力学竞赛辅导材料力学分解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,力学竞赛辅导,材料力学,江汉大学机电建工学院,力学教研室,一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪，为什么,2,个人可以过桥而,1,个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。,根据事后他的调查，小河宽,4,米，独木桥长,6,米，如图,1,所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为,M=600N.m,。为方便假设每人的体重均为,800N,，而独木桥的重量不计。请你分析一下：,1,）本问题与力学中的什么内容有关系？（,2,）如果一个人想过桥，最多能走多远？（,3,）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？,（,1,）本问题与力学中的什么内容有关系？,关键词：梁的弯曲、弯矩。（,2,）如果一个人想过桥，最多能走多远？该问题简化为下图，设人从,B,向,A,走去，载荷,P,与,B,点距离为,x,，,AB,间的距离为,L,。,易求出支座,B,点的约束力为,RB=P(L-x)/L,则,AB,间最大弯矩为,M(x,)=P(L-x)/L,根据允许最大弯矩为,M 600N m,，有,P(L-,x)x,/L M,代入数据，解出,x 1,，,x 3,例,1.,图示为双杠之一梁,每一梁由两根立柱支撑,设两柱之间的跨度为,l,;,每一梁具有两个外伸段,设每一外伸段的长度均为,a,假定运动员在双杠上作动作时在每个梁上只有一个作用点,力的作用线垂直于横梁,.,试决定在双杠的设计中,l,与,a,的长度的最佳比值,(,即运动员在上运动时,其上的弯矩值的变化最小,),设梁与立柱间的连接为铰接,.(,第二届题,),解,:,当运动员在中点时,杠梁的最有最大弯矩为,当运动员在杠梁的两端时,杠梁的立柱处根部最有最大弯矩为,P,a,令,则有,例,2.,一根足够长的钢筋放置在水平刚性平台上,.,钢筋单位长度的重量为,q,抗弯刚度为,EI.,钢筋的一端伸出桌边,B,的长度为,a.,试求钢筋自由端,A,的挠度,.,(,第五届题,),解,:,考虑先满足,M,D,=0,计算模型如下图,为满足,D,=0,则令,于是有,:,例,3.,求如下连续梁铰链处转角的间断值,.(,第三届题,),对于,AC,梁的,C,点,对于,BC,梁的,C,点,例,4.,图示所示传感器,AB,和,CD,为铜片,其厚度为,h,宽为,b,长为,l,材料的弹性模量为,E,它们在自由端与刚性杆,BD,固接,.(1),试求截面,K K,的轴力和弯矩,;(2),如果采用电测法测量截面,K K,的轴力和弯矩,试确定贴片与接线的方案,(,选择测量精度较高的方案,),并建立由测试应变表示的内力表达式,.,l,a,解,:,(1),由整体平衡及两铜片相同的弯曲变形,(,不考虑轴向变化,),可推得,A,、,C,处水平力均等于,F/2.,取,AB,片分析受力,又,(,第五届力学竞赛试题,),整体分析受力,l,a,同理可分析,DC,片得知,例,4.,图示所示传感器,AB,和,CD,为铜片,其厚度为,h,宽为,b,长为,l,材料的弹性模量为,E,它们在自由端与刚性杆,BD,固接,.(1),试求截面,K K,的轴力和弯矩,;(2),如果采用电测法测量截面,K K,的轴力和弯矩,试确定贴片与接线的方案,(,选择测量精度较高的方案,),并建立由测试应变表示的内力表达式,.,(2),采用全桥测量电路,a.,测弯矩电路,贴片如图,a.,测弯矩电路,(,考虑两侧弯曲应力和拉伸应力符号,),b.,测轴力电路,例,5.,一半径为,a,、长为,l,的弹性圆轴,其弹性模量为,E,泊松比为,现将轴套在一刚性的厚管内,轴和管之间有初始间隙,设轴受集中力,F,作用,当,F=F,1,时轴与刚性壁恰好接触,求,F,1,的值,;,当,F F,1,后,管壁和轴之间有压力,记,f,为摩擦系数,这时轴能靠摩擦力来承受扭矩,当扭矩规定为,M,时,求对应的,F,值,.,由胡克定律,在轴与管间由间隙到恰好接触时,当,轴周边受径向压力,(,第三届力学竞赛试题,),当,轴周边受径向压力,由于圆筒是刚性的,则圆轴的径向和环向不再改变,由胡克定律,上式中,上两式联立求解,:,由均匀应力及平衡条件可知,例,5.,一半径为,a,、长为,l,的弹性圆轴,其弹性模量为,E,泊松比为,现将轴套在一刚性的厚管内,轴和管之间有初始间隙,设轴受集中力,F,作用,当,F=F,1,时轴与刚性壁恰好接触,求,F,1,的值,;,当,F