函数与极限知识点ppt课件

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一章函数与极限,函数与极限微积分中的二个重要基本概念,函数高等数学研究的基本对象,极限是否采用极限的运算方法，是高等数学与,初等数学的根本区别,1,第一章函数与极限函数与极限微积分中的二个重要基本概念函数,第一节 函 数,一函数概念：,常量与变量：,常量,：某一变化过程中,保持数值不变的量,.,变量,：在某一变化过程中,取不同数值的量,一个量是常量还是变量只是,相对,而言的,例：同一地点的=9.8米/秒,2,(初等数学研究的主要对象),例：自由落体=gt,2,/2中的S与t都是变量.,2,第一节 函 数一函数概念：常量与变量：常量：某一变,函数的概念：,函数关系变量之间的依赖关系,函数定义,：,设,与是两个变量,，如果对于在数集中所取的,每一个值，通过与之间的某一,对应律, 都有一个,(或多个)确定的 y 值与之对应 , 则称 f 是上的函数.,记作：,y=f(x),，,x X,称为自变量，称为因变量,称为函数的定义域,而所有对应的值组成的数集则称为函数的值域,3,函数的概念：函数关系变量之间的依赖关系函数定义：,函数的表示方法：,解析法 (如 y = f (x),列表法,图象法,其 他,函数的表示法,解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:,cosx -x0,1 0x1,1/x x 1,f (x) =,(分段函数),注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它,不是多个函数，而是一个函数,4,函数的表示方法：解析法 (如 y = f (x)函,幂函数：=,x,a,指数函数：= a,x,对数函数：=log,a,x,三角函数：=sinx，y =cosx , y=tgx , y=ctgx.,反三角函数：y =arcsinx , y =arccosx ,y =arctgx , y =arcctgx .,二初等函数：,1,基本初等函数,：(,中学学过的）,5,二初等函数：1基本初等函数：(中学学过的）5,2,复合函数,：形如,：,= f (x) ( u =(x) ),定义:,设变量 y 是变量 u 的函数 , 变量 u 又是变量 x 的函数即,y = f (u) , u =(x), 如果变量x的某些值通过中间变量u,可以确定变量 y 的值时 , 则称 y 是 x 的复合函数 , 记作,y = f (x),( y因变量 , u,中间变量 ( 既是自变量又是因变量 ), x自变量 ),注:函数u=(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域.,形成复合函数的中间变量可以不止一个,如:,y=f(x),6,2复合函数：形如：= f (x) ( u,例：y = cos (2t+/3),那么拆成什么形式好呢?,.,一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是,基本初等,函数,或是,它们的和,差,积,商,.,将复合函数拆成简单函数：（重点）,例：,例：,可分解为 : y = cosx , x =2t+/3.,或: y = cos2x , x =t+/6,7,那么拆成什么形式好呢?.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每,3初等函数,定义：由,基本初等函数,经过,有限次加，减，乘，除四则运算,和,有限次复合运算,而构成的,仅用一个解析式表达,的函数，,称为初等函数,（注：不用一个式子表示的函数就不是初等函数）,问：分段函数是否是初等函数？,不是初等函数，但它是一个函数.,例：,都是初等函数。,8,3初等函数定义：由基本初等函数经过有限次加，减，乘，除四则,第二节 函数的极限,极限概念的引入:,例1 . 有一变量其变化趋势为:1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , . . .,1/n , . . .,则该变量的极限是0.(数列极限),9,第二节 函数的极限 极限概念的引入:例1 . 有一变量其变化,例2 . 已知圆的半径为R , 求圆面积 S .,解题思路:,1.求圆的内接正多边形 (正 n 边形) 的面积,2.取极限 ( n时正 n 边形的面积即,为圆的面积),10,例2 . 已知圆的半径为R , 求圆面积 S .解题思路:1,一.,函数的极限:,对于函数 y = f (x) , 我们将分别考察以下两种情况的极限:,1 . 自变量,x x,0,时函数的极限.,2 . 自变量,x ,时函数的极限.,xx,0,-0,时,函数的极限,xx,0,+0,时,函数的极限,x-,时,函数的极限,x+,时,函数的极限,11,一.