计算方法的牛顿法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数值分析,非线性方程的牛顿法,(Newton Method of Nonlinear Equations,),数值分析非线性方程的牛顿法(Newton Metho,内容提纲（,Outline),牛顿法及其几何意义,收敛性及其收敛速度,计算实例及其程序演示,内容提纲（Outline),取,x,0,作为初始近似值,，,将,f,(,x,),在,x,0,做,Taylor,展开:,重复上述过程,作为第一次近似值,一、牛顿法及其几何意义,Newton,迭代公式,基本思路：,将非线性方程,f,(,x,),=0,线性化,取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:重,牛顿法的几何意义,x,y,x*,x,0,x,1,x,2,牛顿法也称为切线法,牛顿法的几何意义xyx*x0 x 1x 2牛顿法也称为切线法,（,局部收敛性定理,）设,f,(,x,),C,2,a,b,，,若,x,*,为,f,(,x,),在,a,b,上的根,且,f,(,x,*)0,，,则存在,x,*,的邻域 使得任取初始值 ，,Newton,法产生的序列,x,k,收敛到,x,*，,且满足,至少平方收敛,二、牛顿法的收敛性与收敛速度,（局部收敛性定理）设 f(x)C2a,b，若,在,x,*,的附近,收敛,由,Taylor,展开：,令,k,，,由,f,(,x,*)0，,即可得结论。,证明：,Newton,法,实际上是一种特殊的迭代法,在x*的附近收敛由Taylor 展开：令k，由 f,思考题1,若 ，,Newton,法,是否仍收敛？,设,x,*,是,f,的,m,重根，则令：,且,Answer1:,有局部收敛性,思考题1 若 ，Newton法是否仍收敛？设 x*,Answer2:,线性收敛,思考题2,当,x,*,是,f,(,x,)=0,的,m,重根,是否平方收敛？,Answer2:线性收敛思考题2当x*是 f(x)=,结论：,Newton,法的收敛性依赖于,x,0,的选取。,x,*,x,0,x,0,x,0,结论：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。x*x0 x,有根,根唯一,全局收敛性定理,(,定理,3.3.1),：,设,f,(,x,),C,2,a,b,，,若,f,(,a,),f,(,b,)0；,则由,Newton,法产生的序列,x,k,单调地收敛到,f,(,x,)=0,在,a,b,的唯一根,x,*,且收敛速度至少是二阶的,保证,产生的序列,x,k,单调有界,保证,Newton,迭代函数,将,a,b,映射于自身,有根根唯一全局收敛性定理(定理3.3.1)：设 f(x),将,f,(,x,*,),在,x,k,处作,Taylor,展开,对迭代公式两边取极限，得,证明：,以,为例证明,说明数列,x,k,有下界,故,x,k,单调递减,从而,x,k,收敛.令,？,将f(x*)在 xk 处作Taylor展开对迭代公式两边取极,三、,计算实例及其程序演示,辅助工具,:,VC,程序设计语言,Matlab,数学软件,三、计算实例及其程序演示辅助工具:,(1)选定初值,x,0,计算,f,(,x,0,),f,(,x,0,),计算步骤,(2)按公式 迭代,得新的近似值,x,k+1,(3)对于给定的允许精度,，,如果,则终止迭代，取,;否则,k=k+,1,，,再转,步骤(2)计算,允许精度,最大迭代次数,迭代信息,(1)选定初值x0,计算f(x0),f(x0,例题1,用,Newton,法求方程,的根,要求,迭代格式一：,迭代格式二：,取初值,x,0,0.0,计算如下：,对迭代格式一,:,the iterative number is 27,the numerical solution is 0.442852706,对迭代格式二,:,the iterative number is 3,the numerical solution is 0.442854401,例题1用Newton法求方程 的根,要,例题2,求函数 的正实根,精度要求：,从图形中我们可以看出：,在,x=7,和,x=8,之间有一单根；,在,x=1,和,x=2,之间有一重根。,用,Matlab,画图，查看根的分布情形,例题2求函数,初值,x,0,8.0,时,计算的是单根,The iterative number is 28,The numerical solution is 7.600001481,初值,x,0,1.0,计算的是重根,The iterative number is 1356,The numerical solution is 1.198631981,取初值,x,0,8.0,用牛顿迭代公式计算如下：,取初值,x,0,1.0,用牛顿迭代公式计算如下：,初值x08.0 时,计算的是单根,The iterati,小结,(1)当,f,(x),充分光滑且,x,*,是,f,(x),=0,的单根时，牛顿法在,x,*,的附近至少,是平方收敛的。,(2)当,f,(x),充分光滑且,x,*,是,f,(x),=0,的重根时，牛顿法在,x,*,的附近,是线性收敛的。,(3)Newton,法在区间,a,b,上的收敛性依赖于初值,x,0,的选取。,小结(1)当f(x)充分光滑且 x*是f(x)=0,练习：,3.,Newton,迭代法是如何推出的?它若在单根附近收敛,是几阶收敛?在重根附近是几阶收敛？求方程重根时,能达到2阶收敛的改进,Newton,迭代公式是什么,用牛顿法求方程 在区间 1，2 内,的一个实根，要求,2.导出求立方根 的迭代公式，并讨论其收敛性。,练习：3.Newton 迭代法是如何推出的?它若在单根附,首先导出求根方程 ，再对 使用牛顿法,得迭代公式 ,用全局收敛性定理或局部收,敛性定理讨论其收敛性。,首先导出求根方程 ，再对 使用牛顿,