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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,第二章 控制系统的数学模型,主要内容：,1）控制系统的时域数学模型的建立；,2）复习傅里叶变换拉普拉斯变换；,3）控制系统的传递函数，典型元部件的传递函数；,4）控制系统的结构图及等效变换；,5）信号流图（梅逊公式）及控制系统的传递函数。,基本要求：,1）掌握系统微分方程建立的方法；,2）熟练掌握传递函数的概念、定义、性质及局限性；,3）熟悉常用元部件（典型环节）的传递函数及常用的传递函数形式；,4）学会由系统微分方程建立系统结构图，熟练掌握用拉氏变换方法求解线性常微分方程的方法；,5）熟练掌握利用结构图等效变换和梅逊公式求系统传递函数的方法。,.,本章概述,2.1拉氏变换和反变换,2.3 控制系统的复数域数学模型,2.5 系统方框图,2.4 典型环节的传递函数,2.6系统信号流图,2.7闭环系统传递函数的求取,2.2 控制系统的时域数学模型,.,数学模型：,描述系统内部物理量（变量）之间关系的数学表达式。,建模的基本方法,:,(1),机理建模法,(,解析法,),；,(2),实验辩识法。,工程控制中常用的数学模型形式：,时域描述,微分方程、差分方程、状态方程,复域描述,传递函数、方块图（结构图）、信号流程图,频域描述,频率特性,模型各有特点，使用时可灵活掌握。若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。,数学基础：,傅里叶变换与拉普拉斯变换,.,数学模型的形式,时间域：,微分方程,差分方程,状态方程,复数域：,传递函数,结构图,频率域：,频率特性,.,“三域”模型及其相互关系,.,建立数学模型的基础,机械运动：牛顿定理、能量守恒定理,电学：欧姆定理、基尔霍夫定律,热学：传热定理、热平衡定律,微分方程 （连续系统）,差分方程 （离散系统）,.,2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换,2.1.1,傅里叶级数,.,.,.,.,2.1.2,傅里叶,积分与,傅里叶变换,.,O,w,1,w,2,w,3,w,n,-1,w,n,w,.,.,Fourier,变换的定义,.,在频谱分析中，傅氏变换,F,(,w,)又称为,f,(,t,),的频谱函数，而它的模,|,F,(,w,)|称为,f,(,t,),的振幅频谱(亦简称为频谱)。,由于,w,是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数,f,(,t,),作傅氏变换,就是求这个时间函数,f,(,t,)的频谱。,.,例 矩形脉冲函数为,1,-,1,o,t,f,(,t,),1,.,2.1.3,拉普拉斯变换,拉氏变换的优点：,1）求解简化；,2）把微分、积分方程转化为代数方程；,3）将复杂函数转化为简单的初等函数；,4）将卷积转化为乘法运算。,.,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,.,一般函数有：,引入衰减因子 得,.,拉普拉斯变换的定义,设函数 满足:时 ，,时,分段连续，且 则拉普拉斯变换的定义为：,是原函数（时间函数）,是象函数，s是复变数,拉普拉斯反变换：,.,2.1.4,典型函数（常用信号）的拉普拉斯变换,1）指数函数,构成一变换对,2）单位脉冲函数,构成一变换对,.,3）单位阶跃函数,构成一变换对,4）单位速度函数,构成一变换对,.,5）单位加速度函数,构成一变换对,6）正弦函数,构成一变换对,.,7）t的幂函数,构成一变换对,.,2.1.5,拉普拉斯变换定理（性质）,1）,线性定理,2）微分定理,.,.,3）积分定理,.,5）延时定理（第二平移定理）,4）,位移定理（第一平移定理）,.,6）,初值定理,7）,终值定理,8）,相似定理（时间比例尺的改变定理）,.,9）卷积定理,10）乘幂定理,.,例,求 的拉普拉斯变换,.,2.1.6,拉普拉斯反变换,拉普拉斯变换的部分分式展开式,在,控制系统中,一般为如下有理分式的形式:,拉普拉斯反变换的公式：,.,）中只有不同的实数极点时,.,解：,将,F,(,s,)展开成部分分式形式,.,）中,含有多重极点时,.,.,解：,将,F,(,s,)展开成部分分式形式,.,）中含有共轭复数极点时,.,解：,求方程,s,2,+,s,+1=0的根,.,.,.,.,2.1.7,拉氏变换求解微分方程,微分方程,象函数的,代数方程,原函数,（微分方程的解）,象函数,拉氏变换,解代数方程,拉氏反变换,.,.,.,.,.,
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