偏微分方程的解法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,回顾,1、定解问题的边界条件,2、定解问题的分类与适定性,3、二阶线性偏微分方程的有关概念,4、常系数线性偏微分方程的通解,1,方程的通解和特解,一般地，一个,n,阶常微分方程的通解含有,n,常数。一,个,n,阶偏微分方程的通解含有,n,个任意函数,。,2,数学物理方程的分类,考察二元二次方程：,二次型的主轴定理,3,类似地，二阶线性偏微分方程,一定可以改写为如下“形式”：,4,由二次型的性质可知，上述分类方法在区域上任一点,总是可行的；但方程在不同的点可能属于不同的类型。,5,两个自变量的情形,显然，弦的横振动方程和杆的纵振动方程是双曲型方程；,一维扩散和传导方程是抛物型方程；二维静电场方程是椭圆型,方程。,（三维波动方程、扩散和传导方程以及三维Poisson方程和Schrdinger方程,是什么类型的方程？）,6,常系数线性偏微分方程,7,行波法 dAlembert公式,行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有效.,一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：,8,9,dAlembert公式,10,齐次偏微分方程的求解（,P172,）,dAlembert公式的应用,2.非齐次偏微分方程的求解,该体系在外力作用下开始振动，可以看作外界持续给体系,施加以冲量，体系的振动即为持续冲量效果的叠加。从这一思,路出发求解问题被称为,冲量原理法,。,11,12,根据以上分析，易得上述纯受迫振动的解为：,13,例 7.5,求解如下定解问题：,14,例 7.6,求解如下定解问题：,15,求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足,相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问,题适用，很多定解问题很难直接求出通解。更为普遍,的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理，,直接求出定解问题的解。,16,1.,行波法；,2.分离变量法；,3.幂级数解法；,4.格林函数法；,5.积分变换法；,6.保角变换法；,7.,变分法；,8.计算机仿真解法；,9.,数值计算法,数学物理方程的求解,17,