10第一章绪论课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常微分方程,Ordinary differential equation,常微分方程,Ordinary differential equation,第一章,绪 论,第二章,一阶微分方程的初等积分法,第三章,一阶微分方程的解的存在定理,第四章,高阶微分方程,第五章,线性微分方程组,课程目的,/Major Subjection of Course/,学习各类可求解的常微分方程和方程组的类型及其求解方法。,熟悉常微分方程解的基本性质，如解的存在性，唯一性等内容，了解研究常微分方程的基本方法，如稳定性分析、定性分析等。,课时,/Periods/,4,节,/,周，共,48,学时。,考试,/Examination/,闭卷：期末考试。,参考书目,/Reference Books/,叶彦谦，常微分方程讲义，高等教育出版社。,庄万，常微分方程习题解，山东科学技术出版社。,第一章 绪 论,Introduction,微分方程概述,/Sketch of ODE/,基本概念,/Basic Conception/,练习题,/Exercise/,本章要求,/Requirements/,能快速判断微分方程的类型；,掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；,理解微分方程解的意义。,CH.1 Introduction,微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。,1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中首次提到Differential Equations（微分方程）这个名词。,微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、Euler、Taylor、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。,微分方程理论发展经历了,三个过程,：求微分方程的解；,定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。,1.1,微分方程概述,/,Sketch of ODE/,1.1 Sketch of ODE,含有未知量(数)的等式(或关系式)。例如:,1,代数方程(组),，其未知量为数,一元,n,次代数方程：,无理方程：,方程组：,2,超越方程（组）,，其含有超越函数,三角方程：,指数方程：,其特点：方程的解为实数（有限个或者无限个）,方程,/Equation/,1.1 Sketch of ODE,例,3,函数方程（或泛函方程）,，其未知量为函数,其特点：方程的解为有限个或无穷多个函数。,定义,：,一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数的某,些阶导数（或微商）的关系式，称之为,微分方程,。,1.1 Sketch of ODE,n阶隐式方程,n阶显式方程,方程组,偏微分方程,偏微分方程,不是微分方程,1.1 Sketch of ODE,例1,：,质量为m的物体在重力的作用下，沿铅直线下落，物体下落距离S(向下为正）随时间 t 而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离 S 应满足的微分方程。,微分方程模型举例,/Modeling of ODE/,解,：设在时刻 t 物体下落的距离为,按牛顿第二定律,1.1 Sketch of ODE,例2,：,放射性元素镭因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象成为,衰变,，实验知镭的衰变率与其当时的质量成比例。试求镭衰变的规律。,微分方程模型,：,含有自变量，未知函数及未知函数导数（或变化率）的关系式。,解,：设在任意时刻 t 镭的质量为R(t),1.1 Sketch of ODE,背景,年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口(亿)5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000,人口(亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口变化规律,控制人口过快增长,例3,人口模型,指数增长模型马尔萨斯提出(,1798,),常用的计算公式,x,(,t,),时刻,t,的,人口,基本假设,:人口(相对)增长率,r,是常数,今年人口,x,0,年增长率,r,k,年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长.,与常用公式的一致,rt,e,x,t,x,0,),(,=,?,指数增长模型的应用及局限性,与,19,世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,.,适用于,19,世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,.,可用于短期人口增长预测,.,不符合,19,世纪后多数地区人口增长规律,.,不能预测较长期的人口增长过程,.,19世纪后人口数据,人口增长率,r,不是常数(逐渐下降),阻滞增长模型(,logistic,模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r,固有增长率(,x,很小时),x,m,人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,r,是,x,的减函数,d,x,/d,t,x,0,x,m,x,m,/2,x,m,t,x,0,x,(,t,),S,形曲线,x,增加先快后慢,x,0,x,m,/2,阻滞增长模型(,logistic,模型),指数增长模型,例4,传染病模型,描述传染病的传播过程,.,分析受感染人数的变化规律,.,预报传染病高潮到来的时刻,.,预防传染病蔓延的手段,.,不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.,背景 与,问题,传染病的极大危害(艾滋病、SARS、,),基本方法,已感染人数(病人),i,(,t,),每个病人每天有效接触,(,足以使人致病,),人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人,则不能使病人数增加,必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数,N,不变，病人和健康 人的 比例分别为 .,2）每个病人每天有效接触人数为,且,使接触的健康人致病.,建模,日,接触率,SI,模型,模型,2,1/2,t,m,i,i,0,1,0,t,t,m,传染病高潮到来时刻,(日接触率),t,m,logistic 模型,病人可以治愈！