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函数及其表示,考点二,函数图象及应用,考点三,函数性质及其应用,3,考点一函数及其表示,1.函数的三要素:定义域、值域和对应关系.注意“定义域优先”的,原则.,2.分段函数:分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.,典型例题,(1)(2017湖北武汉四月调研)已知函数,f,(,x,)满足,f,+,f,(-,x,)=2,x,(,x,0),则,f,(-2)=,(),A.-,B.,C.,D.-,(2)(2017陕西宝鸡质量检测(一)已知函数,f,(,x,)=,则,f,的值等于,(),A.-1B.1C.,D.,(3)(2017课标全国,16,5分)设函数,f,(,x,)=,则满足,f,(,x,)+,f,1的,x,的取值范围是,.,解析,(1)令,x,=2,可得,f,+,f,(-2)=4,令,x,=-,可得,f,(-2)-2,f,=-1,联立解得,f,(-2)=,故选C.,(2)依题意,f,=,f,+1=,f,+1+1=2cos,+2=2,+2=1,选B.,(3)当,x,0时,f,(,x,)+,f,=,x,+1+,x,-,+11,x,-,-,x,0;,当01恒成立;,当,x,时,f,(,x,)+,f,=2,x,+,1恒成立.,答案,(1)C(2)B(3),综上,x,的取值范围为,.,方法归纳,解决分段函数求值问题的方法,(1)在求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值属于哪个区间,再,代入相应的解析式求解.当自变量的值不确定时,要分类讨论.,(2)对于分段函数,已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时,应,根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是,否符合相应段的自变量的取值范围.,跟踪集训,1.已知函数,f,(,x,)=,则,f,(,f,(3)=,(),A.,B.,C.-,D.-3,答案,A因为,f,(3)=1-log,2,3=log,2,0,所以,f,(,f,(3)=,=,=,故选A.,2.(2017山东,9,5分)设,f,(,x,)=,若,f,(,a,)=,f,(,a,+1),则,f,=,(),A.2B.4C.6D.8,参考答案,C解法一:当0,a,1,f,(,a,)=,f,(,a,+1)=2(,a,+1-1)=2,a,.,由,f,(,a,)=,f,(,a,+1)得,=2,a,a,=,.,此时,f,=,f,(4)=2,(4-1)=6.,当,a,1时,a,+11,f,(,a,)=2(,a,-1),f,(,a,+1)=2(,a,+1-1)=2,a,.,由,f,(,a,)=,f,(,a,+1)得2(,a,-1)=2,a,无解.,综上,f,=6,故选C.,解法二:当0,x,0,y,=1+,x,+,1+,x,1,排除A、C.,令,f,(,x,)=,x,+,则,f,(-,x,)=-,x,+,=-,f,(,x,),f,(,x,)=,x,+,是奇函数,y,=1+,x,+,的图象关于点(0,1)对称,故排除B.,故选D.,(2)A中,当,x,+,时,f,(,x,)-,与题图不符;,B中的函数为偶函数,其图象与题图不符;,C中,当,x,0,+,时,f,(,x,)0,与题图不符,故选D.,(3)函数,f,(,x,)=,的定义域为,x,|,x,R,且,x,1,其图象如图所示,由图,可知,f,(,x,)的值域为(-,-1),(0,+,),故错;在(0,1)和(1,+,)上单调递减,在(0,+,)上不是单调的,故错;,f,(,x,)的图象关于,y,轴对称,故正确;由于,在每个象限都有图象,所以与过原点的直线,y,=,ax,(,a,0)至少有一个交点,故正确.,方法归纳,函数图象识辨的常用方法,函数图象的识辨可从以下方面入手:,(1)由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断图象的上,下位置;,(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势;,(3)由函数的奇偶性判断图象的对称性;,(4)由函数的周期性识辨图象;,(5)由函数的特殊点排除不符合要求的图象.,跟踪集训,1.(2017课标全国,8,5分)函数,y,=,的部分图象大致为,(),参考答案,C易知,y,=,为奇函数,图象关于原点对称,故排除B选项;,sin 2,sin 120,=,cos 1,cos 60,=,则,f,(1)=,=,故排除A选项;,f,()=,=0,故排除D选项,故选C.,2.(2017贵州适应性考试)某地一年的气温,Q,(,t,)(单位:)与时间,t,(月份)之,间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10,令,C,(,t,)表示时间段0,t,的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示,C,(,t,)与,t,之间的函数关系的,是,(),参考答案,A若增加的数大于当前的平均数,则平均数增大;若增加的数,小于当前的平均数,则平均数减小.因为12个月的平均气温为10,所以,当,t,=12时,平均气温应该为10,故排除B;因为在靠近12月份时其温度,小于10,因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10,排,除C;6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值,故平均气温不,可能出现先减小后增加的情况,故排除D,故选A.,3.设函数,f,(,x,)=|,x,+,a,|,g,(,x,)=,x,-1,对于任意的,x,R,不等式,f,(,x,),g,(,x,)恒成立,则,实数,a,的取值范围是,.,参考答案,-1,+,),解析,如图,要使,f,(,x,),g,(,x,)恒成立,则-,a,1,a,-1.,考点三函数性质及其应用,1.