的向量转过 （这里定义逆,时针旋转的角度为正，顺时针旋转的角度为负）。,当 这样变化时，在 平面上 也相应地发生变,化，它是从点,B,出发沿 顺时针回到点B的闭曲线。这个变化造,成了 的相位角 的变化。如果 平面上 只包围,的一个零点 ，不包围极点和其他零点，则根据式,（4.67）,(4.68),（4.67） (4.68),73,(4.68)可知，当 从,A,点开始沿 绕 顺时针旋转一周时，除,了 等于 之外， , , , , , 的值均分别为零，所以,式（4.69）表示， 平面上的轨迹 从,B,点开始，绕着原,点顺时针旋转了一周。同样，当 从 平面上的A点开始，绕,着 的一个极点 顺时针转一圈（即此圆,内只含有极点 而不含有零点和其他极点）时， 平面上,的对应轨迹绕原点逆时针旋转了一周。若 包围的是 的,个零点和 个极点时，则有,（4.70）,即映射到 平面上的对应轨迹 将顺时针包围原点,圈。,需要指出的是，应用幅角定理只能确定包围于 内函数 的零,(4.69),(4.68)可知，当 从A点开始沿 绕,74,点数 或其极点数 之间的差值 ，即确定 ，并且 与 的形状无关。,图4.29 幅角原理说明图,点数 或其极点数 之间的差值,75,2.基于开环频率特性的线性系统尼奎斯特稳定分析,(1) 系统开环和闭环的特征方程式,闭环系统开环传递函数可写为,式中， ，令 ，即以频率特性表示式（4.71）,具有单位反馈的,闭环系统频率特性,为,（4.73）,式中, 和 分别为开环传递函数中分子和分母的,多项式， 阶数比 的阶数高，而 和,是同次幂。,令,（4.71）,（4.72）,2.基于开环频率特性的线性系统尼奎斯特稳定分析 (1),76,对于具有非单位反馈的闭环系统，可以得到与式（4.74）相,同的表达形式。,（2）尼奎斯特稳定性判据,为了分析线性控制系统的稳定性，令 平面上的封闭曲线,包围 平面的全部右半平面。这时封闭曲线 由整个 轴,（从 到 ）和右半平面上半径为无穷大的半圆轨,迹构成，并且封闭曲线 的方向为顺时针方向。因为封闭曲线,包围 平面的全部右半平面，所以它包围了,的所有具有正实部的零点和极点。下面分三种情况来讨论,1) 开环稳定情况,如果系统开环是稳定的，那么，系统开环特征方程,（4.74）,（4.74）,77,向量 所绕过的角度才等于0。,而 的轨迹曲线很容易变成 的轨迹，,即尼奎斯特轨迹。 和 是同一曲线，不,过向左移了一个单位值，即,（4.80）,如果尼奎斯特曲线 不包围 这一点，则,的幅角变化等于零。因为当频率 从 到 时，,系统开环尼奎斯特图对实轴是镜像对称的，所以，从 到 0 与,0 到 的系统开环尼奎斯特曲线对实轴对称。,因而一般只需绘出 从 0 到 的系统开环尼奎斯特曲线,即可判别闭环系统的稳定性。,尼奎斯特稳定性判据可简述如下：若系统在开环状态下是稳,定的，则系统在闭环状态下稳定的充分和必要条件是它的开环幅,相频率特性曲线 不包围复平面的 点。,这里应该指出的是，对于最小相位系统和能用实验方法求出,向量