向量组的秩课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,线性代数与空间解析几何,第十五讲,哈工大数学系代数与几何教研室,王 宝 玲,第四章 n维向量,4.3,向量组的秩,1,线性代数与空间解析几何 第十五讲哈工大数学系代数与几何教,单个向量组成的向量组,:,(1),若,=0,则线性相关,;,(2),若,0,则,线性,无关,.,两个向量组成的向量组,:,(1),若对应分量成比例,则线性相关,;,(2),若对应分量不成比例,则线性无关,.,复习线性相关性的判定理论,2,单个向量组成的向量组:两个向量组成的向量组,设有,n,维向量组成的向量组,:,1,2,m,(1),包含,0,向量,线性相关,.,(2),包含成比例的向量,线性相关,.,(3),线性相关,存在一个向量可由其余的,向量线性表示,.,(4),线性无关,任何向量都不能由其余的,向量线性表示,.,(,m,2),增加(减少)个数不改变相(无)关性.,(5),(6),增加(减少)维数不改变无(相)关性.,3,设有n维向量组成的向量组:1,2,m(m2)增加,(7),向量组,1,2,m,线性相关性,x,1,1,+,x,2,2,+,x,m,m,=0,有非零解,齐次线性方程组,AX,=0,有非零解,其中,A,=(,1,2,m,),X,=(,x,1,x,2,x,m,),T,(8),设有,n,个,n,维向量,1,2,n,:,1,2,n,线性相关,|,1,2,n,|=,0,;,1,2,n,线性无关,|,1,2,n,|,0,.,(9),R,n,中,n,+1,个向量一定线性相关,.,(10),矩阵判别法.,4,(7)向量组1,2,m线性相关性(8)设有n个n,4.3,向量组的秩,极大线性无关组与秩;,2.,向量组的等价;,3.,向量组的秩与矩阵的秩的关系.,本节 主要内容,5,4.3 向量组的秩极大线性无关组与秩;本节 主要内容5,4.3.1,向量组的极大无关组与秩,定义1,设,S,是,n,维向量构成的向量组,在,S,中,选取,r,个向量 ,如果满足,(1),线性无关,(2),任取,S,总有 线性相关.,则称向量组 为向量组,S,的一个,极大线性无关组,(简称,极大无关组,).,数,r,称为该向量组的,秩,记为,r,(,1,2,s,)=,r,或,秩,(,1,2,s,),=,r,6,4.3.1 向量组的极大无关组与秩定义1设S是n维向量构成,设有向量组,1,=(1,1,1),T,2,=(2,1,0),T,3,=(3,2,1),T,求向量组,的,秩,和,极大无关组.,因,1,2,线性无关,且,例1,所以,1,2,为,极大无关组,可知,1,3,和,2,3,也都是,极大无关组,.,故,秩,(,1,2,3,),=2,.,3,=,1,+,2,解,7,设有向量组 1=(1,1,1)T,因 1,定理4.2,设,n,维向量,1,2,m,线性无关,而,1,2,m,线性相关,则,可由,1,2,m,线性表示,且,表法唯一,.,证,由,1,2,m,线性相关,存在不全为零的数,k,1,k,2,k,m,l,使得,下面证明只有,l,0,反证法.,线性表示唯一性定理,8,定理4.2 设n维向量1,2,m线性无关,证,如果,l=,0,则有,k,1,k,2,k,m,不全为零,使,于是,1,2,m,线性相关,与已知矛盾.,从而,l,0,.,故有,即,可由,1,2,m,线性表示,.,下面来证明表示的唯一性,.,9,如果 l=0,则有k1,k2,km不全为零,使于是,假若,有两种表示法,设,两式相减,得,由,1,2,m,线性无关,得,可由,1,2,m,唯一线性表示,.,故,10,假若 有两种表示法,设两式相减,得由1,2,m,设有两个,n,维向量组,若,(I),中每个向量都可由,(II),线性表示,则称 向量组,(I),可由向量组,(II),线性表示,.,若向量组,(I),和,(II),可以互相线性表示,则称向量组,(I),与,(II),等价,.,定义2,4.3.2,向量组的等价,等价的性质,自反性、对称性、传递性,11,设有两个 n 维向量组若(I)中每个向量都可由(II)线性表,n,维向量组,存在数,使得,即,定义,存在,r,s,矩阵,K,使得,B,n,s,=,A,n,r,向量组,(II),可由向量组,(I),线性表示,12,n维向量组存在数,极大无关组与原向量组的关系,?,极大无关组之间的关系?,这都要用到两个向量组之间的关系,.,向量组极大无关组的几个问题,:,向量组与它的极大无关组等价.,证,设,(I),极大无关组,.,不妨设,(II),性质1,的秩为,r,是,(I),的一个,13,极大无关组与原向量组的关系?