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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,区域连通性的分类:,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面,单连通区域,否则称为,复连通区域,.,复连通区域,单连通区域,D,D,区域连通性的分类:设D为平面区域,如果D内任一闭曲,1,边界曲线L的正向,:,当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,域,D,边界,L,的,正向,:,域的内部靠左,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边,2,区域,D,分类,单连通区域,(无,“洞”,区域),多连通区域,(有,“洞”,区域),定理1.,设区域,D,是由,分段光滑,正向,曲线,L,围成,则有,(,格林公式,),函数,在,D,上,具有连续一阶偏导数,或,一、格林公式,区域 D 分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(,3,证明:,1),若,D,既是,X-,型区域,又是,Y-,型区域,且,则,证明:1)若D 既是 X-型区域,又是 Y-,4,即,同理可证,、两式相加得:,即同理可证、两式相加得:,5,2),若,D,不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域,如图,3),若D为,复连通区域,，这时可用光滑曲线将D分成若干个单连通区域从而变成(2)的情形.,见P203图11-11,2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个,6,G,D,F,C,E,A,B,由(2)知,GDFCEAB由(2)知,7,推论:,正向闭曲线,L,所围区域,D,的面积,例1.,圆,所围面积,二、简单应用:,类例见P204例1,1.,计算平面面积:,推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积例1.圆所围面,8,2.,简化曲线积分:,2.简化曲线积分:,9,x,y,o,L,A,B,xyoLAB,10,例4.,计算,其中,D,是以,O,(0,0),A,(1,1),B,(0,1),为顶点的三角形闭域,.,解:,令,则,由格林公式,有,3.,简化二重积分:,例4.计算其中D 是以 O(0,0),A(1,1),11,解法一:,方向是顺时针方向。,例5,.,计算,其中L是圆周,0,y,x,解法一:方向是顺时针方向。例5.计算其中L是圆周0yx,12,解法二:,利用圆的参数方程转化为定积分计算,解法二:利用圆的参数方程转化为定积分计算,13,解法三：,利用,格林公式,计算,解法三：利用格林公式计算,14,例6.,计算,其中,L,为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:,令,设,L,所围区域为,D,由格林公式知,例6.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.,15,在,D,内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记,L,和,l,所围的区域为,林公式,得,在D 内作圆周取逆时针方向,对区域应用格记 L 和 l,16,1.,连通区域的概念;,2.,二重积分与曲线积分的关系:,3.,格林公式的应用.,格林公式,;,内容小结,1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系:3.格林,17,
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