空间向量证明立体几何问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间向量证明,立体几何问题,空间,向量,空间,向量,的运,算,空间,向量,基本,定理,空间,向量,的坐,标运,算,加减,和数,乘运,算,共线,向量,共面,向量,空间,向量,的数,量积,知识结构,夹角和距离,平行和垂直,1,、空间直角坐标系,以单位正方体 的顶点,O,为原点，分别以射线,OA,，,OC,，,的方向 为正方向，以线段,OA,，,OC,，,的长为单位长，建立三条数轴：,x,轴,y,轴,z,轴,这时我们建立了一个,空间直角坐标系,C,D,B,A,C,O,A,B,y,z,x,O,为坐标原点，,x,轴,y,轴,z,轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,一、基本概念,右手直角坐标系,空间直角坐标系,Oxyz,横轴,纵轴,竖轴,2,、空间直角坐标系中点的坐标,有序实数组（,x,y,z,）,叫做点,M,在此,空间直角坐标系中的坐标，,记作,M,（,x,y,z,）,其中,x,叫做点,M,的横坐标，,y,叫做点,M,的纵坐标,z,叫做点,M,的竖坐标,点M,（X，Y，Z）,如果表示向量,n,的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作,n,这时向量,n,叫做平面,的法向量,.,4,、平面的法向量,n,3,、直线的方向向量,1,、假设平面法向量的坐标为,n,=(,x,y,z,).,2,、根据,na,=0,且,nb,=0,可列出方程组,3,、取,某一个变量,为常数,(,当然取得越简单越好,),便得到平面法向量,n,的坐标,.,a,n,b,5,、平面法向量的求法,设,a=(x,1,y,1,z,1,),、,b=(x,2,y,2,z,2,),是平面,内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若,na,且,nb,则,n,.,换句话说,若,na,=0,且,nb,=0,则,n,.,可按如下步骤求出平面的法向量的坐标,例、已知,A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).,求平面,ABC,的法向量,解：,平面,ABC,的法向量为,:,例、在棱长为,2,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,O,是面,AC,的中心,求面,OA,1,D,1,的法向量,.,解：以,A,为原点建立空间直角坐标系,O-xyz,（如图），,则,O,（,1,，,1,，,0,），,A,1,（,0,，,0,，,2,），,D,1,（,0,，,2,，,2,），,设平面,OA,1,D,1,的法向量的法向量为,n=(,x,y,z,),由,=,（,-1,，,-1,，,2,），,=,（,-1,，,1,，,2,）得,解得,取,z=1,得平面,OA,1,D,1,的法向量的坐标,n=(2,0,1),A,A,B,O,z,y,A1,C1,B1,A,x,C,D,D1,5,、两法向量所成的角与二面角的关系,设,n,1,、,n,2,分别是二面角两个半平面,、,的法向量，由几何知识可知，二面角,-L-,的大小与法向量,n,1,、,n,2,夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角,.,二、基本公式：,1,、两点间的距离公式（线段的长度）,2,、向量的长度公式（向量的模）,3,、向量的坐标运算公式,4,、两个向量平行的条件,5,、两个向量垂直的条件,或,7,、重心坐标公式,6,、中点坐标公式,9,、直线与平面,所成角公式,(,为,的法向量,),8,、直线与直线所成角公式,10,、平面与平面所成角公式,(,为二面角两个半平面的法向量）,11,、点到平面,的距离公式,（,PM,为平面 的斜线,为平面 的法向量）,12,、异面直线的,距离公式,（,A,B,为异面直线上两点,为公垂线的方向向量）,利用向量求角,直线与直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面所成的角（二面角）,利用向量求距离,点到直线的距离,点到平面的距离,直线到平面的距离,平行到平面的距离,直线到直线的距离,三、基本应用,利用向量证平行,利用向量证垂直,直线与直线垂直,直线与平面垂直,平面与平面垂直,直线与直线平行,直线与平面平行,平面与平面平行,、垂直问题,四、基本方法,1,、平行问题,、角度问题,、距离问题,（）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。,（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。,例：,题型一：线线角,五、典型例题,所以：,题型一：线线角,解：以点,C,为坐标原点建立空间,直角坐标系 如图所示，,不妨设 则,C,|,|,所以 与 所成角的余弦值为,题型二：线线垂直,题型三：线面角,N,解：如图建立坐标系,A-xyz,则,即,在长方体 中，,例：,题型三：线面角,N,又,例：,在长方体 中，,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,例,.,在正方体,AC,1,中，,E,为,DD,1,的中点，求证：,DB,1,/,面,A,1,C,1,E,E,F,题型四：线面平行,x,y,z,即,F,E,X,Y,Z,题型五：线面垂直,或先求平面,BDE,的法向量 再证明,题型六：面面角,设平面,x,y,z,X,Y,Z,例：在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，求证：面,A,1,BD,面,CB,1,D,1,题型七：面面平行,或先求两平面的法向量 再证明,例、在正方体,AC,1,中，,E,、,F,分别是,BB,1,、,CD,的中点，,求证：面,AED,面,A,1,FD,1,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,F,X,Y,Z,题型八：面面垂直,或证明两平面的法向量垂直,练习,练习,练习,练习,练习,题型九：异面直线的距离,z,x,y,A,B,C,C,1,即,取,x=1,z,则,y=-1,z=1,所以,E,A,1,B,1,A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z,题型十：点到平面的距离,练习,练习,练习,练习,已知正方形,ABCD,的边长为,1,，,PD,平面,ABCD,，且,PD=1,，,E,、,F,分别为,AB,、,BC,的中点。,求证：,PE AF,；,求点,D,到平面,PEF,的距离；,求直线,AC,到平面,PEF,的距离；,求直线,PA,与,EF,的距离；,求直线,PA,与,EF,所成的角；,求,PA,与平面,PEF,所成的角；,求二面角,A-PE-F,的大小。,A,B,C,D,E,F,P,x,y,z,练习,