F,1,后,管壁和轴之间有压力,记,f,为摩擦系数,这时轴能靠摩擦力来承受扭矩,当扭矩规定为,M,时,求对应的,F,值,.,若此时轴上有扭矩,M,则扭矩,M,与轴承受的摩擦力偶矩保持平衡,例,6.,两种材料组成的矩形截面梁,其上部材料为,I,截面为,A,1,弹性模量为,E,1,;,下部材料为,II.,横截面为,A,2,弹性模量为,E,2,且,E,2,E,1,如图示,.,假设平面假定依然成立,试推导在线弹性范围内,纯弯曲时横截面上正应力的计算公式,.,解,几何方程,:,物理方程,:,静力学关系,:,横截面上有,中性轴方程,对于同一材料,中性轴方程,(,过截面形心,),变化图,变化图,A,1,对中性轴的惯性矩,A,2,对中性轴的惯性矩,由,例,7.,在半径为,R,的刚性圆柱面上,放一平直的钢板,BB,两端作用对称载荷,F.,钢板的弹性模量为,E,其厚度为,h,宽度为,b,在力,F,的作用下处于弹性小变形状态,且,R h.,求,:(1),钢板在开始接触圆柱面,A,点附近时的载荷,F,0,;(2),当,F F,0,钢板与圆柱面,CAC,接触时,求,B,、,C,两点的挠度差,W,BC,与载荷,F,的关系,.,解,:,(1),钢板,A,处开始有变形,由,(2),对于,C,处,(B),(B),例,8.,如图示,为传递扭矩,T,将一实心圆轴与一空心圆轴以紧配合的方式连接在一起,.,设两轴间均匀分布配合压强,p,摩擦系数为,实心轴直径为,d,空心轴的外径为,D,连接段长度为,L,两轴的材料相同,.,求,:(1),两轴在连接段全部发生相对滑动时的临界扭矩值,T,cr,;(2),设初始内外轴扭矩均为零,当传递的扭矩从零增加到,T=2/3T,cr,时,绘制内轴在连接段,L,的扭矩图,.(,假定材料力学关于圆轴扭转的公式全部成立,)(,第四届力学竞赛题,),解,:,(1),由题意可有,:,(2),当扭矩,T,T,cr,两轴在连接段的中部某一段不会产生相对滑动,.,取实心轴及与其固连的部分空心轴分析受力,取实心轴及与其固连的部分空心轴分析受力,摩擦力偶集度,T,2,:,二轴无相对滑动时空心轴截面上的扭矩值,设二轴无相对滑动时实心轴截面上的扭矩值为,T,1,显然,由所给的条件可得,:,考虑受力体的平衡,考虑受力体的平衡,考虑实心轴,L,1,段受力,实心轴扭矩图,空心轴扭矩图,如果,T=,T,cr,实心轴扭矩图,空心轴扭矩图,例,9.,如图示,曲杆,AB,的轴线是半径为,R,的四分之一圆弧,杆的横截面是直径为,d,的实心圆,d R,杆的,A,端固结,B,端自由,并在,B,端作用有垂直于杆轴线所在平面的集中力,F.,已知材料的拉压弹性模量为,E,剪切弹性模量为,G,许用拉应力为,.(1),试按第三强度理论,求许用载荷,F (2),求在载荷,F,的作用下,自由端绕轴线的转角,B,.(,第四届力学竞赛题,),解,:,(1),取,BC,段曲梁分析平衡受力,当,0,T,2,而温度沿截面的高度按线性变化,.,试用能量法求截面,B,的转角,.,梁的尺寸如图,材料的线胀系数为,.(,第五届力学竞赛题,),解,:,先求,B,处支反力,由例,3,可知,由简单载荷的挠度公式可得,亦由例,3,可知,另,由叠加法可得,:,其中,例,11:,一个体重为,G,的跳水运动员站在厚为,2a,长为,L,的悬臂梁跳板的端部,.,已知梁的许用应力为,梁的刚度为,EI.,试求他的允许起跳高度,(,第一届力学竞赛复试题,),解,:,由题意,应有,:,由上式可解出最大起跳高度,例,12.,两根相同的梁,AB,、,CD,如图示放置,.,二者自由端间距,=W,l,3,/,3EI.,当重为,W,的物件突然加于,AB,梁的,B,端时,求,CD,梁,C,点的挠度,.(,第三届力学竞赛题,),解,:,(,梁自重不计,),设,C,点的挠度为,y,由题意及能量守恒原理,上式可简化为,解之,得,:,例,13.,图示均质等截面直梁,AB,由高,h,处水平自由坠落在刚性的支座,D,上,梁在变形中仍处于弹性变形阶段,.,设梁长为,2,l,梁的单位长重量为,q,梁的抗弯刚度为,EI.,试求梁内的最大弯矩,.(,第五届竞赛试题,),解,:,考虑结构受力及变形的对称性,应取一半分析,这是一冲击载荷问题,由能量原理,对比教科书上,由能量原理,梁内最大弯矩,例,14.,长为,l,的悬臂梁,在距固定端,S,处放一重量为,W,的重物,重物与梁之间的摩擦系数为,f,在自由端处作用一力,F.,求,:(1),什么条件下不加力,F,重物就能滑动,?(2),若需加力,F,才能滑动时,力,F,的大小是多少,?(,第三届力学竞赛题,),解,:,(1),求梁,S,处的转角,由自锁的条件可知,若滑动,应有,:,即是重物,(2),考虑有,F,力时系统的临界平衡,此时,S,处的转角为,:,由,解之,由题意,为所求,.,例,15.,有一实心圆杆受力如图示,.,已知直径,d=200(mm),F=200,(,kN,),E=20010,3,(,MPa,),=0.3,=170(MPa).,已测得在杆的表面上,K,点处,45,=,310,4,.,试用第四强度理论校核强度,.(,第三届力学竞赛题,),解,:,由杆件的受力状态,取,K,处单元体分析,由已知的轴向力,由此应力状态下的第四强度理论表达式,由应变转换公式,例,15,有一实心圆杆受力如图示,.,已知直径,d=200(mm),F=200,(,kN,),E=20010,3,(,MPa,),=0.3,=170(MPa).,已测得在杆的表面上,K,点处,45,=,310,4,.,试用第四强度理论校核强度,.(,第三届力学竞赛题,),另解,:,由已知的轴向力,由应力变换公式,:,由广义胡克定律,:,