资源描述
,4.2 可分离变量的微分方程,一、案例,二、概念和公式的引出,三、进一步的练习,四、实训,4.2 可分离变量的微分方程 一、案例,一、案例 1,人口问题,成正比，从而建立了Malthus人口模型。,英国学者马尔萨斯(Malthus，1766-1834)认为,人口的相对增长率为常数，即如果设,t,时刻的人口,数为,x,(,t,)，则人口增长速度 与人口总量,x,(,t,),一、案例 1 人口问题 成正比，从而建立了Malt,的方程称为,可分离变量的微分方程,，其特点是方程的右端是只含,x,的函数,f,(,x,)与只含,y,的函数,g,(,y,)的乘积,形如：,(1),可分离,变量的微分方程通过分离变量为,(2),二、概念及公式的引出,的方程称为可分离变量的微分方程，其特点是方程的右端是只含x的,的形式，即微分方程的一端只含,y,的函数和d,y,另一端只含,x,的函数和d,x,将上式两端积分，得,设,G,(,y,),F,(,x,)分别为,g,(,y,),f,(,x,)原函数，则得微分方程,G,(,y,)=,F,(,x,)+C。,的通解为：,的形式，即微分方程的一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函,三、,进一步的练习,2019年我国的国民生产总值（GDP）为80 423亿元，如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2019年我国的GDP是多少？,练习1,国民生产总值,三、进一步的练习 2019年我国的国民生产总值（,解,(1)建立微分方程,记,t,=0代表2019年，并设第,t,年我国的GDP为,P,(,t,)由题意知，从2019年起，,P,(,t,)的相对增长率为8%，即,得微分方程,解 (1)建立微分方程记t=0代表2019年，并设第t年我,（2）求通解,分离变量得,方程两边同时积分，得,（2）求通解分离变量得方程两边同时积分，得,（3）求特解,将,p,(0)=80423代入通解，得,C,=80423，所以从2019年起第,t,年我国的GDP为,将,t,=2019-2019=11代入上式，得2019年我国的GDP的预测值为,（3）求特解将p(0)=80423代入通解，得C=80423,练习2,落体问题,求运动员下落过程中速度与时间的函数关系,设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与,速度成正比运动员离塔时（,t,=0）的速度为零，,练习2 落体问题 求运动员下落过程中速度与时间的函数关系,运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影响重力的大小为,m,g，方向与速度,v,的方向一致；阻力的大小为,kv,(,k,为比例系数)，方向与,v,相反从而运动员所受的外力为,解,（1）建立微分方程,运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影响重力的大小,其中,m,为运动员的质量.又由牛顿第二定律有,其中,a,为加速度，,a,=于是在下落过程中速度,v,(,t,),(1),初始条件为,满足微分方程,其中m为运动员的质量.又由牛顿第二定律有其中a为加速度，a,方程(1)是一个可分离变量的微分方程分离变量后，得,（2）求通解,两端积分，得,方程(1)是一个可分离变量的微分方程分离变量后，得（2）求,即,或,.,其中,),(,2,k,C,C,Ce,k,mg,v,t,m,k,=,+,=,-,通解,即或.其中)(2kCCCekmgvtmk=+=-通解,（3）求特解,把初始条件 代入通解，得,于是所求速度与时间的关系为,（2）,（3）求特解把初始条件 代入通解,由式（2）可见，当,t,很大时，很小，此时,是加速运动，以后逐渐接近于匀速运动，其速度为,v,接近于,由此可见，跳伞运动员开始跳伞时,由式（2）可见，当t很大时，很小，此时是加速运动，,练习3,环境污染问题,某水塘原有50000t清水(不含有害杂质)，从时间,t,=0开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘流入的速度为2t/min，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2t/min的速度流出水塘问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到4%?,练习3 环境污染问题 某水塘原有50000t清水(不,解,（1）建立微分方程,设在时刻,t,塘中有害物质的含量为,Q,(,t,)，此时塘中,单位时间内有害物质的变化量,=(单位时间内流进塘内有害物质的量),-(单位时间内流出塘的有害物质的量),有害物质的浓度为 ，于是有,解 （1）建立微分方程 设在时刻t塘中有害物质的含量为,即 ,（1）,初始条件为,Q,(0)=0.,（2）求通解,式（1）是可分离变量方程，分离变量得,即 ,（1）,积分，得,即,积分，得即,（3）求特解,由初始条件,t,=0,Q,=0得,C,=-2500，故,当塘中有害物质浓度达到4%时，应有,由此解得,(min),即经过670.6min后，塘中有害物质浓度达到4%，,，塘中有害物质的最终浓度为,由于,（3）求特解由初始条件t=0,Q=0得C=-2500，故当塘,练习4,刑事侦察中死亡时间的鉴定,当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35，并且假定周围空气的温度保持20不变，试求出尸体温度H随时间t的变化规律又如果尸体发现时的温度是30，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？,练习4 刑事侦察中死亡时间的鉴定 当一次谋杀发生后，尸体,注 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与,物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却,定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定,注 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与,解,（1）建立微分方程,的冷却速度,其中,k,0是常数，初始条件为,H,(0)=37,设尸体的温度为,H,(,t,)(,t,从谋杀后计)，根据题意，尸体,正比即,与尸体温度,H,和空气温度20之差成,解（1）建立微分方程的冷却速度其中k0是常数，初始条件为,分离变量得,（2）求通解,研究,积分得,分离变量得（2）求通解研究积分得,把初值条件,H,(0)=37代入通解，求得,C,=17于是该初值问题的解为,为求出,k,值，根据两小时后尸体温度为35这一条件，有,（3）求特解,把初值条件H(0)=37代入通解，求得C=17于是该初值,求得 ，于是温度函数为,将,H,=30代入式(1)有 ，即得 (h)。于是，,(1),可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4h，即,8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的,求得 ，于是温度函数为将H=30代入式(1),练习5,第二宇宙速度,度发射，则永远不会返回地球,地球对物体的引力,F,与物体的质量,m、,物体离地心的,距离,s,的关系为,，这里,g,是重力加速度，,R,为地球半径验证：如果物体以,的初速,练习5 第二宇宙速度 度发射，则永远不会返回地球地球对,由牛顿第二定律,F,=,ma,，其中 ，有,故有,初始条件为时,s,=,R,时,，.,解 （1）建立微分方程,研究,由牛顿第二定律F=ma，其中 ，有故有,（2）求通解,变量分离后为,两边积分,得,（2）求通解变量分离后为 两边积分 得,（3）求特解,把,s,=,R,时，代入通解得 ，故有,时，速度,v,永远大于0，所以物体永远不会返回地面,由此可见，当,s,很大时，很小,即当,我们称,v,=11.2km/s为,第二宇宙速度,（3）求特解 把s=R时，代入通解得,1.,年人均收入,据统计，2019年北京的年人均收入为12464元中国政府提出到2020年，中国的新小康目标为年人均收入为3000,$,若按1,$,=8.2元(人民币)计，北京每年应保持多高的年相对增长率才能实现新小康,四、实训,1.年人均收入 据统计，2019年北京的年人均收入为12,3.,镭的衰变,镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量成正比由经验材料得知，镭经过1600年后，只剩原始量,R,0,的一半试求镭量与时间,t,的函数关系,2.,死亡年代的测定,遗体死亡之后，体内碳的含量就不断减少，已知碳的衰变速度与当时体内碳的含量成正比，试建立任意时刻遗体内碳含量应满足的方程,3.镭的衰变 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现,4.,电机温度,一电动机开动后，每分钟温度升高10,0,C,，同时按冷却定律不断散发热量设电机安置在一15,0,C,的恒温房子里，求电机温度与时间,t,的函数关系,5.,质点运动,质量1kg的质点受外力作用作直线运动，已知力与时间成正比，与质点运动的速度成反比，在,t,=10s时，速度等于50m/s，外力为4N问从运动开始经过1min后，质点的速度是多少？,6.,冷却问题,将一个加热到50,0,C,的物体，放在20,0,C,的恒温环境中冷却，求物体温度的变化规律.,4.电机温度 一电动机开动后，每分钟温度升高100C，,
展开阅读全文