导数的四则运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导数的四则运算,说明：本课件绿色背景的部分作为知识拓展介绍，不要求掌握,温故知新,导数的定义,导数的几何意义,由定义求导数的步骤,预备知识,函数极限的四则运算法则,基本函数的导数公式,1,解：（,1,）求增量：,（,2,）,算比值：,公式,1,：,C,=0(C,为常数,).,（,3,）取极限：,公式,2,：,(,x,n,)=,n x,n,-1,(,n,Q,*,),*尝试运用极限运算法则和二项式定理进行证明,公式,3:,(,sin,x,)=,cos,x,公式,4:,(,cos,x,)=,-,sin,x,求正弦函数 的导数,解：因为,所以,即,(,sinx,),=,cosx,同理可得：,(,cosx,),=,-,sinx,求导练习,1,求下列函数的导数,化成幂指数形式求导,导数运算法则,对应于,x,的改变量,x,，记,u,(,x,),，,v,(,x,),，,及,y,的改变,量分别为,u,，,v,及,y,，,则：,设函数,u,(,x,),、,v,(,x,),是,x,的,可导函数。,1,、代数和的导数,若,y,=,u,(,x,),v,(,x,),，,则,y,是,x,的,可导函数，且,证：,导数的四则运算,2,、乘积的导数,若,y,=,u,(,x,),v,(,x,),，,则,y,是,x,的,可导函数，且,证：,3,、商的导数,证：,求导练习,2,求下列函数的导数,*有能力的同学不妨了解一下,函数四则运算求导法则的,推广,（,有限多个函数的情况）,特别当,时，有,求导练习,3,解：,比较容易想到的是用商的求导法则：,如果先拆分成和式，然后再求导，则会简便一些,:,简化导数运算的技巧：,(1),化成幂指数形式求导,(2),能够将函数拆分成函数的和、差时，应当拆分完成后再求导,求导练习,4,基本函数的导数公式,2,知识点：,反函数的导数等于原函数导数的倒数,反函数的导数,即：,特别当,a,=,e,时，有：,定理的证明：,用,y,表示反函数,x,=,(,y,),自变量,y,的改变量，,x,表示因变量,x,的改变量，则,由于,y,=,f,(,x,),严格单调，当,y,0,时，必有,x,0,。,又因,为,y,=,f,(,x,),连续，所以,x,=,(,y,),也连续。因此当,y,0,时,x,0,。,从而,即,x,=,(,y,),在点,y,处可导，且,若,y,=,(,x,),的反函数存在,:,x,=,f,(,y,),，,则,x,=,f,(,y,),与,y,=,(,x,),的图形相同，故,x,=,f,(,y,),与,y,=,(,x,),在点(,x,y,),处的切线相同。且,y,y,T,A,(,x,y,),x,x,0,y,但是,图象说明,复合函数求导,已知函数,y,=(3,x,-,2),2,指出此复合函数的外函数和内函数,怎样对此函数求导？,已有思路：,拆开成加减的形式,新观点：,复合函数求导法则,复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形。以两个中间变量为例：,在求导过程中必须搞清函数是怎样复合的，函数由里到外逐层复合，求导时,由外到里逐层求导,。注意一定,要到底,，,不要遗漏,。,证：设,x,取得改变量,x,，,则,u,取得相应的改变量,u,，从而,y,取得相应的改变量,y,。,求导练习,5,求导练习,6,题组,1,：,题组,2,：,题组,3,：,题组,4,：,求导练习,7,题组,5,：,题组,6,：,基本公式,运算法则,导数的计算,导数的计算,以下为拓展内容，不用掌握,对数求导法,函数为,连乘连除,或,幂指函数,形式时，宜用对数求导法,对数求导法的步骤：,1),两边取对数；,2),两边对,x,求导；,3),两边同乘以,y,得,y,4),将,y,结果表示为,x,的函数,解：两边取对数，得,ln,y,ln(,x,-1),ln(,x,-2),ln(,x,-3),ln(,x,-4),两边对,x,求导，得,所以,解：两边取对数，得,ln,y,sin,x,ln,x,两边对,x,求导，得,所以,解：,方程两边对,x,求导，注意,y,是,x,的函数，,y,2,为,x,的,复合函数，得,方程两边对,x,求导，视,y,是,x,的函数，由复合,函数求导法则，得到关于,y,的方程，解出即可。,方法：,隐函数的导数,解：对方程两边关于,x,求导：,故切线的方程为,经整理后，切线方程为,解：,在点,(0,0),处的切线方程为：,方程两边对,x,求导，注意,y,是,x,的函数，,y,5,为,x,的,复合函数，得,在有些问题中，变量,x,y,之间的函数关系是通过如下的参数,方程 表示出来的。,求,则,：,由参数方程所确定的函数的导数,解：,高阶导数,函数,y,f,(,x,),的导数,f,(,x,),的导数,f,(,x,),叫做,f,(,x,),的二阶导数，记作,f,(,x,),或,y,y,f,(,x,),的二阶导数,f,(,x,),的导数,f,(,x,),叫做,f,(,x,),的三阶导数，记作,f,(,x,),或,y,，,依此类推，,y,f,(,x,),的,n,1,阶导数的导数叫做,f,(,x,),的,n,阶导数，记作,f,(,n,),(,x,),或,y,(,n,),，,二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数。,例,设,y,e,x,cosx,，求,y,和,y”,解：,y,e,x,cosx,e,x,(,sinx,),e,x,(cosx,sinx,),y”,e,x,(cosx,sinx,),e,x,(,sinx,cosx,),2e,x,sinx,例,求函数,y,a,x,的,n,阶导数,解：,y,(,lna)a,x,y”,(lna),2,a,x,y,(n,),(,lna),n,a,x,例,求函数,f,(,x,),=|,x,|,在,x,=,0,处的导数,因为,f,-,(0),f,+,(0),解,所以函数,f,(,x,),=,|,x,|,在,x,=,0,处不可导,导数与单侧导数的关系,之前学习二项式定理的时候用什么方法证明？,现在可否用导数来证明？,试探索函数与其导函数之间的奇偶性关系（先自己举几个例子观察，再证明你的结论）,偶函数的导数为奇函数奇函数的导数为偶函数,几个思考题,证明：在,(,a,a,),内可导的奇(偶)函数的导数是偶(奇)函数.,证,：设,f,(,x,),为,(,a,a,),内的偶函数，则,f,(,x,)=,f,(,x,).,即 偶函数的导数是奇函数,.,同理可证，奇函数的导数是偶函数,.,几个思考题,解：,