信号与系统---第三章 离散系统的时域分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 离散系统的时域分析,绪论,第一节,LTI,离散系统的响应,第二节 单位序列和单位序列响应,第三节 卷积和,总结,绪论,离散系统分析与连续系统分析在许多方面是互相平行的，它,们有许多类似之处。连续系统可用微分方程描述，离散系统可用,差分方程描述。差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是,相互对应的。在连续系统分析中，卷积积分具有重要的意义；在,离散系统分析中，卷积和也具有同等重要的作用。,与连续系统类似，LTI离散系统的全响应 也分为零输入响,应 和零状态响应 两局部，表示为：,本章主要讨论离散系统的零状态响应。,第一节,LTI,离散系统的响应,一.差分与差分方程,差分定义 前向差分：,后向差分：,关系：,两者仅移位不同无原那么区别，本书主要采用后向差分，简称差分。,.差分运算具有线性，即：,.差分阶次：,.差分方程：,对线性系统：,其差分方程为：,.差分方程的递推法求解：,例1：某离散系统：，初始条件y(0)=0.,y(1)=2,求输入 时的响应,解：代入初始条件,该方法可以用迭代法计算，使用计算机运算比较方便，但不易得解析解。,或,n,为差分阶次,LTI,离散系统,二,.,差分方程的经典解,线性系统的一般差分方程：,经典解法：,1.,齐次解：由特征方程 特征根，再由特征根的形式定出齐次解的形式。,的形式 单根：,重根：,一对共轭：,r,重共轭根，形式如书。,2.,特解：由输入形式定特解的形式。,所有特征根部不为,1,有,r,重为的特征根,不为特征根,为单特征根,为,r,重特征根,或,其中共轭根：,或 所有特征根不为 ，,3.全解：由初始条件定系数。,注意：初始条件应为y(j),j=0,1,2,而y(j),j=-1,-2,-3,应由方程迭代出,y(j),j=0,1,2的。,例1：,单根,为,r,重根,由初始条件定系数,求全解。,解：,1.,求,2.,求,由输入,将,代入方程,3.,全解,由初始条件,例,2,：,解：齐次解：,特解：由输入 代入方程得：,P=Q=1,全解：,一般对于稳定系统其自由响应一般为瞬态响应，其强迫响应即输入作用的,响应为稳态响应。,自由响应,强迫响应,求全解,由初始条件,自由响应,(,瞬态,),强迫响应,(,稳态,),三,.,零输入响应和零状态响应：,零状态响应,零输入响应,1.,零输入响应：零输入时，差分方程 齐次方程，可求其特征根，当为单特,征根时：,2.,零状态响应：为非齐次方程，当单特征根时，形式为：,.,全响应：,那么,可由初始条件直接定出。,由输入定形式，代入非齐次方程定系数,由零初始条件定出,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,仅由系统的初始条件决定。,不仅与系统的初始条件有关，而与输入也有关系,.初始条件：,各初始条件中，不仅包含有零输入响应的初始值 ，也包含零状态响应,的初始值 ，不便分开，不能去定 。而当 时，这时,鼓励还未参加，那么 时，有,即当给定初始条件的j不为负值时，可由方程迭代入,再上式得 由它定系数 和,例1：,求零状态响应，零输入响应，全响应。,解：,由初始条件,零状态响应 ：,由输入：代入方程定出,由特征根 得,代入k 0 的初始条件 迭代出,由它们定出系数,系统的全响应：,注意：求零状态和零输入响应时，y(j)初始条件，j为0,1，正的取值才可以.,例2:,求零输入响应的初始条件 和零状态响应的初始条件,解：零状态初始条件 零状态下-1，-2时无输入,代入方程迭代出,零输入,零状态,自由响应,强迫响应,当 求,迭代,迭代,第二节 单位序列和单位系列响应,一.单位序列和单位阶跃序列,1.单位序列单位脉冲序列：,定义：与 对应，但 不为奇异信号,波形：,位移：,性质：,2.单位阶跃序列：,定义：波形：,移位：,k,k,因果信号表示：,3.,两者关系：,二,.,单位序列响应和单位阶跃响应：,1.,单位序列响应：,求法 由差分方程求解,也可由,Z,变换求，对方程做,Z,变换后求解,方法：只在,k=0,处为,1,，,k0,为齐次方程，由特征根定形式，并定出系数。,LTI,例,1,：求单位序列响应,解,:,列出差分方程，并确定,初始条件。,.,求 ，在,k0,时，,特征方程：,D,D,1,2,+,+,+,那么：,代入初始条件,例,2,：如图系统求其单位序列响应。,解：,.,列方程：设中间,变量,.,单位序列响应：,初始条件：,可先求输入为 的 ：,而 作用后的 根据时不变性有,D,D,1,1,2,+,+,+,+,1,得：,同上题,二.阶跃响应：,求法：.可以用经典的方法求解 ：,类似 求解，定形式除齐次解局部，加上特解，并定出系数。,.利用：与 关系：,由线性时不变：,这样在 时可求出 ，也由 利用,例3：求上例的单位阶跃响应：,解：1.经典法：,那么：,初始条件 ，而定系数需求 的值。,由方程迭代得：,LTI,即：,求,特征方程：,而由输入 那么 代入方程定出,代入初始条件：,2.利用单位序列响应求：,上例已经求出为,那么：,由几何级数求和公式得：,考虑到,k0,那么,常用的几种数列求和公式：,第三节 卷积和,一,.,卷积和：,1.,分析 任意一个序列可分解为单位序列的组合。,系统 ，由时不变 系统,系统 由线性得,即 等于 与 的卷积和。,LTI,2.,卷积和定义：,两个序列 和 的卷积和定义为：,计算时，换元，其一反转，平移，乘积后求和。,二,.,卷积和图示：,例,1,：为 为,解：,先换元为,i,对 反转，如图：,平移不同,K,值计算：,k,k,k,共 个不为零，本例为6个不为零,计算时可用 P105 表：,写出相同K的对角线的元素之和即为结果,对有序序列卷积可用该方法计算，,对无限序列卷积有：,假设 为因果序列：,假设 为因果序列：,假设 都为因果序列：,例2：,解：,1,2,3,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,2,2,2,2,0,3,3,3,3,0,0,0,0,0,0,求,三,.,卷积和的性质：,1.,类代数的性质：交换律：,分配律：,结合律：,物理意义：,2.,与 卷积的性质：,并联,串联,例,3,：如图复合系统由两个子系统级联而成：,a,，,b,为常数,求；复合系统的单位序列响应,解：,即,例4：如图离散系统，初始条件,鼓励,求全响应：,解：写出系统的方程：,.求 特征方程,.求,D,D,+,+,+,1,2,在零输入,代入方程迭代出,并求,那么,先求,由例,全响应：,本章总结,差分的定义,差分方程：,求解：由特征根定形式,系数待定,由输入定形式,带入方程定系数,由初始条件定系数,关系：,求解 由特征根定形式,由 为正的值,经典解类 的求法,用卷积：,求法：变元，反转，平移，乘积，求和,卷积 定义：,性质：类代数性质,与 卷积,