函数的极限:对于函数 y = f (x) , 我们将分别,1 .,x x,0,时函数的极限:,记作 :,定义: 设函数 f (x),在点 x,0,附近有定义 (但在 x,0,处可以没有定义),当自变量 x 以,任何方式,无限趋近于定值 x,0,时 , 若函数 f (x),无限趋近于一个常数 A ,就说当 x 趋近于 x,0,时 , 函数 f (x)以,A 为极限 .,注: 仅要求函数,在点x,0,附近有定义 ,但在 x,0,处可以没有定义,.,“自变量 x,以任何方式,无限趋近于定值 x,0,”是指,左趋近,和,右趋近,(对于一元函数),.,A,x,f,x,x,=,),(,lim,0,12,1 . x x0 时函数的极限:记作 : 定义: 设函, . 函数的,单侧极限,:,左极限,：,右极限,：,x从,左侧,趋近于x,0,时产生的极限.,记作 :,x从,右侧,趋近于x,0,时产生的极限.,记作 :,13, . 函数的单侧极限 :左极限 ：右极限： x从左侧趋近于,即左极限和右极限,都存在并且相等,时,才能说函数的极限存在,例 : 右图中的函数f(x) (分段函数),A,x,f,x,f,A,x,f,x,x,x,x,x,x,=,=,=,+,-,),(,lim,),(,lim,),(,:,),(,lim,0,0,0,0,0,当且仅当,存在的充要条件,极限,.,B,A,x,y,x,0,o,AB, 即左极限右极限,此函数 f (x)在 x,0,处的极限不存在.,14,即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函数的极限存在例 :,2 . x 时函数的极限 :,函数在正无限处极限:,函数在负无限处极限:,函数在正负无限处极限:,o,x,y,A,15,2 . x 时函数的极限 : 函数在正无限处极限:,例 : 对于函数 f (x) = arctgx , x时极限是否存在?,解 : 当 x +时 , f (x) = arctgx /2 ,函数极限不存在 (当 x 时).,O,Y,x,/2,-/2,当 x -时 , f (x) = arctgx -/2 .,A,x,f,x,f,A,x,f,x,x,x,=,=,=,-,+,),(,lim,),(,lim,),(,:,),(,lim,当且仅当,存在的充要条件,极限,.,16,例 : 对于函数 f (x) = arctgx , x时,极限不存在,的几种情形式 :,1 . 当 x x,0,(x ) 时 , f (x) , 极限不存在 .,这时虽然 f (x) 的极限不存在 , 但也可记作 :,2 . 左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等时,极限不存在.,3 . 当 x x,0,(x ) 时 , f (x) 的变化趋势振荡不定,此时函数极限,不存在 .,17,极限不存在的几种情形式 :1 . 当 x x0 (x ,二. 无穷小和无穷大.,1 .,无穷小定义,:,以,零为极限的变量,就是无穷小量 .,例 : 当 x + 时 , 1/x 的极限为零 ;,注 : 称一个函数是无穷小量时 ,必须指出其自变量的变化趋势,.,无穷小量是,变量,而不是常数 0 , 也不是很小的数 ( 如 10,-10000,),但0可以看成是无穷小量。,当 x 1时 , x-1 的极限也是零 .,18,二. 无穷小和无穷大.1 . 无穷小定义 : 以零为极限的变,2 .,无穷大定义,: 在变化过程中,其绝对值无限变大,(无穷大量的变化趋势和无穷小的变化趋势相反),例 : 当 x 0 时 , 1/x 的值无限增大 ;,注 : 称一个函数是无穷大量时 ,必须指出其自变量的变化趋势.,无穷大量是,变量, 而不是一个很大的量 ., . 无穷大量 , 无穷小量是,变量, 而不是一个确定的量 .,当 x /2 时 , y = tgx 的绝对值 y无限增大 .,19,2 . 无穷大定义 : 在变化过程中其绝对值无限变大 , 例,3 .,无穷小与无穷大的,关系,:,互为倒数,关系,例 : 当 x 0 时 ,1/x 为无穷大量 ,而 x,为无穷小量 .,(在,同一变化过程中,).,20,3 . 无穷小与无穷大的关系 : 互为倒数关系例 : 当 x,4 .,无穷小,定理 :,定理1 . 函数 f (x) 以A为极限的充分必要条件是函数 f (x)与常数A,之差是一个无穷小量 .,即 lim f (x) =A 成立的充要条件是 : lim f (x) -A = 0,亦即 , 若函数 f (x)以A为极限 , 若设 f (x) -A =,则为该极限过程中的无穷小量 .,21,4 . 无穷小定理 : 定理1 . 函数 f (x) 以A为,定理2 .有限个,无穷小,的代数和仍为无穷小量 .,定理3 . 有界函数与,无穷小,的乘积仍为无穷小量 .,(,有界函数,: 若函数 f(x) 在某个区间 X内满足 : Af(x)B ,其中 A , B 是两个定数 , 则称 f (x)在区间X内有界 , A下界 ,B上界).,推论1. 常数与,无穷小量,之积仍为无穷小量 .,推论2. 有限个,无穷小量,的乘积仍为无穷小量 .,22,定理2 .有限个无穷小的代数和仍为无穷小量 . 