曲线积分与曲面积分习题课

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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十章,曲线积分与曲面积分,目录下页返回结束,习题课,例题选讲,基本内容,1,一、曲线积分的计算法,1.基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)统一积分变量,转化,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,首页上页下页返回结束,2,(1)写出曲线,L,方程及相应弧微分公式ds,L,为参数方程:,L,为直角坐标方程：,L,为极坐标方程：,对弧长的曲线积分,解题步骤：,首页上页下页返回结束,3,(2)将,L,的表达式及弧微分公式直接代入曲线积分式,化为定积分,定出积分限.(,注:,下限小于上限,),L,为参数方程,L,为直角坐标方程,L,为极坐标方程,首页上页下页返回结束,4,(1)直接化为对参变量的定积分,对坐标的曲线积分,计算方法：,注:,下限对起点,上限对终点,首页上页下页返回结束,5,(2)利用积分与路径无关的条件,若 ,则积分只与,L,的起点与终点有关,故可选取便于计算的路径,如折线段、圆弧段、直线段(结合,P,、,Q,考虑).,(3)利用格林公式(适用于封闭曲线)化为定积分.,注:,若曲线,L,不是封闭的,直接计算又困难,可考虑添加,辅助曲线,C,使,L,+,C,为封闭曲线,再利用格林公式.,首页上页下页返回结束,6,(4)利用斯托克斯公式(适用空间封闭曲线积分).,利用行列式记号可记为：,首页上页下页返回结束,7,或：,注:,格林公式(斯托克斯公式)反映的是平面闭区域,D,(空间曲面)上重积分(曲面积分)与边界曲线,上曲线积分之关系.,首页上页下页返回结束,8,(1)利用对称性简化计算;,(2)利用积分与路径无关的等价条件;,2.基本技巧,对于曲线积分 ,下面四个条件等价:,曲线积分与路径无关.,被积表达式是某个函数的全微分.,沿任何闭路线的曲线积分为零.,首页上页下页返回结束,9,(5)利用两类曲线积分的联系公式.,其中,为有向曲线,L,上点(,x,y,)处的切向量的方向角.,(4)利用斯托克斯公式;,(3)利用格林公式(注意,加辅助线的技巧,);,首页上页下页返回结束,10,二、曲面积分的计算法,1.基本方法,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),转化,二重积分,(1)统一积分变量代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:始终非负,第二类:有向投影,(3)确定积分区域,把曲面积分域投影到相关坐标面,首页上页下页返回结束,11,计算方法,第一类(对面积的曲面积分),首页上页下页返回结束,12,上侧取正号,下侧取负号.,第二类(对坐标的曲面积分),前侧取正号，后侧取负号.,首页上页下页返回结束,13,右侧取正号，左侧取负号.,注：,对于封闭曲面,可考虑用高斯公式.,首页上页下页返回结束,14,2.基本技巧,(1)利用对称性简化计算,(2)利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),高斯公式反映的是空间闭区域上三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,首页上页下页返回结束,15,(3)两类曲面积分的转化,其中,为有向曲面上点(,x,y,z,)处的法向量的方向角.,首页上页下页返回结束,16,三、例题选讲,解,利用极坐标,原式=,说明:,若用参数方程计算,则,首页上页下页返回结束,17,首页上页下页返回结束,18,解,首页上页下页返回结束,19,解,因在,上有,故,原式=,首页上页下页返回结束,20,解法1,令,则,这说明积分与路径无关,故,首页上页下页返回结束,21,解法2,它与,L,所围区域为,D,(利用格林公式),则,添加辅助线段,首页上页下页返回结束,22,提示:,首页上页下页返回结束,23,提示:,方法1,利用对称性,首页上页下页返回结束,24,设三角形区域为,方向,向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,首页上页下页返回结束,25,且取下侧,提示:,以半球底面,原式=,记半球域为,高斯公式有,为辅助面,利用,首页上页下页返回结束,26,证,设,(常向量),则,首页上页下页返回结束,27,解,取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在,内,为,xoy,平面上夹于,之间的部分,且取下侧,则,首页上页下页返回结束,28,第二项添加辅助面,再用高斯公式,计算,得,首页上页下页返回结束,29,思考题,1)二重积分是哪一类积分?,答:,第一类曲面积分的特例.,2)设曲面,问下列等式是否成立?,不对!对坐标的曲面积分与曲面,的,侧有关,首页上页返回结束,30,

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