57-定积分的物理应用.

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七节 定积分的物理应用,一、变力沿直线作功,二、液体对薄板的侧压力,第五章,三、引力 (自学),1,设物体在连续变力,F,(,x,)作用下沿,x,轴从,x,a,移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功。,在其上所作的功元,素为,因此变力,F,(,x,)在区间,上所作的功为,一、变力沿直线作功,2,例1.,弹簧在拉伸过程中，需要的力,F,(单位：,N,)与弹簧的伸长量,s,(单位:cm)成正比，即,F=ks,(,k,是比例常数),假设把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。,解：,当弹簧从,x,拉伸至,x+,d,x,，可认为外力近似于,F,=,kx,于是外力做功元素 d,W,=,kx,d,x,而弹簧拉伸6cm，,从而,3,例2.直径为20cm、高为80cm的圆柱体内布满压强为,10N/cm2的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体,积缩小一半，问需要做多少功？,解：建立坐标系如下图，由于温度不变，,当圆柱体的高削减xcm时的压强为,d,x,x,y,o,80,是定值。,4,解:,则木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,例3.用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1cm，假设每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？,设,n,次击入的总深度为,h,厘米,n,次锤击所作的总功为,假设钉子钉入木板的深度为xcm,而每次锤击所作的功相等,所以,n,次击入的总深度为,第,n,次击入的深度为,5,例4.,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?,解:,建立坐标系如图。,任取一小区间,这薄层水的体积元素,这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为,故所求功为,(,kJ,),设水的密度为,一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为3m,6,作多少功?,内盛满了水,试问要将容器内的水全部吸出需,例5.,有一半径为 4 米开口向上的半球形容器,容器,解:,取坐标原点在球心,x,轴垂直向下建立坐标系,O,x,x,x+,d,x,7,例6.,半径为,R,的球沉入水中,球的上部与水面相切，球,的密度为1，现将球从水中取出,需作多少功？,相应于区间,x,，,x,+d,x,的球体中的薄片(球台)的体积约为,当球体恰好露出水面时，这一薄片在水面以上移动的路程为,R,+,x,，,解：建立坐标系如下图。,抑制重力做功为,O,x,R+x,x,水面,x+,d,x,由于球的比重与水一样，,球的这一局部的由x提升到水面不做功。,奇函数,8,二、液体对薄板的侧压力,压力=压强受力面积,=,g,h,受力面积,例7.,的,液体,求桶的一个端面所受的侧压力。,解:,建立坐标系如图.,所论半圆的,方程为,一水平横放的半径为,R,的圆桶,内盛半桶密度为,小窄条上各点的压强,利用对称性,侧压力元素,端面所受侧压力为,9,说明:,当桶内布满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,10,例8.,有等腰梯形水闸,上底长10,m,下底6,m,高20,m,。,试求当水面与上底相齐时,闸门一侧所受的水压力。,解：建立坐标系如下图。,直线,AB,的方程为,x,B,(20,3),A,(0,5),O,y,闸门上对应于区间,x,，,x,+d,x,x,x+,d,x,窄条形所受的压力约为,11,例10.,有等腰梯形水闸,上底长6,m,下底2,m,高10,m,。,试求当水面位于上底下2,m,时,闸门所受的水压力。,解：建立坐标系如下图。,直线,AB,的方程为,x,2,B,(10,1),A,(0,3),O,y,闸门上对应于区间,x,，,x,+d,x,x,x+,d,x,窄条形所受的压力约为,12,例11.,设某水库闸门为椭圆形水泥板，椭圆的长轴平行,于水面且离水面的距离为,h,，求闸门所受的压力。,解：建立坐标系如下图。,椭圆的方程为,于是窄条所受的水压力约为,y,由题设，,h b,在,y,轴任取区间,y,，,y,+d,y,椭圆板上对应窄条的面积的近似值为2,x,d,y,则所求水压力为,x,b,O,-,b,a,-a,h,奇函数,y,y+,d,y,13,14,例.,设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满,水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？,解：,任取一小区间,x,x,+d,x,，,则直线,AB,的方程为,建立坐标系如下图。,x,x+,d,x,O,A,(0,10),y,x,B,(15,0),这薄层水的体积元素为,把这一局部水吸出所需做的功元素为,15,例.,一底为10cm,高为6cm的等腰三角形薄片,铅直地,沉入水中,顶在上,底边在下且与水面平行,而顶离,水面3cm时,试求它的一个侧面所受的水压力。,解：建立坐标系如下图。,直线,AB,的方程为,x,x+,d,x,x,B,(9,5),A,(3,0),O,y,16,