连续周期信号的Fourier级数ppt课件

,1,第二章 连续时间信号,*,第二章 连续时间信号,2.1,连续周期信号的,Fourier,级数,第二章 连续时间信号,2.1 连续周期信号的 Fourier 级数,2.2 连续非周期信号的 Fourier 变换,第二章 连续时间信号 2.1 连续周期信号的 F,2.1,连续周期信号的 Fourier 级数,一、,问题的提出,二、,Fourier 级数的三角形式,三、,Fourier 级数的指数形式,五、,有限区间上连续信号的Fourier级数,四、,连续周期信号的,离散频谱,2.1 连续周期信号的 Fourier 级数 一、问,一、,问题的提出,由基频 可以得到如下一系列的简谐波：,基本周期为 的连续周期信号,。,对象,称,为,基本频率,(,简称,基频,),。,定义,生成周期为 的复杂波。,显然，由这些简谐波通过加权叠加,(,即,线性组合,),可以,这些简谐波都是以 为周期的，即它们均满足：,一、问题的提出 由基频 可以得到如下一系列的,一、,问题的提出,?,(,Fourier,级数的历史回顾),对于任何一个周期为,的,(,复杂,)信号,，,问题,能否：,历史,一、问题的提出 ?( Fourier级数的历史回顾),1. 正交函数系,函数系,二、,Fourier 级数的三角形式,1. 正交函数系 函数系 二、Fourier 级数,1. 正交函数系,二、,Fourier 级数的三角形式,特点,(1) 周期性,(2) 正交性,1. 正交函数系 二、Fourier 级数的三角形,2. Dirichlet 定理,(1) 连续或只有有限个第一类间断点；,(2) 只有有限个极值点,.,二、,Fourier 级数的三角形式,设,是以 为周期的实值信号，在区间 上,满足如下条件,(,称为,Dirichlet,条件,),：,定理,则在,的,连续,点,处有,在,的,间断,处，上,式左端为,2. Dirichlet 定理 (1) 连续或只有有,(A),其中,(1) 称,(A),式为,Fourier,级数的三角形式,。,定义,2. Dirichlet 定理,定理,二、,Fourier 级数的三角形式,(2) 称 和 为,Euler,-,Fourier 系数,。,(利用正交性),(A) 其中 (1) 称 (A) 式为 Fouri,3. Fourier,级数的物理含义,改写,二、,Fourier 级数的三角形式,令,则,(A),式变为,O,(A),3. Fourier 级数的物理含义 改写 二、Fo,3. Fourier,级数的物理含义,二、,Fourier 级数的三角形式,这些简谐波的频率分别为一个基频,的倍数。,这是连续周期信号的一个非常重要的特点,。,连续周期信号可以分解为一系列,固定频率,的简谐波之和,表明,的频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。,认为,“,一个周期为 的连续周期信号 并不包含所有,意义,”,3. Fourier 级数的物理含义 二、Fourier,3. Fourier,级数的物理含义,二、,Fourier 级数的三角形式,这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。,反映了频率为 的简谐波在信号 中,振幅,所占有的份额；,相位,反映了在信号,中,频率为 的简谐波,沿时间轴移动的大小。,3. Fourier 级数的物理含义二、Fourier 级数,三、,Fourier 级数的指数形式,代入,(A),式并整理得,由 Euler 公式有,推导,(A),已知,1. 公式推导,三、Fourier 级数的指数形式 代入 (A,三、,Fourier 级数的指数形式,1. 公式推导,则有,令,其中,(B),称,(B),式为,Fourier,级数的指数形式,。,定义,推导,三、Fourier 级数的指数形式 1.,(1) 分解式具有惟一性。,说明,(3) 在不考虑具体的物理意义,(,即纯粹进行数学变换,),的时候，分解式与系数中指数的正负号可互换。,三、,Fourier 级数的指数形式,2. 几点说明,(2) 计算系数 时, 其中的积分可以在任意一个长度,为 的区间上进行。,(4) 采用,周期延拓,技术，可以将结论应用到仅仅定义,在某个有限区间上的信号。,(1) 分解式具有惟一性。 说明 (3) 在,四、,连续周期信号的,离散频谱,1. 离散频谱,得,O,分析,由,即 的模与辐角正好是振幅和相位。,(2) 称 为,(离散),频谱,。,(1) 称 为,振幅谱,，,称 为,相位谱,；,定义,四、连续周期信号的离散频谱 1. 离散频谱,四、,连续周期信号的,离散频谱,2. 离散频谱图,将振幅 、相位 与频率 的关系画成图形。,O,O,四、连续周期信号的离散频谱 2. 离散频谱图,四、,连续周期信号的,离散频谱,小结,频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。,(1) 一个周期为 的连续周期信号 并不包含所有的,占有的份额，因此通常记为,(2) 系数 反映了频率为 的简谐波在信号 中所,Fourier,第 一 对 傅 氏 变 换,周期,连续,离散,非周期,四、连续周期信号的离散频谱 小结 频率成份,(1) 当,n,=,0 时，,在 上,设信号 以,为周期，,求它的,例,离散频谱及其 Fourier 级数的,指数形式,O,解,首先求基频,(1) 当 n = 0 时， 在,(2) 当 时，,解,在 上,设信号 以,为周期，,求它的,例,离散频谱及其 Fourier 级数的,指数形式,O,(2) 当 时， 解 在,解,(3),的,Fourier,级数为,(4),振幅谱为,相位谱为,在 上,设信号 以,为周期，,求它的,例,离散频谱及其 Fourier 级数的,指数形式,O,解 (3) 的 Fourier 级,解,(5),频谱图如下图所示。