偏导数概念描述

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.2,8.2.1,、偏导数概念及其计算,8.2.2,、高阶偏导数,偏 导 数,第八章,定义,1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意,:,8.2.1,、偏导数的概念,同样可定义对,y,的偏导数,若函数,z=f,(,x,y,),在域,D,内每一点,(,x,y,),处对,x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或,y,偏导数存在,例如,三元函数,u=f,(,x,y,z,),在点,(,x,y,z,),处对,x,的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数,.,偏导数定义为,(,请自己写出,),说明,：由偏导数的定义可知，求多元函数对,一个自变量的偏导数时，只需将其它自变量,看成常数,.,用一元函数的求导法则即可求得。,例,1.,求,解法,1:,解法,2:,在点,(1,2),处的偏导数,.,例,2.,设,证,:,求证,例,3.,设,求,解,:,例,3.,求,的偏导数,.,解,:,偏导数记号是一个,例,4.,已知理想气体的状态方程,求证,:,证,:,说明,:,(,R,为常数,),不能看作,分子与分母的商,!,此例表明,整体记号,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点,不一定连续,.,在上节已证,f,(,x,y,),在点,(0,0),并不连续,!,偏导数的经济意义,与一元经济函数的导数类似，,二元经济函数偏导数也,例,某产品的需求量,Q=Q,(,P,y,),，其中,P,为该产品的,价格，,y,为消费者的收入。,有其经济意义。,这是一个二元函数，需求量是价格和消费者收入的函数,.,1,、当考虑消费者收入,y,不变时，,价格由,P,变到,P,+,P,时，需求量,Q,的,平均变化率,偏导数,这是在,(,P,Q,),时，,Q,对,P,的,变化率,。,这是在,(,P,Q,),时,Q,对,P,的,偏弹性,。,2,、当考虑产品价格,P,不变时，,消费者收入,y,变到,y,+,y,时，需求量,Q,的,平均变化率,偏导数,这是在,(,P,Q,),时，,Q,对,y,的,变化率,。,这是在,(,P,Q,),时,Q,对,y,的,偏弹性,。,8.2.2,、高阶偏导数,设,z=f,(,x,y,),在域,D,内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是,z=f,(,x,y,),的,二阶偏导数,.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数,:,类似可以定义更高阶的偏导数,.,例如，,z=f,(,x,y,),关于,x,的三阶偏导数为,z=f,(,x,y,),关于,x,的,n,1,阶偏导数,再关于,y,的一阶,偏导数为,例,4.,求函数,解,:,注意,:,此处,但这一结论并不总成立,.,的二阶偏导数,.,则,定理,.,本定理对,n,元函数的高阶混合导数也成立,.,(,证明略,),解,:,例,4.,求函数,的各二阶偏导数。,说明,:,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序,.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等,内容小结,1.,偏导数的概念及有关结论,定义,;,记号,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2.,偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(,与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序,),思考与练习,1.,函数,D,提示,:,令,y,=,k x,则,在点,(0,0),处,(),(,A,),连续且可导,;(,B,),不连续且不可导,;,(,C,),连续但不可导,;(,D,),可导但不连续,.,2.,设,则,提示,:,1,3,.,f,(,x,y,),在点,处偏导数,存在是,f,(,x,y,),在该点连续的 ().,(,A,),充分条件但非必要,;,(,B,),必要条件但非充分,;,(,C,),充要条件,;,(,D,),既非充分也非必要条件,.,D,作业,P105 1,(1),(4),(6),；,5,（,3,）,