函数的极值及其求法归纳课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.精品课件.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.精品课件.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.精品课件.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.精品课件.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.精品课件.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.精品课件.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.精品课件.,*,第十节 函数的极值与最值一、函数的极值及其求法,.精品课件.,1,第十节 函数的极值与最值一、函数的极值及其求法.,定义,使得,有,则称 为 的一个,极大值点,(,或,极小值点,),极大值点与极小值点统称为,极值点,.,极大值与极小值统称为,极值,.,1),函数的极值是函数的,局部性质,.,2),对常见函数,极值可能出现在,导数为,0,或,不存在的点,(,称为,可疑,极值点,),.,称 为 的一个,极大值,(,或,极小值,),注意,.精品课件.,2,定义使得有则称 为 的一个极大值点,函数极值的求法,定理,1(,函数取得极值的,必要条件,)(,费马定理,),定义,注意,:,例如,设,在点,处具有导数,且在,处取得极值,则,.精品课件.,3,函数极值的求法定理1(函数取得极值的必要条件)(费马定理)定,定理,2(,第一充分条件,),(,是极值点情形,),设,在点,处连续,(1),若,时,而,时,则,在点,处取得,极大值,;,(2),若,时,而,时,则,在点,处取得,极小值,;,(3),若,时,的符号相同,则,在点,处,无极值,.,.精品课件.,4,定理2(第一充分条件)(是极值点情形)设在点 处连续,(,求极值的步骤,:,(,不是极值点情形,),.精品课件.,5,求极值的步骤:(不是极值点情形).精品课件.5,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,.精品课件.,6,例1解列表讨论极大值极小值.精品课件.6,图形如下,.精品课件.,7,图形如下.精品课件.7,例,2,解,.精品课件.,8,例2解.精品课件.8,的极值,.,解,得驻点,不可导点,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,例,3,求函数,不存在,.精品课件.,9,的极值.解得驻点不可导点是极大值点，其极大值为是极小值点，,定理,3(,第二充分条件,),证,同理可证,(2).,二阶导数,且,则 在点 取极大值,;,则 在点 取极小值,.,设函数,f,(,x,),在点,x,0,处,具有,.精品课件.,10,定理3(第二充分条件)证同理可证(2).二阶导数,且则,例,4,解,图形如下,.精品课件.,11,例4解图形如下.精品课件.11,注意,:,.精品课件.,12,注意:.精品课件.12,的极值,.,解,:,令,得驻点,因,故 为极小值,;,又,故需用极值的第一充分条件来判别,.,例,5,.,求函数,.精品课件.,13,的极值.解:令得驻点因故,则,1),当,为偶数,时,2),当,为奇数,时,为极值点,且,不是极值点,证,定理,4,设,f,(,x,),在点,x,0,处,具有,n,阶导数，且,则 在点 取极大值,;,则 在点 取极小值,.,点 为拐点。,.精品课件.,14,则1)当 为偶数时,2)当 为奇数时,为极值点,故,1),当,为偶数,时,由极限的保号性,知,又,得,故 在点 取极大值。,则 在点 取极小值,.,同理可证，,2),当,为奇数,时,可证 在 点邻近两,侧异号,故 在点 不取极值。,.精品课件.,15,故1)当 为偶数时,由极限的保号性,知又得故,故,当,为奇数,时,可证 在 点邻近两侧异号,故点 为拐点。,.精品课件.,16,故 当 为奇数时,可证 在,设,其中,a,为常数,.,证明,:,时,f,(0),为,f,(,x,),的极小值,;,时,f,(0),为,f,(,x,),的极大值,.,证,时,f,(0),为,f,(,x,),的极小值,;,时,f,(0),为,f,(,x,),的极大值,;,时,例,6,.精品课件.,17,设 其中a 为常数.证明:时,f(0)为 f(x,f,(0),为,f,(,x,),的极大值,.,.精品课件.,18,f(0)为 f(x)的极大值.精品课件.18,函数图形的描绘,步骤,:,1.,确定函数,的定义域,期性,;,2.,求,并求出,及,3.,列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点,;,4.,求渐近线,;,5.,确定某些特殊点,描绘函数图形,.,为,0,和不存在,的点,;,并考察其对称性及周,.精品课件.,19,函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.,例,7,解,非奇非偶函数,且无对称性,.,定义域（,-,，,+,）,0,.精品课件.,20,例7解非奇非偶函数,且无对称性.定义域（-，+）,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,:,不存在,拐点,极值点,间断点,.精品课件.,21,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值,作图,.精品课件.,22,作图.精品课件.22,小结,极值是函数的局部性概念,:,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,.,驻点和不可导点是可疑极值点,.,判别法,第一充分条件,;,第二充分条件,;,(,注意使用条件,),.精品课件.,23,小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能,思考与练习,1.,设,则在点,a,处,().,的导数存在,取得极大值,;,取得极小值,;,的导数不存在,.,B,提示,:,利用极限的保号性,.,.精品课件.,24,思考与练习1.设则在点 a 处().的导,在,的某邻域内连续,且,则在点,处,(,A,),不可导,;,(,B,),可导,且,(C),取得极大值,;,(,D,),取得极小值,.,D,提示,:,利用极限的保号性,.,2.,设,.精品课件.,25,在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,是方程,的一个解,若,且,则,在,(,A,),取得极大值,;,(,B,),取得极小值,;,(,C,),在某邻域内单调增加,;,(,D,),在某邻域内单调减少,.,提示,:,A,3.,设,.精品课件.,26,是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极,设,f,(,x,),连续，且,f,(,a,),是,f,(,x,),的极值，,问,f,2,(,a,),是否是,f,2,(,x,),的极值,.,证,则,得,f,2,(,a,),是,f,2,(,x,),的极小值,;,不妨设,f,(,a,),是,f,(,x,),的极小值,有,.精品课件.,27,设 f(x)连续，且 f(a)是 f(x),由,f,(,x,),在,x,=,a,处连续，得,f,2,(,a,),是,f,2,(,x,),的极大值,.,同理可讨论,f,(,a,),是,f,(,x,),的极大值的情况,.,由极限的保号性,知,由,得,.精品课件.,28,由 f(x)在 x=a 处连续，得f 2(a),试问,为何值时,在,时取得极值,还是极小,.,解,:,由题意应有,又,取得极大值为,备用题,求出该极值,并指出它是极大,.精品课件.,29,试问 为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意,练 习 题,.精品课件.,30,练 习 题.精品课件.30,.精品课件.,31,.精品课件.31,练习题答案,.精品课件.,32,练习题答案.精品课件.32,