,2,-,4,4,-,2,O,2,-,4,4,-,2,O,在 上,设信号 以,为周期，,求它的,例,离散频谱及其 Fourier 级数的,指数形式,O,解 (5) 频谱图如下图所示。 2- 44,五、,有限区间上连续信号的Fourier级数,仅仅定义在有限区间 上的信号,对象,周期延拓,，,(1) 将信号,进行,周期延拓,，,得到一个基本周期为,分析,的周期信号 ，,即,五、有限区间上连续信号的Fourier级数 仅仅定,五、,有限区间上连续信号的Fourier级数,分析,(2) 对信号,进行 Fourier 级数展开，,仅仅定义在有限区间 上的信号,对象,即得,五、有限区间上连续信号的Fourier级数 分析,五、,有限区间上连续信号的Fourier级数,定义在区间长度为 的有限区间上的连续信号，其频谱,结论,也是以基频 为间隔离散取值的。,Fourier,第 二 对 傅 氏 变 换,有限,连续,离散,非周期,仅仅定义在有限区间 上的信号,对象,五、有限区间上连续信号的Fourier级数 定义在区间长,休息一下,休息一下,历史回顾,Fourier级数,附：,1807 年 12 月 12 日，在法国科学院举行的一次会议上，,Fourier,宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：,在有限区间上由,任意,图形定义的,任何,函数,都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。,经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人,(,号称 3L,),审阅后，,认为其推导极不严密，被拒,(,锯,)收,。,历史回顾 Fourier级数 附： 1807,1811,年，Fourier 将修改好的论文：,提交给法国科学院。,关于热传导问题的研究,其新颖、实用，从而于 1812 年获得法国科学院颁发的,大奖，但仍以其不严密性被论文汇编拒,(,锯,)收。,经过评审小组,(,3L,),审阅后，认为,历史回顾,Fourier级数,附：,1811 年，Fourier 将修改好的论文：提交给法国科,1822,年，Fourier 经过十年的努力，终于出版了专著：,热的解析理论,这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用,的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在,工程应用方面显示出巨大的价值。,历史回顾,Fourier级数,附：,1822 年，Fourier 经过十年的努力，终于出版了专,1829,年，德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较“宽”的,函数给出了严格的证明。时年 24 岁。,1830年,5,月,16,日，Fourier 在巴黎去世。,启示：,(1) 有价值的东西一定是真的；真的东西一定是美的。,(2) 坚持不懈的努力就一定会有收获。,历史回顾,Fourier级数,附：,1829 年，德国数学家 Dirichlet 终于对一类条,解析数论的创始人之一。,对数论、数学分析和数学物理有突出贡献。,对德国数学发展产生巨大影响。,德国数学家,(18051859),狄利克雷,Dirichlet，Peter Gustav Lejeune,人物介绍 ,狄利克雷,附：,解析数论的创始人之一。 对数论、数学分析和数学物理有突出贡,1859年5月5日卒于格丁根。,1839年任柏林大学教授。,1855年接任,C.,F.,高斯,在哥廷根大学的教授职位。,1805年2月13日生于迪伦。,18221826年在巴黎求学。,中学时曾受教于物理学家,G.,S.,欧姆,。,回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任教。,人物介绍 ,狄利克雷,附：,1859年5月5日卒于格丁根。 1839年任柏林大学教授。,附：,人物介绍 ,傅立叶,傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始创人。,1822年出版经典著作热的解析理论。,“,深入研究自然是数学发现最丰富的源泉。,”, J.,Fourier,法国数学家、物理学家,(17681830),傅立叶,Fourier，Jean Baptiste Joseph,附：人物介绍 傅立叶 傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始,1801年回国后被任命为格伦诺布尔省省长。,1795年任巴黎综合工科大学助教。,1798年随拿破仑军队远征埃及。,1768年3月21日生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭。,1785年回乡教数学。,9岁父母双亡，12岁由一主教送入军事学校读书。,1817年当选为法国科学院院士。,1822年任法国科学院终身秘书。,1830年5月16日卒于巴黎。,附：,人物介绍 ,傅立叶,(返回),1801年回国后被任命为格伦诺布尔省省长。 1795年任巴,