数学建模与数学素养剖析

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学模型与数学素养,数学模型,定义,：对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，据其内在规律，作出一些必要的简化、假设，运用适当的数学工具，而得到的一个数学结构。,简言之：用数学术语对部分现实世界的描述。,具体讲：是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式，以及用图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。,研究数学模型的意义,1.,辉煌历史,欧几里德几何,古老经典的数学模型,牛顿三大定律,数学模型的光辉典范,2,现实意义（国民经济中的数学模型）,（,1,）产品设计与制造,Eg1:,波音,767,飞机的成功设计中，,应用了数学家建立的超音速流 和激波的数学模型，设计出了防激波的飞机翼型；用有限元法计算出了飞机的强度；自动导航和降落系统完全基于新的数学模型等。,Eg2:CAD/CAM,计算机辅助设计,/,制造 软件,几何造型系统,几何成像模型；性能分析系统,评价模型；,优化系统,数学模型与优化技术结合的产物；,工程数据库数据结构模型 等等。,（,2,）质量控制,TQC,全面质量管理,二次世界大战后，日本作为战败国，百废待兴。美国的著名统计学家戴明（,Deming),在日本工商业广泛推广与应用其质量控制理论与方法，使日本的工业产品以惊人的速度成为世界上最具竞争力的产品。,（,3,）预测与管理,Eg1:,经济学家因为采用数学方法的重要成就，提出了新的经济模型，从而多次荣获,诺贝尔经济学奖。,Eg2,：,我国粮食产量的预测十分准确，连续,15,年的平均误差控制在,1%,之内；上海经济发展预测误差不超过,5%,。均得益于相应的预测模型。,Eg3:,气象预报的准确性，得益于大型计算机的数值模拟模型；,高速电子通讯中的信息传输、压缩、安全保密也得益于相应的数学模型。,（,4,）高新技术领域,Eg1:,CT,装置的核心技术中包含三维重构的数学模型和拉东变换方法的软件。,Eg2:,虚拟现实技术,数学模型、数值模拟与多媒体技术结合的产物。,研究数学模型的意义,研究数学模型的意义,国际上的共识,数学是一种关键性的、普遍的、能够实行的技术,。,高新技术本质上是一种数学技术。,数学建模,建立数学模型的迭代过程。,实,际,问,题,抽象、,简化、,假设,确立,参数,和,变量,建立,数学模型,并,数学、,数值地,求解,确定参数,用实际问题,的,实测数据,检验,数学模型,交付,使用,产生,效益,符合实际,不,符合,实际,数学模型的分类,初等方法建模（初等数学中代数、几何、概率方法）,微分法建模（静态优化模型）,数学规划模型,(,线性、非线性规划）,微分方程模型（常微分、偏微分方程）,随机模型（概率分布方法建模、随机过程建模）,动态规划模型、随机规划,层次分析法建模、模糊分析模型、灰色系统模型,插值与拟合,统计分析模型（回归分析、方差分析、时间序列分析）,差分方程模型、变分法模型,图论模型、决策及对策模型,计算机模拟分析,全国大学生数学建模竞赛简介,一、,赛事规模,1992,年由中国工业与应用数学学会,(CSIAM),组织第一次竞赛,1994,年起由教育部高教司和,CSIAM,共同举办，每年一次,(9,月,),参赛院校由,1992,年的,79,个，发展到,2008,年的,2300,多个；,参赛队数：由,1992,年,300,多个，发展到,2008,年的,30000,多个；,全国大学生数学建模竞赛简介,二、竞赛内容,：,题目由工程技术、管理科学、社会科学中的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。,三、竞赛形式,：,三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。