高等代数北大版3-3

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3 线性相关性,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3 线性相关性,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、线性组合,二、向量组的等价,3.3 线性相关性,三、线性相关性,四、极大无关组,设,一、线性组合,定义,和,称为向量组 的一个,线性组合,.,若向量 可表成向量组 的一个线性组,合，则称向量可由向量组,线性表出,.,注：,1),若 ，也称向量 与 成比例.,2零向量0可由任一向量组的线性表出.,3一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.,4,）,任一 维向量,都是向量组,也称为,n,维单位向量组,的一个线性组合,事实上，有对任意皆有,假设能，写出它的一个线性组合,解,：设 ，即有方程组,（1）,例,1,判断向量能否由向量组线性表出.,对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵,所以方程组,(1),有解它的一般解为,得,(1),的一个解 ，,令,从而有,1、,定义,二、向量组的等价,向量组等价,.,若向量组,中每一个向量,假设两个向量组可以互相线性表出，那么称这两个,可以经向量组,线性表出,；,皆可经向量组,线性表出，则称向量组,向量组之间的等价关系具有：,1),反身性,2),对称性,3),传递性,2,、性质,三、线性相关性,1、,线性相关,注,：,特殊情形,2任意一个含零向量的向量组必线性相关.,定义1：,如果向量组 中有一向量,称为,线性相关,的.,可经其余向量线性表出，则向量组,1,）向量组 线性相关 成比例.,定义,1,：,向量组 称为线性相关,如果存在,P 上,不全为零的数,线性相关的,使,在 时，,定义,1,与,定义,1,是等价的.,注,：,例2 判断以下向量组是否线性相关.,定义,2,：,若向量组 不线性相关，则称,若不存在,P,中不,全为零的数,，,使,向量组,为,线性无关的,.,2、,线性无关,即,则称向量组,为,线性无关的,.,必有,换句话说，,对于一个向量组,若由,则称向量组,为,线性无关的,.,1单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；,3一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一,单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.,个向量可由其余向量线性表出.,3,、线性相关性的有关性质,2一个向量组中假设有一向量为零向量，那么该向量,组一定线性相关.,5,）如果向量组,线性无关,，,而向量组,线性相关，则,可经向量组,线性表出,.,(习题3),都线性无关.,4一个向量组中假设局部向量线性相关，那么整个向,量组也线性相关；,一个向量组假设线性无关，那么它的任何一个局部组,线性无关的充要条件是齐次线性方程组,只有零解,；,的充要条件是齐次线性方程组,(2)有非零解.,6,）向量组,（2）,向量组,线性相关,特别地，对于,n,个,n,维向量,行列式,行列式,线性无关.,线性相关；,的,缩短组,.,7,）若向量组,线性无关，那么向量组,也线性无关,.,向量组,常称为向量组,的,延伸组,；,注,：,称为,而,相关,，,则向量组,也线性相关,.,反之，若向量组,线性,8向量组线性相关的根本性质定理,定理,2,设 与 为两个,i),向量组,可经 线性表出,；,则向量组,必线性相关,.,ii),向量组，假设,要证,线性相关,，,即证有不全为零的数,使,证：,由,i),，有,作线性组合,若能找到不全为的,，,使,中，方程的个数,s,未知量的个数,r,，,在方程组,（3）,从而有不全为零的数,，,使,所以3有非零解.,所以,线性相关,。,则也使,推论,2,任意,n,1,个,n,维向量必线性相关.,推论3,两个线性无关的等价向量组必含相同个数,推论,1,若向量组,可经向量组,线性表出，且,线,线性无关,，,则,的向量,.,（任意,个,n,维向量必线性相关.）,例,2,判断向量组,是否线性无关？假设线性相关，求一组非零数,使,解：,设,即有方程组,解之得,为任意数,所以线性相关.,令,那么有,使,由于,线性无关，于是有,设,即,例,3,已知向量组,线性无关，向量,证明：,线性无关.,解之得,所以,线性无关,.,证：,1,、极大线性无关组,i),线性无关；,极大线性无关组,，简称,极大无关组,.,一个部分组,若满足,定义,为,中的一个向量组，它的,设,线性表出,；,ii),对任意的,可经,四、极大线性无关组秩,则称,为向量组,的一个,1一个向量组的极大无关组不是唯一的.,注,3一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.,4一个向量组的任意两个极大无关组都等价.,5一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同,个数的向量.,2向量组和它的任一极大无关组等价.,根据定理2的推论1即得,定义,向量组的极大无关组所含向量个数称为这个,性质：,一个向量组线性相关的充要条件是,它的秩与它所含向量个数相同；,它的秩它所含向量个数.,向量组的,秩,.,2,、向量组的秩,1一个向量组线性无关的充要条件是,2等价向量组必有相同的秩.,3）若向量组,可经向量组,线性表出，则秩,秩,习题10,例,4,设,1,）证明：线性无关.,2）把,扩充成一个极大无关组.,1证：,由于不成比例，,2解：,线性无关.,由,即,为自由未知量,.,解得,线性相关,.,即 可经线性表出.,由,解得,线性无关,.,即 不能由线性表出.,即,知，,再由行列式,存在不全为零的数使,线性相关,.,故即为由 扩充的一个极大无关组.,例,5,求向量组,的极大无关组.,解：,作矩阵,对矩阵,A,作初等行变换化阶梯形,由矩阵,B 知线性无关且为极大无关组.,附,求向量组的极大无关组的一般步骤：,则就是一个极大无关组.,第一步,：作矩阵,或,为列向量时,为行向量时,第二步,：用初等行变换化矩阵A为阶梯阵 J.,若 J 中有 r 个非零行，则秩,设 J 中第,i,个非零行第一个非零元所在列标号为,