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*,*,总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,*,*,总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,考情分析,总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,总纲目录,*,*,总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,考点聚焦,总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,随堂检测,*,*,总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,典题精练,总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,题型特点,总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,题组训练,总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,真题回访,第2课时圆锥曲线中的综合问题,1,总纲目录,考点一 定点问题,考点二 定值问题,考点三 最值、范围问题,考点四探索性问题,考点一定点问题,证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方,程的成立与参数值无关得出,x,y,的方程组,以方程组的解为坐标的点就,是直线所过的定点.典型例题,(2017课标全国理,20,12分)已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0),四点,P,1,(1,1),P,2,(0,1),P,3,P,4,中恰有三点在椭圆,C,上.,(1)求,C,的方程;,(2)设直线,l,不经过,P,2,点且与,C,相交于,A,B,两点.若直线,P,2,A,与直线,P,2,B,的斜,率的和为-1,证明:,l,过定点.,又由,+,+,知,C,不经过点,P,1,所以点,P,2,在,C,上.,因此,解得,故,C,的方程为,+,y,2,=1.,(2)设直线,P,2,A,与直线,P,2,B,的斜率分别为,k,1,k,2,.,如果,l,与,x,轴垂直,设,l,:,x,=,t,由题设知,t,0,且|,t,|0.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=,.,而,k,1,+,k,2,=,+,=,+,=,由题设,k,1,+,k,2,=-1,故(2,k,+1),x,1,x,2,+(,m,-1)(,x,1,+,x,2,)=0.,即(2,k,+1),+(,m,-1),=0.,解得,k,=-,.,当且仅当,m,-1时,0,于是,l,:,y,=-,x,+,m,即,y,+1=-,(,x,-2),所以,l,过定点(2,-1).,动线过定点问题的两大类型及解法,(1)动直线,l,过定点问题,解法:设动直线方程(斜率存在)为,y,=,kx,+,t,由题设,条件将,t,用,k,表示为,t,=,mk,得,y,=,k,(,x,+,m,),故动直线过定点(-,m,0).,(2)动曲线,C,过定点问题,解法:引入参变量建立曲线,C,的方程,再根据其对,参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.,方法归纳,跟踪集训,(2017河南郑州质量预测(三)已知动圆,M,恒过点(0,1),且与直线,y,=-1相,切.,(1)求圆心,M,的轨迹方程;,(2)动直线,l,过点,P,(0,-2),且与点,M,的轨迹交于,A,B,两点,点,C,与点,B,关于,y,轴,对称,求证:直线,AC,恒过定点.,解析(1)由题意得点,M,与点(0,1)的距离始终等于点,M,与直线,y,=-1的距,离,由抛物线定义知圆心,M,的轨迹为以点(0,1)为焦点,直线,y,=-1为准线的,抛物线,则,=1,p,=2.,圆心,M,的轨迹方程为,x,2,=4,y,.,(2)证明:由题意知直线,l,的斜率存在,设直线,l,:,y,=,kx,-2,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,C,(-,x,2,y,2,),由,得,x,2,-4,kx,+8=0,x,1,+,x,2,=4,k,x,1,x,2,=8.,k,AC,=,=,=,直线,AC,的方程为,y,-,y,1,=,(,x,-,x,1,).,即,y,=,y,1,+,(,x,-,x,1,)=,x,-,+,=,x,+,x,1,x,2,=8,y,=,x,+,=,x,+2,则直线,AC,恒过点(0,2).,考点二定值问题,定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关,这些变化因素可,能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等,这类问题的一般解法,是使用变化的量表达求证目标,通过运算求证目标的取值与变化的量无,关.,典型例题,(2015课标,20,12分)已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)的离心率为,点(2,)在,C,上.,(1)求,C,的方程;,(2)直线,l,不过原点,O,且不平行于坐标轴,l,与,C,有两个交点,A,B,线段,AB,的,中点为,M,.证明:直线,OM,的斜率与直线,l,的斜率的乘积为定值.,解析,(1)由题意有,=,+,=1,解得,a,2,=8,b,2,=4.,所以,C,的方程为,+,=1.,(2)设直线,l,:,y,=,kx,+,b,(,k,0,b,0),A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),M,(,x,M,y,M,).将,y,=,kx,+,b,代入,+,=1得(2,k,2,+1),x,2,+4,kbx,+2,b,2,-8=0.,故,x,M,=,=,y,M,=,k,x,M,+,b,=,.,于是直线,OM,的斜率,k,OM,=,=-,即,k,OM,k,=-,.,所以直线,OM,的斜率与直线,l,的斜率的乘积为定值.,圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法,(1)特点:特征几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.,(2)两大解法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.,引进变量法:其解题流程为,方法归纳,跟踪集训,已知抛物线,C,:,y,2,=2,px,(,p,0)的焦点,F,(1,0),O,为坐标原点,A,B,是抛物线,C,上异于,O,的两点.,(1)求抛物线,C,的方程;,(2)若,OA,OB,求证:直线,AB,过定点.,解析,(1)依题意知,=1,p,=2,则抛物线,C,的方程为,y,2,=4,x,.,(2)证明:依题意知:设,AB,:,x,=,ty,+,m,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,).,由于,OA,OB,则,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0.