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第十二章 全等三角形 复习课,全等三角形知识结构图,1.,能够,完全重合,的,两个图,形叫全等,图形；,能够,完全重合,的,两个三角,形叫全等三角形,.,2.,把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做,对应顶点,，,重合的边叫做,对应边,，,重合的角叫做,对应角,.,考点,1.,全等三角形的性质,B,C,E,F,3.,性质：,全等三角形的对应边相等，对应角相等,.,1.,如,图，已知ACE,DBFCE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2,（1）求AC的长度；,（2）试说明CEBF,解：（1）ACE,DBF，,AC=BD，则AB=DC，,BC=2，2AB+2=8，,AB=3，,AC=3+2=5；,（2）ACE,DBF，,ECA=FBD，,CEBF,常见题型,2.,如图所示，ABD,ACD，BAC=90,（1）求B；,（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由,解,：（,1）ABD,ACD，,B=C，,又BAC=90，,B=C=45；,（2）ADBC,理由：ABD,ACD，,BDA=CDA，,BDA+CDA=180，,BDA=CDA=90，,ADBC,考点,2.,三角形全等的判定方法,(1)SSS,(2)SAS:,必须为夹角,(3)ASA,：必须为夹边,(4)AAS,(5)HL：,只能用于直角三角形,1.,已知,，,ABC,DCB,，,ACB,DBC,，,求证,：,ABC,DCB,ABC,DCB,(,已知），,BC,CB,（公共边），,ACB,DBC,（已知），,证明：,在,ABC,和,DCB,中,，,ABC,DCB,（,ASA,）,.,B,C,A,D,常见题型,2.,已知,ABC,和,DEF,下列条件中,不能保证,ABC,和,DEF,全等的,是,(,),A,.AB,=,DE,AC,=,DF,BC,=,EF,B.,A,=,D,B,=,E,AC,=,DF,C.,AB,=,DE,AC,=,DF,A,=,D,D.,AB,=,DE,BC,=,EF,C,=,F,D,3.,如图所示，,AB,与,CD,相交于点,O,A,=,B,，,OA,=,OB,添加条件,，,所以,AO,C,BOD,理由是,.,A,O,D,C,B,C,=,D,或,AOC,=,BOD,AAS,或,ASA,4.,如,图，在,ABC,中，,AD,平分,BAC,CE,AD,于点,G,交,AB,于点,E,EF,BC,交,AC,于点,F,求证,：,DEC,=,FEC,.,A,B,C,D,F,E,G,A,B,C,D,F,E,G,证明：,CE,AD,AGE,=,AGC,=90.,在,AGE,和,AGC,中，,AGE,=,AGC,，,AG=AG,，,EAG,=,CAG,，,AGE,AGC,(ASA),，,GE=GC,.,AD,平分,BAC,EAG,=,CAG,，,.,A,B,C,D,F,E,G,在,DGE,和,DGC,中，,EG=CG,，,EGD,=,CGD,=90,，,DG=DG,.,DGE,DGC,(,SAS,).,DEG,=,DCG,.,EF/BC,FEC,=,ECD,，,DEG,=,FEC,.,5.,如图，,OB,AB,OC,AC,垂足为,B,C,OB,=,OC,，,BAO,=,CAO,吗？,为什么？,O,C,B,A,解：,BAO,=,CAO,，,理由：,OB,AB,OC,AC,，,B,=,C,=90,.,在Rt,ABO,和Rt,ACO,中,，,OB,=,OC,，,AO,=,AO,，,Rt,ABO,Rt,ACO,，,（HL）,BAO,=,CAO,.,6.如图，已知,ABC中，AB=AC=10，BC=8，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C,向点A以每秒a个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒.,（1）求CP的长（用含有t的式子表示）；,（2）若以点C、P、Q为顶点的三角形和以点B、D、P,为顶点的三角形全等，且,B和C是对应角，求a和t,的值.,C,A,B,Q,D,P,解：（,1,）,由题意得：,BP,=3,t.,BC,=8,，,CP,=,BC,-,BP,=8-3,t,.,解：（,2,）,若,BDP,CPQ,，,AB,=10,，点,D,为,AB,的中点，,BD,=5.,根据题意：,BP,=3,t,，,CP,=8-3,t,，,CQ,=,at,.,BDP,CPQ,，,BD,=,CP,，,BP,=,CQ,，,5=8-3,t,，,3,t,=,at,，解得,t,=1,，,a,=3.,若,BDP,CQP,，,AB,=10,，点,D,为,AB,的中点，,BD,=5,.,根据题意：,BP,=3,t,，,CP,=8-3,t,，,CQ,=,at,.,BDP,CQP,，,BP,=,CP,，,BD,=,CQ,.,3,t,=8-3,t,，,5=,at,，解得,t,=,，,a,=.,1,、作已知角的平分线？,作法：（,1,）以点,O,为圆心，适当长为半径画弧线，交,OA,于点,N,，交,OB,于点,M,.,（,2,）分别以,M,、,N,为圆心，大于,MN,的长为半径画弧，两弧在,AOB,的内部相交于点,C,.,（,3,）画射线,OC,，射线,OC,即为所求,.,考点,3.,角平分线的性质与判定,角的平分线的,性质,2.,图形,已知,条件,结论,P,C,P,C,OP,平分,AOB,PDOA,于,D,PEOB,于,E,PD=PE,OP,平分,AOB,PD=PE,PDOA,于,D,PEOB,于,E,角的平分线的,判定,1.,如,图,1=2,点,P,为,BN,上的一点，,PCB,+,BAP,=180,，,求证,:,PA=PC,.,B,A,C,N,),),1,2,P,E,F,常见题型,证明：过,点,P,作,PE,BA,PF,BC,垂足分别为,E,F,.,1=2,PE,BA,PF,BC,垂足分别为,E,F,.,PE=PF,PEA,=,PFC,=90.,PCB,+,BAP,=180,又,BAP,+,EAP,=180.,EAP,=,PCB.,在,APE,和,CPF,中，,PEA,=,PFC,=90,，,EAP,=,FC,P,，,PE=PF,，,APE,CPF,(AAS),，,2.,如图,1=2,点,P,为,BN,上的一点，,PA=PC,，求证,:,PCB,+,BAP,=180,.,B,A,C,N,),),1,2,P,E,F,证明：过,点,P,作,PE,BA,PF,BC,垂足分别为,E,F.,1=2,PE,BA,PF,BC,垂足分别为,E,F,.,PE=PF,PEA,=,PFC,=90.,PA=PC,，,PE=PF,，,在,Rt,APE,和,Rt,CPF,中，,Rt,PAE,Rt,PCF,(HL).,EAP,=,FCP,.,BAP,+,EAP,=180,，,PCB,+,BAP,=180,.,3.