,四、评奖标准,：,假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度。,大学阶段难得的一次近似于“真刀真枪”的训练，模拟了毕业后工作时的情况，既丰富、活跃了广大同学的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创造了条件。,运用学过的数学知识和计算机（包括选择合适的数学软件）分析和解决实际问题的能力,面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行研究的能力,关心、投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风,团结合作精神和进行协调的组织能力,查阅文献、收集资料以及撰写科技论文的文字表达能力,数学建模竞赛：培养学生创新精神，提高学生综合素质,数学建模课程,课程目的：培养用数学方法分析、解决实际问题的意识和能力,引起注意 激发兴趣 介绍方法 培养能力,精心选择案例：实际背景简明，问题能吸引人，假设和建模的依据容易理解，求解不太复杂。,讲课重点在实际背景、问题分析、假设和建模、结果的分析等，求解过程尽量简化。,条件许可时课堂采取讨论式。,作业、课外阅读、考试形式多样化。,历年全国数学建模试题及解法,93A,非线性交调的频率设计,拟合、规划,93B,足球队排名,图论、层次分析、整数规划,94A,逢山开路,图论、插值、动态规划,94B,锁具装箱问题,图论、组合数学,95A,飞行管理问题,非线性规划、线性规划,95B,天车与冶炼炉的作业调度,动态规划、排队论、图论,96A,最优捕鱼策略,微分方程、优化,96B,节水洗衣机,非线性规划,97A,零件的参数设计,非线性规划,97B,截断切割的最优排列,随机模拟、图论,98A,一类投资组合问题,多目标优化、非线性规划,98B,灾情巡视的最佳路线,图论、组合优化,99A,自动化车床管理,随机优化、计算机模拟,99B,钻井布局,0-1,规划、图论,历年全国数学建模试题及解法,00A,DNA,序列分类,模式识别、,Fisher,判别、人工神经网络,00B,钢管订购和运输,组合优化、运输问题,01A,血管三维重建,曲线拟合、曲面重建,01B,公交车调度问题,多目标规划,02A,车灯线光源的优化,非线性规划,02B,彩票问题,单目标决策,03A,SARS,的传播,微分方程、差分方程,03B,露天矿生产的车辆安排,整数规划、运输问题,04A,奥运会临时超市网点设计,统计分析、数据处理、优化,04B,电力市场的输电阻塞管理,数据拟合、优化,05A,长江水质的评价和预测,预测评价、数据处理,05B,DVD,在线租赁,随机规划、整数规划,历年全国数学建模试题及解法,06A,出版社的资源配置 数据处理 多目标优化,06B,艾滋病疗法的评价及疗效的预测,数据处理 曲线拟合 人工神经网络,模糊评判,07A,中国人口增长预测模型,数据处理,差分方程 随机规划 多目标规划,07B,乘公交，看奥运,数据处理 图论 多目标规划,08 A,数码相机定位,计算机图形处理 仿射变换 几何光学畸变原理,08B,高校收费标准问题,数据收集 统计分析 神经网络,层次分析 模糊评判,二十一世纪科学和数学的趋势,趋势一：研究从直线模型到动态模型；,趋势二：从理论实验，到理论实验计算；,趋势三：从学科内研究到跨学科研究,趋势四：简化主义伴之以复杂系统研究；,趋势五：全球化和知识的扩散,-2001,年 陈省身,趋势一：研究从直线模型到动态模型,许多人谈论研究的,“,直线模型,”,，他们说知识只沿一个方向运动，从基础研究到应用研究再到开发，最后到应用但是这种模型与现实世界的情况并不完全符合，即便是最简单的研究项目也都包含思想和信息沿多个方向的动态流动,伟大的法国生物学家路易,巴斯德,(1)(Louis Pasteur),常常从医学、酿制啤酒、制造葡萄酒和农业方面的实际问题中得到研究的动力，促使他得到基础生物学和疾病方面的一些基础性发现,现代基因学 之父孟德尔（,Gregov Mendel,）是在研究如何改进农作物这样很实际的问题时，发现基因基本定律的,物理中基础光学的研究具有传统的目标：为相机和望远 