函数的单调性:,单调性是函数的一个局部性质,一个函数在不同的区间上可以有不同的,单调性,判断函数的单调性常用定义法,图象法和导数法.,2.函数的奇偶性,奇偶性是函数的一个整体性质,判断函数的奇偶性,首先判断函数的定,义域是否关于原点对称,然后再判断,f,(-,x,)与,f,(,x,)的关系,判断函数的奇偶,性也可通过函数图象判断,图象关于原点对称的函数为奇函数;图象关,于,y,轴对称的函数为偶函数.,3.与函数周期性有关的3条结论,(1)若,f,(,x,+,T,)=,f,(,x,),则,T,是,f,(,x,)的一个周期;,(2)若,f,(,x,+,T,)=,则2,T,是,f,(,x,)的一个周期;,(3)若,f,(,x,+,T,)=-,则2,T,是,f,(,x,)的一个周期.,典型例题,(1)(2017课标全国,5,5分)函数,f,(,x,)在(-,+,)上单调递减,且为奇,函数.若,f,(1)=-1,则满足-1,f,(,x,-2),1的,x,的取值范围是,(),A.-2,2,B.-1,1,C.0,4,D.1,3,(2)(2017山东,14,5分)已知,f,(,x,)是定义在R上的偶函数,且,f,(,x,+4)=,f,(,x,-2).若,当,x,-3,0时,f,(,x,)=6,-,x,则,f,(919)=,.,参考答案,(1)D(2)6,解析,(1)已知函数,f,(,x,)在(-,+,)上为单调递减函数,且为奇函数,则,f,(-1)=-,f,(1)=1,所以原不等式可化为,f,(1),f,(,x,-2),f,(-1),则-1,x,-2,1,即1,x,3,故选D.,(2)由,f,(,x,+4)=,f,(,x,-2)得,f,(,x,+6)=,f,(,x,),故,f,(,x,)是周期为6的函数.,所以,f,(919)=,f,(6,153+1)=,f,(1).,因为,f,(,x,)为R上的偶函数,所以,f,(1)=,f,(-1).,又,x,-3,0时,f,(,x,)=6,-,x,所以,f,(-1)=6,-(-1),=6.,从而,f,(1)=6,故,f,(919)=6.,方法归纳,函数三个性质的应用,(1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数,值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分(一半),区间上.尤其注意偶函数,f,(,x,)的性质:,f,(|,x,|)=,f,(,x,).,(2)单调性:可以比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性.,(3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已,知区间上的问题,转化到已知区间上求解.,跟踪集训,1.(2017湖南长沙四校模拟(二)若,f,(,x,)=,是R上的奇函数,则实,数,a,的值为,(),A.0B.1C.2D.3,答案,B函数,f,(,x,)是R上的奇函数,f,(0)=0,=0,解得,a,=1.经,检验,符合题意.,2.(2017四川成都第一次模拟)已知函数,f,(,x,)的定义域为R,当,x,-2,2时,f,(,x,)单调递减,且函数,f,(,x,+2)为偶函数.则下列结论正确的是,(),A.,f,(),f,(3),f,(,)B.,f,(),f,(,),f,(3),C.,f,(,),f,(3),f,()D.,f,(,),f,(),f,(3),答案,C因为函数,f,(,x,+2)为偶函数,所以函数,f,(,x,)的图象关于直线,x,=2,对称,又当,x,-2,2时,f,(,x,)单调递减,所以当,x,2,6时,f,(,x,)单调递增,f,(,)=,f,(4-,),因为24-,3,所以,f,(,),f,(3)2时,f,(,x,)=,f,(,x,-4),故其周期为4,则,f,(-2 017)=,f,(2 017)=,f,(2 016+1)=,f,(1)=e.,31,2.(2017河南郑州第二次质量检测)已知函数,f,(,x,)=,a,sin,x,+,b,+4,若,f,(lg 3),=3,则,f,=,(),A.,B.-,C.5D.8,答案,C由,f,(lg 3)=,a,sin(lg 3)+,b,+4=3得,a,sin(lg 3)+,b,=-1,而,f,=,f,(-lg 3)=-,a,sin(lg 3)-,b,+4=-,a,sin(lg 3)+,b,+4=1+4=5.故,选C.,32,3.函数,y,=,x,3,+ln(,-,x,)的图象大致为,(),33,参考答案,B由题意知函数的定义域为R,关于原点对称,令,y,=,f,(,x,),因为,f,(-,x,)=(-,x,),3,+ln,-(-,x,)=-,x,3,+ln(,+,x,)=-,x,3,+ln,=-,x,3,-ln,(,-,x,)=-,x,3,+ln(,-,x,)=-,f,(,x,),所以函数,y,=,x,3,+ln(,-,x,)为奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D;当,x,=1时,y,=1,3,+ln(,-1)=1+ln(,-1)=,lne(,-1)ln 1=0,排除A;故选B.,34,4.(2017新疆第二次适应性检测)已知函数,f,(,x,)是定义在R上的奇函数,当,x,0时,f,(,x,)=,x,2,若对任意的,x,m,-2,m,不等式,f,(,x,+,m,)-9,f,(,x,),0恒成立,则,m,的取值范围是,.,参考答案,4,+,),解析,依题意得,函数,f,(,x,)在R上单调递增,且当,x,m,-2,m,时,f,(,x,+,m,),9,f,(,x,)=,f,(3,x,),所以,x,+,m,3,x,x,恒成立,于是有,m
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