如图，在四边形ABCD中，,B=90，AB/CD，M是BC的中点，AM平分DAB.,（1）DM是否平分,ADC？请证明你的结论.,（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.,（,1,）解：,DM,平分,ADC,.,如图，过点,M,作,ME,AD,，垂足为,E,.,B,=90,，,MB,AB,.,AM,平分,DAB,，,MB,AB,，,ME,AD,，,MB,=,ME,.,B,=90,，,AB,/,CD,，,C,=90,，即,MC,CD,.,M,为,BC,的中点，,MC,=,MB,.,ME,=,MC,.,DM,平分,ADC,.,E,（,2,）解：,DM,AM,，理由如下：,如图，过点,M,作,ME,AD,，垂足为,E,.,AB,/,CD,，,CDA,+,BAD,=180,.,又,EDM,=,CDM,=,CDA,，,EAM,=,BAM,=,BAD,，,MDA,+,MAD,=,（,CDA,+,BAD,）,=90,.,DMA,=90,.,DM,AM,.,E,4.如图，在,ABC中，点D在边BC上，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，请你添加一个条件使得ADEF.,（1）你添加的条件是（），并证明ADEF.,（2）如图，AD为BAC的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，GEAB，GFAC，垂足分别为E、F.这时AD是否垂直于EF？,（3）如图，当点G从点D出发沿着AD方向运动时，其他条件不变，这时AD是否垂直于EF？,本题源自教材帮,（,1,）,解：,AD,平分,BAC,，证明如下：,AD,平分,BAC,，,DE,AB,，,DF,AC,，,DE,=,DF,.,在,Rt,ADE,和,Rt,ADF,中，,AD,=,AD,，,DE,=,DF,，,Rt,ADE,Rt,ADF,（,HL,）,.,EDA,=,FDA,.,设,AD,交,EF,于点,O,，,在,DOE,和,DOF,中，,DE,=,DF,，,EDO,=,FDO,，,DO,=,DO,，,DOE,DOF,.,DOE,=,DOF,.,DOE,+,DOF,=180,.,DOE,=,DOF,=90,，则,AD,EF,.,（,2,）,AD,EF,，证明方法同（,1,）,；,（,3,）,AD,EF,，证明方法同（,1,）,.,考点,4.,全等三角形综合练习,1,如图，,ABCD,，,BE,平分,ABC,，,CE,平分,BCD,，点,E,在,AD,上，求证：,BC,AB,CD.,2,如图，,AB,AE,，,ABAE,，,AD,AC,，,ADAC,，点,M,为,BC,的中点，求证：,DE,2AM.,3在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E,（1）当直线MN绕点C旋转到图1,的位置时，,求证：ADCCEB；,DEAD+BE,；,（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由,（,1,）证明：,ACD,+,BCE,90,DAC,+,ACD,90,，,DAC,BCE,又,AC,BC,，,ADC,BEC,90,，,ADC,CEB,ADC,CEB,，,CD,BE,，,AD,CE,DE,CE,+,CD,AD,+,BE,（,2,）,ADC,CEB,成立，,DE,AD,+,BE,不成立，此时应有,DE,AD,BE,证明：,ACD,+,BCE,90,DAC,+,ACD,90,，,DAC,BCE,又,AC,BC,，,ADC,BEC,90,，,ADC,CEB,CD,BE,，,AD,CE,DE,AD,BE,4 将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放，其中ACBDEB90，AD30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F,（1）求证：AFEFDE；,（2）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且060，其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；,（3）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且60180，其它条件不变，如图你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由,（,1,）证明：连接,BF,（如图,），,ABC,DBE,（已知），,BC,BE,，,AC,DE,ACB,DEB,90,，,BCF,BEF,90,在,Rt,BFC,和,Rt,BFE,中，,Rt,BFC,Rt,BFE,（,HL,）,CF,EF,又,AF,+,CF,AC,，,AF,+,EF,DE,（,2,）解：画出正确图形如图,（,1,）中的结论,AF,+,EF,DE,仍然成立；,（,3,）成立,证明：连接,BF,，,ABC,DBE,，,BC,BE,，,ACB,DEB,90,，,BCF,和,BEF,是直角三角形，,在,Rt,BCF,和,Rt,BEF,中，,BCF,BEF,（,HL,），,CF,EF,；,ABC,DBE,，,AC,DE,，,AF,AC,+,FC,DE,+,EF,
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