向量组极大无关组的几个问题:向,即,(II),可由,(I),线性表示,.,i,(,i,=1,2,r,),(II),由,(1),由,定义,1,知,1,2,m,中任意,r+1,个,(2),故,(I),与,(II),等价,.,j,(I),向量都线性相关.,如果,j,=1,r,j,显然可由,1,2,r,线性表示;如果,j,=r+1,m,向量组,1,2,r,j,一定,线性相关,所以,j,(,j,=r+1,m,),可以由,1,2,r,线性表示,(I),可由,(II),线性表示,.,14,即(II)可由(I)线性表示.i(i=1,2,证,设,(I),(II),是向量组,S,的两个极大,无关组,由,性质,1,知,(I),与,S,等价,(II),与,S,等价,由传递性,(I),与,(II),等价,.,向量组的任意两个极大无关组,等价,.,性质2,设有,n,维向量组,:,若,(I),线性无关,且,(I),可由,(II),线性表示,则,r,s,.,定理4.3,15,证 设(I),(II)是向量组S 的两个极大向量组,证,因为向量组,(I),可由,(II),线性表示,故有,线性无关,由,矩阵判别法知,故,r,s,.,(,I,),(II),16,证因为向量组(I)可由(II)线性表示,故有线性无关,由,推论2,若,(I),、,(II),都线性无关,且,(I),与,(II),等价,则,r,=,s,.,向量组的,两个极大无关组所含向量个数相等,推论3,若,(I),可由,(II),线性表示,则,秩,(,I,),秩,(,II,),.,如果向量组,(I),可由,(II),线性表示,且,r,s,则,(I),线性相关.,等价的无关向量组必然等秩,推论1,17,推论2若(I)、(II)都线性无关,且(I)与(II)等价,证,设,r,(I),=,r,r,(II),=,s,(,I,),(,II,),分别是,(I),(II),的极大无关组,显然,(,I,),(,II,),含向量的,个数分别是,r,与,s,.,因为,(,I,),可由,(I),线性表示,(I),可由,(II),线性表示,而,(II),可由,(,II,),线性表示,所以,(,I,),可由,(,II,),线性表示.由定理,4.3,有,r,s,.,等价的向量组等秩,18,证 设r(I)=r,r(II)=s,(I),(,设,若向量组,1,2,3,线性无关,证明,向量组,1,2,3,也线性无关,.,证1,由已知可以解得用,1,2,3,来表示,1,2,3,的表达式,:,故两向量组,等价,等秩,r,(,1,2,3,)=3,r,(,1,2,3,)=3,1,2,3,线性无关,.,例2,19,设若向量组1,2,3线性无关,证明证1 由已知可,证2,故两向量组,等价,等秩,则,1,2,3,线性无关,.,20,证2 故两向量组等价,等秩,则 1,2,3 线性,4.3.3,向量组的秩与矩阵的秩的关系,定理,4.4,r,(,A,nm,),=,A,的列向量组,的秩,.,分析,记,r,(,A,),=,r,往证 的秩为,r,即,只要证,的极大无关组含,r,个向量,.,证,r,(,A,)=,r,A,存在,r,阶子式,D,r,0,记,D,r,对应的,r,列为,是,r,维,线性无关向量的接长,仍线性无关,.,是线性相关的,下证,21,4.3.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系定理4.4r(An,j,不,在,i,1,i,2,i,r,中,j,在,i,1,i,2,i,r,中;,线性相关,.,r+1,列对应的子矩阵记为,A,1,r,(,A,1,),r,(,A,),=,r,r,+1,而,因为,线性相关,所以,是一个极大无关组,.,故,r,(,A,)=,A,的行秩,=,A,的列秩,由 ,又有,A,的行秩,.,22,j 不在 i1,i2,ir 中,j 在,设,AB,=0,.,若,A,的列向量组线性无关,则,B,=0,.,若,B,的行向量组线性无关,则,A,=,0,.,若,B,0,则,A,的列向量组线性相关.,若,A,0,则,B,的行向量组线性相关.,分析,设,B,=(,B,1,B,2,B,m,),AB,=0,AB,i,=0.,A,的列向量组线性无关,AX,=0,只有零解,B,i,=0,i,=1,m,B,=0,.,其余情况可以类似得到,.,例3,23,设AB=0.例323,将,A,=,=,B,行,秩,等,;,极大无关组的位置对应相同;,表示系数对应相同,当 时,n,维列向量组,S,:,则向量组 与,初等变换法,极大无关组和秩的求法,行初等变换不改变,A,的秩,不改变,列向量组,之间的,线性关系.,24,将A=B行秩等;极大无关组的位置对应相同;表示系数对,求矩阵,A,列,向量组的一个极大无关组和秩,并把其余列向量用所求出,的极大无关组线性表示.,解,通过初等,行,变换把,A,化为行最简形,例4,25,求矩阵A列向量组的一个极大无关组和秩,并把其余列向量用所求,为一个极大无关组,26,为一个极大无关组26,设有向量组,1,0,1,0,=,，,=,1,1,0,0,=,2,1,1,0,=,0,0,1,1,，,，,求向量组的,(1),秩;(,2),极大无关组;,(3),表示系数.,解法1,设,1 1 2 0,0 1 1 0,1 0 1 1,0 0 0 1,A,=,=,是该向量组的一个极大无关组.,1 1 0 0 1 1 0 0 1,D,=,=,10,由,而,|,A,|=0,知秩,=,3,例5,27,设有向量组1=，=1=2=0，求向量组的(1)秩;(2),解法2,设,A,=,1 1 2 0,0 1 1 0,1 0 1 1,0 0 0 1,=,1 1 2 0,0 1 1 0,0 0 0 1,0 0 0 0,行,A,1 0 1 0,0 1 1 0,0 0 0 1,0 0 0 0,行,=,B,=,(2),是该向量组的一个极大无关组,(,和 也是,),.,(3),(1),秩,=,3,;,28,解法2设A=1 1 2 0=1 1 2 0行A1 0,(-)Bye!,预习,4.4-4.5,29,(-)Bye!预习 4.4-4.529,