函数模型的应用实例

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数模型的应用实例,一、新课引入,到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？,一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,幂函数,（,a0,）,大家首先来看一个例子,邮局规定，邮寄包裹，在,5,千克内每千克,5,元，,超过,5,千克的,超出部分,按每千克,3,元收费，邮费与邮寄包,裹重量的函数关系式为,_,f,（,x,）,从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联系，,有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实例来感,受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实际问题中,建立函数模型呢？,例,3,一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时,间的关系如图,3.2-7,所示。,（,1,）求图,3.2-7,中阴影部分的,面积，并说明所求面积的,实际含义；,解：,（,1,）阴影部分的面积为,501+801+901+751+651=360,阴影部分的面积表示汽车在这,5,小时内行驶的路,程为,360,km,图,3.2-7,（,2,）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前,的读数为,2004,km,，,试建立行驶这段路程时汽车里程表,读数,s km,与时间,t h,的函数解析式，并作出相应的图象。,这个函数的图象如图,3.2-8,所示,S=,解：,根据图,3.2-7,，有,50t+2004,80(t-1)+2054,90(t-2)+2134,75(t-3)+2224,65(t-4)+2299,0,t,1,1,t,2,2,t,3,3,t,4,4,t,5,t,图,3.2-8,s,图,3.2-7,从这个练习我们看到，在解决实际问题的过程,中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们,应当注意提高读图的能力。另外，在本题中我们用,到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻,画现实问题的重要模型。大家在运用,分段函数的时,候要注意它的定义域。,那么应该如何解函数的应,用问题呢？,例,4,人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人,口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依,据。早在,1798,年，英国经济学家马尔萨斯就提出了,自然状态下的人口增长模型：,表,3-8,是,1950,1959,年我国的人口数据资料：,年份,1950,1951,1952,1953,1954,1955,1956,1957,1958,1959,人数,/,万人,55196,56300,57482,58796,60266,61456,62828,64563,65994,67207,其中,t,表示经过的时间，,y,0,表示,t=0,时的人口数，,r,表示,人口的年平均增长率。,（,1,）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口,增长率（精确到,0.0001,），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在,这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据,是否相符；,解：,（,1,）设,1951,1959,年的人口增长率分别为,r,1,，,r,2,，,，,r,9,.,由,55196(1+r,1,)=56300,可得,1951,年的人口增长率,r,1,0.0200,。,同理可得，,r,2,0.0210,r,3,0.0229,r,4,0.0250,r,5,0.0197,r,6,0.0223,r,7,0.0276,r,8,0.0222,r,9,0.0184,于是，,1951,1959,年期间，我国人口的年均增长率为,r=,（,r,1,+r,2,+r,9,）,90.0221,令,y,0,=55196,，,则我国在,1950,1959,年期间的人口增长模型为,根据表,3-8,中的数据作出散点图，,并作出函数的图象（图,3.2-9,）。,由图,3.2-9,可以看出，所得模型与,1951,1959,年的实际人口数据,基本吻合。,图,3.2-9,t,y,（,2,）如果按表,3-8,的增长趋势，大约在哪一年我国的,人口达到,13,亿？,解：,将,y=130000,代入,由计算器可得,t38.76,所以，如果按表,3-8,的增长趋势，那么大约在,1950,年,后的第,39,年（即,1989,年）我国的人口就已达到,13,亿。,由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口,自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。,从以上的例子可以看到，用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。因此，往往需要对模型进行修正。,中国移动通讯公司拥有“全球通”“神州行”“动感地带”,三大著名客户品牌“全球通”：收费标准是月租费,50,元，,通话,1,分钟话费,0.4,元；“神州行”：不缴月租费，本地接听,和主叫均为,0.6,元,/,分钟，长途,0.8,元；“动感地带”,（,Mzone,）,是今年,3,月份北京移动为年轻一族量身定做,的移动客户品牌其最大卖点在于其短信套餐，分别为,每月支付,20,元可发,300,条短信或者每月支付,30,元可发,500,条短信（假设选择第一种套餐），一条不到一毛钱，,资费标准：中国移动网内,0.4,元,/,分钟，网外,0.6,元,/,分钟，,免交月租若一个月内通话分钟为,x,（,仅考虑均拨打本地,网内,电话的情况），,三种方式的费用分别为,y,1,元、,y,2,元和,y,3,元,练习,1,（,2,）当,x,300,时，,y,1,170,元，,y,2,180,元，,y,3,140,元，所以使用“动感地带”合算些,（,1,）一个月内通话多少分钟，“全球通”与“神州行”,通讯费相同？,（,2,）某人估计一个月内通话,300,分钟，应选择哪种,通讯方式合算？,解：,（,1,）,y,1,50,0.4,x,，,y,2,0.6,x,，,y,3,20,0.4,x,，,由,y,1,y,2,，,解得,x,250,，,所以一个月通话,250,分钟，,两种方式通讯费相同,某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加，若在,某个时刻这种细菌的个数为,200,个，按照每小时成倍,增长，如下表：,时间（小时）,0,1,2,3,细菌数（个）,200,400,800,1600,问：,实验开始后,5,小时细菌的个数是多少？,练习,2,解：,设实验时间为,x,小时，细菌数为,y,个，依题意有,x,小时,0,1,2,3,y,（,个）,200,400,800,1600,点,A,B,C,D,200,2002,0,，,400,2002,1,，,800,2002,2,，,1600,2002,3,此实验开始后,5,小时，即,x,5,时，细菌数为,2002,5,6400,（个）,从而，我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式，即,y,2002,x,（,x,N,）,课堂小结,解函数的应用问题，一般地可按以下四步进行：,第一步：,阅读理解，认真审题,第二步：,引进数学符号，建立数学模型,第三步：,利用数学的方法将得到的常规数学问题,（即数学模型）予以解答，求得结果,第四步：,再转移成具体问题作出解答,1.,通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应,的确定的函数模型。,课堂小结,2.,根据收集到的数据，作出散点图，并通过观察,图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器,的数据得出具体的函数解析式。再用得到的函,数模型解决相应的问题。,用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由,于实际问题的条件与得出已知模型的条件有,所不同，因此，往往需要对模型进行修正。,注意,作业：,P121,习题,3.2,A,组第,6,题,