数学建模——几何图示法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模几何图示法,利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观。,1,例1 在某海滨城市附近海面有一台风,.,据监测，当前台风中心位于城市,O,（如图1）的东偏南 方向300,km,的海面,P,处，并以20,km,/,h,的速度向西偏北 方向移动,.,台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60,km,，并10,km,/,h,的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？,2,图1,3,问题分析与假设,1.根据问题解决目的：问几小时后该城市开始受到台风的侵袭，以及台风侵袭的范围为圆形的假设，只要求出以台风中心 （动点）为圆心的圆 的半径,r,，这个圆的半径划过的区域自然是侵袭范围.,4,2.台风中心是动的，移动方向为向西偏北 ，速度为20,km,/,h,，而当前半径为60,km,，并以10,km,/,h,的速度不断增大，即半径的增加速度为 ,t,为时间,.,于是只要 ，便是城 市,O,受到侵袭的开始,.,5,模型I 如图2建立坐标系：以,O,为原点，正东方向为,x,轴正向,.,图2,6,在此时刻,t,(,h,)台风中心的坐标为,此时台风侵袭的区域是,其中,r,(,t,)=10,t,+60,.,7,若在,t,时刻城市,O,受到台风的侵袭，则有,即 整理可得 由此解得 12 t 24，即12小时后该城市开始受到台风的侵袭.,8,模型II 设在时刻,t,(,h,)台风中心为（如图2），此时台风侵袭的圆形半径为10,t,+60，因此，若在时刻,t,城市,O,受到台风侵袭，应有由余弦定理知,9,注意到 故因此 解得,10,例2：,铺瓷砖问题,要用40块方形瓷砖铺设如图所示图形的地面,但当时商店只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块.一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面,结果弄来弄去始终无法完整铺好.,问题在于用20块长方形瓷砖正好铺成图所示的地面的可能性是否存在?只有可能性存在才谈得上用什么方法铺的问题.,11,12,为此,在图上白、黑相间的染色.然后仔细观察,发现共有19个白格和21个黑格.一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两格,所以铺上19块长方形瓷砖.(无论用什么方法),总要剩下2个黑格没有铺.而一块长方形瓷砖是无法盖住2个黑格的,唯一的办法是把最后一块瓷砖一断为二。,13,解决铺瓷砖问题中所用方法在数学上称为“奇偶校验”,即是如果两个数都是奇数或偶数，则称具有相同的奇偶性.如果一个数是奇数,另一个数是偶数,则称具有相反的奇偶性.在组合几何中会经常遇到类似的问题.,14,在铺瓷砖问题中,同色的两个格子具有相同的奇偶性,异色的两个格子具有相反的奇偶性长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对方格.因此，把19块长方形瓷砖在地面上铺好后,只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性时,才有可能把最后一块长方形瓷砖铺上.由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性,因此无法铺上最后一块长方形瓷砖这就从理论上证明了用20块长方形瓷砖铺好如图所示地面是不可能的.任何改变铺设方式的努力都是徒劳的,15,数学中许多的著名的不可能的证明都要用到奇偶校验,例如欧几里德证明著名的结论：是无理数，就是用的奇偶性(读者不妨自己动手做一下).,由上可以看出,奇偶校验方法巧妙而简单,极富创造力.在估计事情不可能成立时,可考虑使用奇偶性这一方法来论证.,16,