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第一节 布洛赫定理,5.1.1 布洛赫定理,5.1.3 布里渊区,5.1.2 波矢的取值和范围,本节主要内容:,第一节 布洛赫定理5.1.1 布洛赫定理5.1.3 布里渊,5.1 布洛赫定理,5.1.1 布洛赫定理,1.晶格的周期性势场,(3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性；,(1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和；,(2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势能与距离成反比)；,(4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。,5.1 布洛赫定理5.1.1 布洛赫定理1.晶格的周期性,在一个具有晶格周期性的势场中运动的电子的波函数的基本特点？,当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：,周期场中运动的电子的能量,E,（,K,）和波函数必须满足定态的薛定谔方程,其中 为任意格点的位矢。,其中 为电子波矢，,是格矢。,在一个具有晶格周期性的势场中运动的电子的波函数的基本,2.布洛赫定理的物理意义,一个具有晶格周期性的势场中运动的电子的波函数为：,一个自由电子的波函数 与一个具有晶体结构周期性函数,的乘积。,是按照晶格周期,a,调幅的行波；,在物理上反应了晶体中的电子既有共有化的倾向，又受到晶体,结构周期性排列的限制；,只有当 等于常数时，在周期场中运动的电子波函数才变,为自由电子的波函数；,布洛赫函数是比自由电子波函数更接近真实情况的波函数。,2.布洛赫定理的物理意义一个具有晶格周期性的势场中运动的电,在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为,布洛赫波函数,。,3.证明布洛赫定理,(1)引入平移对称算符,(2)说明:,(3),根据布洛赫定理波函数写成如下形式：,在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅,由于晶格的周期性，晶体中的等效势场,V（,r,）,具有,晶格的周期性。,在直角坐标系中,由于晶格的周期性，晶体中的等效势场V（r）具有在直,则哈密顿函数也为晶格的周期性函数,为了根据哈密顿函数具有晶格的平移对称性研究波函,数的特点，引入平移对称操作算符,则哈密顿函数也为晶格的周期性函数为了根据哈密顿函数具有晶格的,任意一个函数,f,（,r,）,经过平移算符作用后变为,现将平移对称操作算符作用在薛定谔方程左边,由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 是 的本征函数，那么 也一定是算符 的本征函数。,任意一个函数f（r）经过平移算符作用后变为现将平移对称操作算,对应的本征值的特点是什么？,由,本征值,（Rn）,必须满足等式,根据平移特点,对应的本征值的特点是什么？由本征值（Rn）必须满足等式根据,可以得到,即,设晶体在,a,1,、,a,2,、,a,3,三个方向各有个,N,1,、,N,2,、,N,3,个,原胞，由周期性边界条件,得到,由上式可以得出,解为,可以得到即设晶体在a1、a2、a3三个方向各有个N1、N2,令,ka,1,，,代入,l,为整数,取,满足上式，得到,同理可以得到,令ka1，代入l为整数取满足上式，得到同理可以得到,令,由,晶体中电子波函数满足的方程是,可以得到 具有波矢的意义,当波矢,K,增加个倒格矢,令由晶体中电子波函数满足的方程是可以得到,平面波,也满足晶体中电子的波函数所满足的方程。,所以，电子的波函数为平面波的线性叠加,结论：晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。,平面波也满足晶体中电子的波函数所满足的方程。所以，电子的波函,可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。,可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面,由周期性边界条件,5.1.2 的取值和范围,由周期性边界条件5.1.2 的取值和范围,（其中,l,j,为任意整数,),，,（其中lj为任意整数)，,只能取一些分立的值。,可以证明,是倒格矢。,态和,态是同一电子态，而同一电子态对应同一,故 。,个能量，,为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征值 一一对应起来，必须把波矢 的值限制在一个倒格子原胞区间内，通常取：,只能取一些分立的值。可以证明是倒格矢。态和态是同一电子态，而,在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数目,N,=,N,1,N,2,N,3,。,在波矢空间内，由于,N,的数目很大，波矢点的分布是准连续的。一个波矢对应的体积为：,一个波矢代表点对应的体积为：,电子的波矢密度为：,在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数目,下面我们证明,证明：根据布洛赫定理,下面我们证明证明：根据布洛赫定理,例1：一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫定理，若晶格常量为,a,，,电子波函数为,f,为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢,。,解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：,令,m,-,n,=,l,，,例1：一维周期场中电子的波函数,据布洛赫定理，,即,在简约布里渊区中，即,1.布里渊区定义,在,倒格空间,中以,任意,一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格空间分割成许多区域，这些区域称为,布里渊区,。,5.1.3 布里渊区,第一布里渊区(简约布里渊区)：围绕原点的最小闭合区域；,取,据布洛赫定理，即在简约布里渊区中，即1.布里渊区定义,对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢,?,第,n,+1,布里渊区,：从原点出发经过,n,个中垂面(或中垂线)才能到达的区域(,n,为正整数),。,2.布里渊区作图法,晶体结构,布拉维晶格,倒格点排列,中垂面(中垂线),区分布里渊区,倒格基矢,正格基矢,对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢?第n+1布里渊,例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一,、,第二,、,第三布里渊区,。,例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第,第一布里渊区,第三布里渊区,第二布里渊区,第一布里渊区第三布里渊区第二布里渊区,布里渊区的面积,=倒格原胞的面积,高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的简约区图。,第一区,第二区,第三区,布里渊区的简约区图,布里渊区的扩展区图,布里渊区的面积=倒格原胞的面积 高序号布里渊区的各个分,第一区,第二区,第三区,第四区,第五区,第六区,第七区,第八区,第九区,第十区,第一区第二区第三区第四区第五区第六区第七区第八区第九区第十区,二维正方晶格的布里渊区的简约区图,二维正方晶格的布里渊区的简约区图,倒格仍为矩形。,例3：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为 。,解:,倒格仍为矩形。例3：画出下面二维矩形格子的第一和第二,第一区,第二区,第一区第二区,例4：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为,a,。,解：,面心立方正格基矢：,倒格基矢:,例4：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。解：,面心立方的倒格是,边长为,4,/,a,体心立方。,倒格基矢：,已知体心立方正格基矢:,X,L,K,面心立方的倒格是倒格基矢：已知体心立方正格基矢:XLK,例5：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为,a,。,解：正格基矢：,倒格基矢：,例5：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为a。解：,体心立方倒格是边长为,4,/,a,的,面心立方。,已知面心立方正格基矢：,H,P,N,体心立方倒格是边长为 4/a的面心立方。已知面心立方正格基,正方形,正格,简约布里渊区形状,面心立方,正方形,十四面体,(截角八面体),体心立方,十二面体,简约布里渊区体积(面积),布里渊区的形状由晶体结构的布拉维晶格决定；,布里渊区的体积(或面积)等于倒格原胞的体积(或面积)。,正方形正格简约布里渊区形状面心立方正方形十四面体体心立方十二,例题：晶体常数为,a,的一维晶体中，电子的波函数为,(1),(2),F,是某一函数,求电子在以上状态中的波矢,解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：,在一维周期性势场中运动的电子波函数满足,例题：晶体常数为a的一维晶体中，电子的波函数为(1)(2)F,固体物理第5章5,(2),(2),
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