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前页,结束,后页,章,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,又如,d(sec,x,),=,sec,x,tan,x,d,x,，,所以,sec,x,是,sec,x,tan,x,的原函数,.,定义,设,f,(,x,),在某,区间上,有,定义,，如果对该区间的任意点,x,都有,F,(,x,)=,f,(,x,),或,d,F,(,x,),=f,(,x,)d,x,则称,F,(,x,),为,f,(,x,),在该区间上的一个原函数,.,4.1.1,原函数的概念,例如,:,，,是函数 在 上的原函数,.,sin,x,是,cos,x,在 上的原函数,.,4.1,不定积分的概念与性质,(2),如果,f,(,x,),在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个,注,:(1),如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在,例如,而,在 上 是 的原函数,也是它的原函数,即 加任意常数都是 的原函数,.,(3),若函数,f,(,x,),在区间,I,上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项,.,定义,2,如果函数,F,(,x,),是,f,(,x,),在,区间,I,上,的一个原函数，那么,f,(,x,),的全体,原函数,F,(,x,),C,(,C,为任意常数,),称为,f,(,x,),在,区间,I,上,的不定积分,.,记作,其中记号 称为积分号,，,f,(,x,),称为被积函数，,f,(,x,)d,x,称为被积表达式，,x,称为积分变量，,C,为积分常数,.,即,2.,不定积分的概念,例,2,求,解,例,1,求,解,例,3,求,解,3,不定积分与微分的关系,微分运算与积分运算互为逆运算,.,特别地，有,4.1.2,不定积分的基本积分公式,例,4,计算下列积分,解,例,5,计算下列积分,解,(1),(2),4.1.3,不定积分的性质,性质,1,被积函数中不为零的常数因子可以移到积分,号的前面,.,性质,2,可以推广到有限多个函数的情形，即,性质,2,两个函数的和,(,或差,),的不定积分等于各函数,不定积分的和,(,或差,),，即,例,6,求,解,注,逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意,常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只,要写出一个任意常数即可,例,7,求,解,例,8,求,解,解,例,11,求,例,12,求,解,有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但,经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数,的积分后，便可逐项积分求得结果如例,9,12,。,解,例,1,4.2,换元积分法,4.2.1,第一类换元法,定理,1,根据不定积分的定义，则有,公式,(1),称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法,.,也称“凑微分”法,应用定理,1,求不定积分的步骤为,例,2,求,解,设 是单调可导的函数，且,定理,2,那么,应用第二类换元法求不定积分的步骤为,由函数乘积的微分公式,移项得,对上式两端同时积分，得,公式,(1),或公式,(2),称为分部积分公式,.,或,4.3,分部积分法,例,1,求,解,
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