圆与证明(教育精品)

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、空间与图形,课程标准及学习目标,(6),圆,理解围及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。,探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。,了解三角形的内心和外心。,了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。,会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。,(1),了解证明的含义,理解证明的必要性。,通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件,(,题设,),和结论。,结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。,通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。,通过实例，体会反证法的含义。,掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。,4,图形与证明,(2),掌握以下基本事实，作为证明的依据,一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。,两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。,若两个三角形的两边及其夹角,(,或两角及其夹边，或三边,),分别相等，则这两个三角形全等。,全等三角形的对应边、对应角分别相等。,(3),利用,(2),中的基本事实证明下列命题,1,平行线的性质定理,(,内错角相等、同旁内角互补,),和判定定理,(,内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行,),。,三角形的内角和定理及推论,(,三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角,),。,直角三角形全等的判定定理。,角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点,(,内心,),。,垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点,(,外心,),。,三角形中位线定理。,等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。,平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。,(4),通过对欧几里得,原本,的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。,一、圆的概念,1.,平面上到定点的离等于定长的所有点组成的图形叫做,圆,.,其中,定点称为,圆心,定长称为,半径,的长,(,通常也称为半径,).,以点,O,为圆心的圆记作,O,读作,“,圆,O,”,.,2.,圆心确定圆的,位置,半径确定圆面积的,大小,.,3.,圆是,轴对称,图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴,.,4.,圆也是,中心对称,图形,它的对称中心就是圆心,.,5.,圆的,旋转不变性,.,6.,圆上任意两点间的线段叫做,弦,经过圆心的弦称为,直径,圆心到弦的距离称为,弦心距,.,7.,圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称,弧,.,直径分圆为两条相等的弧,称为,半圆,.,大于半圆的弧称为,优弧,小于半圆的弧称为,劣弧,.,8.,圆心相同,半径不同圆称为,同心圆,.,9.,半径相同,圆心不同的圆称为,等圆,.,10.,在同圆或等圆中，能够重合的弧称为,等弧,.,11.,顶点在圆心的角称为,圆心角,.,12.,顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做,圆周角,.,13.,顶点在圆上,一边和圆相切,另一边和圆相交的角称为,弦切角,.,二、点与圆的位置关系,1.,点与圆的位置关系有三种：点在圆,外,点在圆,上,点在圆,内,.,2.,点与圆的位置关系的数量,点到圆心的距离,(d),与半径,(r),关系：,点在圆外,点在圆上,点在圆内,d,r,d,r,d,r,三、,垂径定理,1.,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧,.,O,A,B,C,D,M,AM=BM,重视：,模型,“,垂径定理三角形,”,若,CD,是直径,CDAB,可推得,AC=BC,AD=BD.,AC=BC,AD=BD.,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论,.,3.,垂径定理的推论,圆的两条平行弦所夹的弧相等,.,2.,垂径定理的逆定理,在下列五个条件中,:,CD,是直径,CDAB,AM=BM,四、,圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理,1.,定理,在,同圆,或,等圆,中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等,.,2.,推论,在,同圆,或,等圆,中,如果,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦的弦心距,中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,.,O,A,B,D,A,B,D,O,A,B,D,O,A,B,D,五、,圆周角定理,1.,定理,一条弧所对的,圆周角,等于它所对的,圆心角,的一半,.,2.,推论,1:,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角,相等,.,3.,推论,2:,直径所对的圆周角是直角,.,4.,推论,3:,90,的圆周角所对的弦是直径,.,即,ABC=AOC.,O,A,B,C,O,B,A,C,D,E,O,A,B,C,六、,直线与,圆,的位置关系,1.,相交、相切、相离,.,2.,直线和圆有惟一公共点,(,即直线和圆相切,),时,这条直线叫做圆的,切线,这个惟一的公共点叫做,切点,.,O,O,相交,O,相切,相离,3.,直线与,圆,的位置关系,量化,揭密,.,圆心到直线的距离为,d,圆的半径为,r.,直线和圆相交,d,r;,d,r;,直线和圆相切,直线和圆相离,d,r;,O,O,相交,O,相切,相离,r,r,r,d,d,d,七、,切线,的性质和判定定理,1.,性质,定理,圆切线垂直于过切点的半径,(,直径,).,2.,判定定理,经过半径,(,直径,),的外端,并且垂直于这条半径,(,直径,),的直线是圆的切线,.,C,D,B,O,A,B,O,A,C,D,八、三角形与,圆,1,.,定理,不在,一条直线上的三个点确定一个圆,.,2.,三角形的三个,顶点,确定一个圆,这圆叫做三角形的,外接圆,.,这个三角形叫做圆的,内接三角形,.,3.,与三角形,三边都相切的,圆,叫做三角形的,内切圆,.,这个三角形叫做圆的,外切三角形,.,4.,外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的,外心,.,5.,内切圆,的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的,内心,.,八、三角形与,圆,1.,切线长定理及其推论,:,从圆外一点向圆面积所引的两条切线的长相等,;,并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角,.,2.,直角三角形的内切圆半径与三边关系,.,3.,三角形的内切圆半径与圆面积,.,A,B,P,O,1,2,A,B,C,O,D,E,F,A,B,C,O,O,D,E,F,九、四边形与,圆,1.,如果四边形的四个,顶点,在一个圆,这圆叫做四边形的,外接圆,.,这个四边形叫做圆的,内接四边形,.,2.,如果四边形的四条,边,都与一个圆相切,这圆叫做四边形的,内切圆,.,这个四边形叫做圆的,外切四边形,.,3.,圆内接四边形对角互补,.,4.,圆内接四边形的一个外角等于它的内对角,.,5.,对角互补的四边形内接于圆,.,6.,圆外切四边形两组对边的和相等,.,十、,圆与圆的位置关系,1.,外离、外切、相交、内切、内含,.,上述五种位置关系还可以分成,:,相交、相切、相离,三类,O,2,O,1,内切,外切,O,2,O,1,O,2,O,1,内含,外离,O,2,O,1,O,2,O,1,相切,相交,相离,相交,3.,圆与圆的位置关系量化揭密,内切,内含,外离,外切,O,2,O,1,O,2,O,2,相交,O,1,O,1,O,2,O,1,O,2,O,1,R,r,R,r,R,r,R,r,R,r,两圆外切,d,R+r;,=,两圆内切,d,R-r;,=,d,R-r;,两圆内含,两圆相交,R-r,d,R+r.,两圆外离,十一、,弧长,与,扇形面积,1.,半径为,R,的圆中,n,的圆心角所对的,弧长,的计算公式,2.,半径为,R,的圆中,n,的圆心角所对的,扇形面积,.,十二、,圆锥,的,侧面积,(,扇形,),1.,如图,设圆锥的母线长为,l,底面半径为,r,那么,这个扇形的半径,(R),为,圆锥的母线,l,扇形的弧长,(L),为,圆锥底面的周长,(L=2r),因此圆锥的侧面积,(S,侧,),为,圆锥的母线与扇形弧长积的一半,;,若圆锥的底面半径为,r,母线长为,l,则它的侧面积,(S,侧,),圆锥的母线与底面周长积的一半,.,2.,若圆锥的底面半径为,r,母线长为,l,则它的侧面积,(S,侧,),圆锥的母线与底面周长积的一半,.,