镜生产更好的镜头，但现在给我们带来了现代电信业最重要的基础之一：纤维光学,趋势二：从理论实验，到理论实验计算,第二个趋势是研究过程自身的扩展不久以前，我们把研究方式还归结为两种手段：理论与实验现在由于计算机能力的开发，又加上了第三种重要的手段：计算，这第三种手段使我们可以对于直接测量或定量化太复杂的一些系统，来设计它的数学模型，从而回答几十年前不能理解的一些问题,臭氧洞,洞中的臭氧几乎完全被上层云的化学反应所破坏，洞由臭氧包围，大气被湍流搅动，但是周围的臭氧不能进到洞内，这是由于它在强大的涡流中心而数学模型正确地预示出涡流的外沿是阻碍混合的壁垒每年春天温度上升后涡流被破坏，阻碍消失，新的臭氧便回到洞内理解这个问题需要科学研究中的所有三种手段：流体力学的理论，对大气层条件进行实验，最后还需要计算，然后检查它与初始观察是否一致在过去我们没有强有力的计算机，这种研究是不可能进行的,趋势二：从理论实验，到理论实验计算,理论计算机科学,计算属于计算机科学这个大领域，而它的理论方面己成为今天最重要和活跃的一个科学研究领域它在半个世纪之前才真正开始，那时现代计算机还不存在，图灵,(Alan Turing),和他的同代人用数学方法定义计算概念，并研究计算的威力与极限这导致冯,诺依曼,(von Neumann),建造了第一台电子计算机，再后来便是我们今天目睹的计算机革命,计算机的实际使用和,“,计算,”,概念的出人意外的深度，使理论计算机科学得到更大的扩展在最近,30,年里，理论计算机科学已成长为一个富饶而美妙的领域，并与 其他科学建立了联系，同时吸引了一批一流的年轻科学家，其中一个重要的发展是把研究的焦点从,“,计算,”,转到更加难以捉摸的,“,有效计算,”,其他重要问题有：,NP,完备性，用随机性使算法理论革命化以及发展现代密码学和复杂性理论,.,理论计算机科学除了这些内部发展之外，还有它与数学（诸如组合学、代数、拓扑和分析）之间重要的交叉成果 甚至理论计算机科学的基本问题异军突起，进入数学的中心问题之列愈来愈多的数学家正在考虑他们研究领域的,“,计算,”,问题换句话说，他们始于理论结果：,“,这个问题有解,”,，然后他们紧接着问：,“,能以多快的速度和多大的近似程度找到解？,”,理论计算机科学最后一个方面也是不少人特别感兴趣的，就是其他科学提出的一系列全新的算法问题在这些问题中所需要的输出不能预先定义，并且它几乎可以始于任何类型的数据：一张图画，声波显示，从哈勃空间望远镜中读出的资料，股票行情，,DNA,序列，动物对刺激的神经反应的记录等，数学模型是试图使这些数据有意义，或者预测它们的未来值,趋势三：从学科内研究到跨学科研究,目前第三个影响广泛的发展趋势是：从学科内研究转向跨学科研究,各学科在研究的深度和焦点问题上都取得了很大的成功：物理学探索了物质的构作部件，化学创造了具有特定性能的新的合成物质，生物学判定了控制和 调节生命的许多基因和蛋白质，与此同时，一些现代问题要求新的更广阔的研究态度，新的跨学科研究正在探索更大的问题，其复杂程度远大于任何一个学科中 的问题，。,趋势三：从学科内研究到跨学科研究,在生命科学方面，这个趋势特别明显，在这里，新的技术和知识极大地改善了理解正常生物功能和疾病的能力广阔的科学学科正在开始相互交织，成为生物、化学、物理和数学的新的聚合体,.,数学和生物学在研究人体传染病方面的结合呈现为一种新的发展很快的伙伴关系,生物数学家已经可以定量地预测细胞受病毒感染后的生命期望值在研究艾滋病传染方面发现了一些奇妙的结果，这又反过来帮助我们理解艾滋病病毒在受感染病人 体内变化情况数学模型表明，疾病的进展可能是由病毒的进化引起的，免疫系统可以长时间抑制病毒，但实际上病毒变异成若干新形式并且愈来愈多，最终压倒了免疫体系同样的数学模型已使我们理解为什么抗艾滋病病毒药物要组合服用并且在感染期间要尽早服用组合服用效果最好，是由于病毒每次极少产生多种变异另一方面，应当在病毒还没进化得太远之前就要服用,趋势四：简化主义伴之以复杂系统研究,第四个主要趋势是从传统的集中致力于简化方法