,?,t=t,m,d,i,/d,t,最大,模型,3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染.,增加假设,SIS,模型,3）病人每天治愈的比例为,日,治愈率,建模,日接触率,1/,感染期,一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为,接触数,.,m,l,s,/,=,模型,3,i,0,i,0,接触数,=1,阈值,感染期内,有效接触使健康者感染的人数不超过原有的病人数,1-1/,i,0,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,i,d,i/,d,t,0,1,1,0,t,i,1,1-1/,i,0,t,1,d,i,/d,t,1,i,0,1时，称为,高阶微分方程,。,例如,1.2,Basic Conception,一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：,一阶常微分方程的一般显式形式可表示为：,类似的，n阶隐方程的一般形式可表示为：,n阶显方程的一般形式为,其中F及f分别是它所依赖的变元的已知函数。,1.2,Basic Conception,线性和非线性微分方程,/Linear and Nonlinear ODE/,如果方程,的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为,线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。,例如：,1.2,Basic Conception,n阶线性微分方程的一般形式为：,其中,均为 的已知函数,如：2阶线性方程的一般形式,1.2,Basic Conception,解和隐式,/Solution/,对于方程,若将函数,代入方程后使其有意义且两端成立,即,则称函数 为该方程的一个,解.,或,一阶微分方程,有解,即关系式,若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程,的,隐式解,。把方程解和隐式解统称为,方程的解,。,包含了方程的解，,1.2,Basic Conception,通解和特解,/General Solution and Special Solution/,常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几个常,数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程,的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的,通解,。,常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的,特解,。,例：二阶方程,其通解,而,是方程满足初始条件,解。,1.2,Basic Conception,注1:,注2:,注3:,类似可定义方程的,隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.,以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的,通解,.,初值条件,/Initial Value Conditions/,对于 n 阶方程,初值条件可表示为,n阶方程,初值问题,（,Cauchy Problem,）的表示,一阶和二阶方程,初值问题,（,Cauchy Problem,）的表示,1.2,Basic Conception,积分曲线和积分曲线族,/Integral Curve(s)/,一阶微分方程,的解,平面的一条,曲线，我们称它为微分方程的,积分曲线,，而微分方程的通解,表示,表示,平面的一族曲线，称它们为微分方程,的,积分曲线族。,1.2,Basic Conception,方向场,/Directional Pattern/,对于一阶微分方程,其右端函数,的定义域为 ，,在定义域的每一点 处，画一,个小线段，其斜率等于,，此时，点集,就成,为带有方向的点集。称此区域为由方程,确定的,方向场,。,常微分方程求解的几何意义是：,在方向场中寻求一条曲线，使这条曲线上每一点切线,的方向等于方向场中该点的方向。,1.2,Basic Conception,例1,画出方程,的方向场。,等倾线方程,即,也就是说，方向场中每点的方向与该点等倾线垂直。,x,y,o,1.2,Basic Conception,例2,画出方程,的方向场。,等倾线方程,x,y,o,，拐点线方程,1.2,Basic Conception,练习题1,编号,微分方程,自变量,未知函数,常或偏,阶数,是否线性,1,2,3,4,1.3,Exercise,练习题2,编号,函数,微分方程,初始条件,1,2,3,4,1.3,Exercise,练习题3,求下列曲线族所满足的微分方程,1.3,Exercise,作业,/Homework/,4.给定一阶微分方程,（1）求出它的通解.（2）求出通过点（1,4）的特解.,（3）求出与直线 相切的解.,（4）求出满足条件 的解,（5）画出上述解的图形。,5.求出下列两个微分方程的公共解,（1）（2）,6.求微分方程 的直线积分曲线.,9.(5)(6),1.3,Exercise,经常,不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有,力量,Study Constantly,And You Will Know Everything.The More You Know,The More Powerful You Will,Be,学习总结,结束语,当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。,When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End,演讲人：,XXXXXX,时 间：,XX,年,XX,月,XX,日,