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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五讲 定积分,内容提要与典型例题,第五讲 定积分,1,一、主要内容,问题1:,曲边梯形的面积,问题2:,变速直线运动的路程,定积分,存在定理,反常积分,定积分,的性质,牛顿-莱布尼茨公式,定积分的,计算法,一、主要内容问题1:问题2:定积分存在定理反常积分定积分牛顿,2,二、内容提要,1,定积分的定义,定义的实质,几何意义,物理意义,2 可积和 可积的两个,充分,条件,3,定积分的性质,线性性,可加性,非负性,二、内容提要 1 定积分的定,3,比较定理,估值定理,积分中值定理,积分中值公式,若M 和 m 是,比较定理估值定理 积分中值定理积分中值公式,4,积分上限函数及其导数,积分上限函数及其导数,5,牛顿莱布尼茨公式,定积分的计算法,（1）换元法,换元积分公式,（2）分部积分法,分部积分公式,微积分基本公式,牛顿莱布尼茨公式定积分的计算法（1）换元法换元积分公式（2,6,利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算,广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的,7,三、典型例题,例,求极限（1）,解,三、典型例题例求极限（1）解,8,解,练习:,求极限,解：,原式,解练习:求极限解：原式,9,如果能把数列的通项写成,的形式，,就可以利用,或,把数列极限问题转化为定积分,的计算问题.,与数列的极限有着密切联系。,由以上两例可见，连续函数,f,(,x,)的定积分,如果能把数列的通项写成的形式，就可以利用或把数列极限问题转化,10,例,证明,证:,令,则,令,得,故,例 证明证:令则令得故,11,例,解,例解,12,例.,求,解:,令,则,原式,例.求解:令则原式,13,例.,求,解:,例.求解:,14,解,是偶函数,例,解是偶函数,例,15,例.,设,解:,例.设解:,16,例,设,求,解,例设 求解,17,这是 型未定式的极限,解,由L,Hospital法则,a,=0 或,b,=1,将,a,=0 代入知不合题意,故,b,=1.,例 试确定,a,b,的值使,这是 型未定式的极限解由LHospital法则a,18,19,例,已知两曲线,在点,处的切线相同,写出此切线方程,并求极限,解,故所求切线方程为,19例已知两曲线在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限解,19,例,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明,：,显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立.,明对于任何,例设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论,20,例 设,f,(,x,)在,0,1,上连续，且满足条件,例 设,f,(,x,)在,a,b 上连续，且,证明：方程,有且只有一个根。,例 设 f(x)在 0,1 上连续，且满足,21,例 设,f,(,x,),g,(,x,)在 ,a,b,上连续，证明,证,关键在于作出辅助函数,F,(,x,),则,F,(,a,)、,F,(,b,)的符号不易判别，得不出结论,例 设 f(x),g(x)在 ,22,则,F,(,x,)在,a,b,上连续，在(,a,b,)内可导,且,F,(,a,)=,F,(,b,)=0,由 Rolle 定理知：,则 F(x)在 a,b 上连续，在,23,辅助函数法,证明定积分等式主要适用于证明在积分限中至少存在一点,使等式成立的命题。,移项使一端为 0,另一端即为,验证,F,(,x,)满足介值定理或 Rolle 定理,注：,移项使一端为 0另一端即为验证 F(x)满足介值定理或,24,例.,设函数,f,(,x,)在,a,b,上连续,在(,a,b,)内可导,且,(1)在(,a,b,)内,f,(,x,)0;,(2)在(,a,b,)内存在点,使,例.设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,25,证:,(1),由,f,(,x,)在,a,b,上连续,知,f,(,a,)=0.,所以,f,(,x,),在(,a,b,)内单调增,因此,证:(1)由 f(x)在a,b上连续,知 f,26,即,(2),设,满足柯西中值定理条件,于是存在,即(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在,27,例.,设,证:,设,且,试证:,则,故,F,(,x,)单调不减,即原等式成立.,例.设证:设且试证:则故 F(x)单调不减,28,
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