(*),由,得,y,2,-4,ty,-4,m,=0,y,1,y,2,=-4,m,x,1,x,2,=,=,m,2,.,代入(*)式,得,m,2,-4,m,=0,m,=0或4.,A,B,是抛物线上异于,O,的两点,m,=0不合题意.,因此,m,=4.,直线,AB,的方程为,x,=,ty,+4,直线,AB,过定点(4,0).,考点三最值、范围问题,圆锥曲线中常见的最值问题及其解法,(1)两类最值问题:涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;,求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定,与之相关的一些问题.,(2)两种常见解法:几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征,及意义,则考虑利用图形性质来解决;代数法,若题目的条件和结论能,体现一种确定的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.典型例题,的点,P,(,x,y,),.过点,B,作直线,AP,的垂线,垂足为,Q,.,(1)求直线,AP,斜率的取值范围;,(2)求|,PA,|,PQ,|的最大值.,(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线,x,2,=,y,点,A,B,抛物线上,解析,(1)设直线,AP,的斜率为,k,k,=,=,x,-,因为-,x,b,0),由条件可得,a,=2,c,=,则,b,=1,故椭圆,C,的方程为,+,x,2,=1.,(2)设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),由,得,(,k,2,+4),x,2,+2,kx,-3=0,故,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=-,设,OAB,的面积为,S,由,x,1,x,2,=-,0,y,=,t,+,在,t,3,+,)上单调递增,t,+,0,b,0,y,0)和部分抛物线,C,2,:,y,=-,x,2,+1(,y,0)连接而成,C,1,与,C,2,的大众点为,A,B,其,中,C,1,的离心率为,.,(1)求,a,b,的值;,(2)过点,B,的直线,l,与,C,1,C,2,分别交于点,P,Q,(均异于点,A,B,),是否存在直线,l,使得以,PQ,为直径的圆恰好过点,A,?若存在,求出直线,l,的方程;若不存在,请说明理由.,解析,(1)在,C,1,C,2,的方程中,令,y,=0,可得,b,=1,且,A,(-1,0),B,(1,0)是上半椭圆,C,1,的左、右顶点.,由,e,=,=,及,a,2,-,c,2,=,b,2,=1可得,a,=2,a,=2,b,=1.,(2)存在.由(1)知,上半椭圆,C,1,的方程为,+,x,2,=1(,y,0).,由题易知,直线,l,与,x,轴不重合也不垂直,设其方程为,y,=,k,(,x,-1)(,k,0).,代入,C,1,的方程,整理得(,k,2,+4),x,2,-2,k,2,x,+,k,2,-4=0.(*),设点,P,的坐标为(,x,P,y,P,),直线,l,过点,B,x,=1是方程(*)的一个根.,由求根公式,得,x,P,=,从而,y,P,=,点,P,的坐标为,.,同理,由,得点,Q,的坐标为(-,k,-1,-,k,2,-2,k,).,=,(,k,-4),=-,k,(1,k,+2).,连接,AP,、,AQ,依题意可知,AP,AQ,=0,即,k,-4(,k,+2)=0,k,0,k,-4(,k,+2)=0,解得,k,=-,.,经检验,k,=-,符合题意,故直线,l,的方程为,y,=-,(,x,-1).,解决探索性问题的注意事项,存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结,论不正确,则不存在.,(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论.,(2)当给出结论要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.,(3)当条件和结论都未知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取其他,的途径.,方法归纳,跟踪集训,已知曲线,T,:,+,y,2,=1(,y,0),点,M,(,0),N,(0,1),是否存在经过点(0,),且斜率为,k,的直线,l,与曲线,T,有两个不同的交点,P,和,Q,使得向量,+,与,共线?若存在,求出,k,的值;若不存在,请说明理由.,解析,假设存在,则,l,:,y,=,kx,+,代入椭圆方程得(1+2,k,2,),x,2,+4,kx,+2=0.,因为,l,与椭圆有两个不同的交点,所以,=(4,k,),2,-8(1+2,k,2,)0,解得,k,2,由题意知直线,l,不经过椭圆的左、右顶点,即,k,1,亦即,k,2,且,k,2,1.,设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),则,x,1,+,x,2,=-,得,y,1,+,y,2,=,k,(,x,1,+,x,2,)+2,=-,+2,=,.,所以,+,=(,x,1,+,x,2,y,1,+,y,2,)=,又,=(-,1),向量,+,与,共线等价于,x,1,+,x,2,=-,(,y,1,+,y,2,),所以-,=(-,),解得,k,=,不符合题意,所以不存在这样的直线.,(,k,0)的直线交,E,于,A,M,两点,点,N,在,E,上,MA,NA,.,(1)当|,AM,|=|,AN,|时,求,AMN,的面积;,(2)当2|,AM,|=|,AN,|时,证明:,k,0.,由已知及椭圆的对称性知,直线,AM,的倾斜角为,.,又,A,(-2,0),因此直线,AM,的方程为,y,=,x,+2.,将,x,=,y,-2代入,+,=1得7,y,2,-12,y,=0.,解得,y,=0或,y,=,所以,y,1,=,.,因此,AMN,的面积,S,AMN,=2,=,.,(2)证明:将直线,AM,的方程,y,=,k,(,x,+2)(,k,0)代入,+,=1得(3+4,k,2,),x,2,+16,k,2,x,+16,k,2,-12=0.,由,
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