定理3 .,5 .,无穷小,的比较,: 设,为两个无穷小 ., 若 lim / = 0 (或 lim / =) , 则称是比高阶的无穷小,或称是比低阶的无穷小 .,若 lim / = k0 , 则称与是同阶无穷小 .,特别地若 lim / =1 ,则称与是等价无穷小 . 记作 : ,23,5 . 无穷小的比较 : 设,为两个无穷小 . 若 l,即 lim / =,0 是比,高阶,的无穷小., 是比,低阶,的无穷小 .,k0 与是,同阶,无穷小 .,1 与是,等价,无穷小.,24,即 lim / =0 是比高阶的,在,求等价无穷小的比值的极限,时,可将其中每一个(或仅仅一个),换为与其等价的无穷小.,即 若,1,1,则lim / = lim ,1,/ = lim / ,1,= lim ,1,/ ,1,注:等价无穷小有一个很有用的性质:,例: 求,解: 利用x0 时,ln (1+2x) 2x得:,原式=,= 1/2,25,在求等价无穷小的比值的极限时,可将其中每一个(或仅仅一个)注,三 . 极限的,四则运算法则,:,定理,: 设在某变化过程中有 lim f (x)=A , lim g (x)=B ,则有:, lim f (x)g (x)=lim f (x) lim g (x) =AB., lim f (x) g (x) =lim f (x) lim g (x) =AB, lim f (x) / g(x) =lim f (x) / lim g (x) =A / B (B0),性质,: lim C=C ( C为常量) ., limC f (x) = C lim f (x), lim f (x),n,= lim f (x),n,(n为正整数).,26,三 . 极限的四则运算法则 :定理: 设在某变化过程中有 l,27,27,28,28,3,1,),1,)(,1,(,lim,0,1,(,:,2,1,=,-,+,+,-,=,x,x,x,x,x,x,原式,故不能用极限的商定理),分母的极限为,时,当,解,29,31)1)(1(lim,0,1(:21=-+-=xxx,30,30,对于有理分式函数F(x)=,P(x),Q(x),求极限小结如下：,当 x时,若多项式P(x)的次数低于分母Q(x)的次数,则函数F(x)的极限为0.,若P(x)与Q(x)为同次多项式,则F(x)的极限为p(x)与Q(x)中x最高,次幂的系数之比.,若P(x)的次数高于Q(x)的次数,则F(x)的极限为无穷大.,31,对于有理分式函数F(x)=P(x)Q(x)求极限小结如下：,当 xx,0,时,若分母极限不为0,则可直接应用商定理求出其极限.,若分母的极限为0时,想法消去使分母极限为零的因子,而后用,商定理出其极限 .,求分式函数的极限时,可能会遇到 0/0型 , /型 , 0型等极限,这时需对分式函数作恒等变换,而后约去公因式,化为可求解,的 形式.,利用罗必塔法则求解.,32,当 xx0时若分母极限不为0,则可直接应用商定理求出,四 . 两个重要极限 :,33,四 . 两个重要极限 :33,第三节 函数的连续性,函数的连续性反映在图形上就是：函数曲线是连续而不间断的,x,y,x,y,o,o,（连续的）,（在x,0,处间断）,x,0,y=f(x),y=f(x),34,第三节 函数的连续性函数的连续性反映在图形上就是：函数曲线,一 . 函数的增量 :,函数 y =f (x) , 当自变量 x 从 x,0,变到 x,1,时 , 函数 y 就从 f (x,0,)变到,f (x,1,) , 这时称 x=x,1,-x,0,为自变量 x的增量 ,称,y= f (x,1,) -f (x,0,),或,y= f (x,0,+ x) -f (x,0,),为函数,在 x=x,0,处的增量.,35,一 . 函数的增量 : 函数 y =f (x) , 当自变量,函数,增量,的,几何意义:,y,f(x,0,),f(x,1,),x,0,x,1,=x,0,+x,y=f (x),x,A,B,x,y,o,记作: y= f (x,1,) -f (x,0,) 或 y= f (x,0,+ x) -f (x,0,),36,函数增量的几何意义:yf(x0)f(x1)x0x1=x0+,二.,函数的连续点与间断点,:,1.,连续性定义:,设函数y=f (x),在点x,0,及其附近有定义,当x,0,有一增量x时,相应地,函数也有一增量:y=f (x,0,+x)-f (x,0,),若,则称函数y=f (x)在点x,0,处连续(并称x,0,为函数的连续点),若以x=x,0,+x代入上式,则有x0.则有,37,二.函数的连续点与间断点:1.连续性定义:设函数y=f (x,于是函数的连续性定义可用以下三种不同的形式给出:,),(,),(,lim,0,0,0,x,f,x,x,f,x,=,D,+,D,),(,),(,lim,0,0,x,f,x,f,x,x,=,0,lim,0,=,D,D,y,x,(其中x=x-x,0, y=f(x)-f(x,0,)=f(x,0,+x)-f(x,0,),38,于是函数的连续性定义可用以下三种不同的形式给出:)()(li,连续函数的,几何意义:,x,y,o,y=f (x),x,0,(x,0,y,0,),39,连续函数的几何意义:xyoy=f (x)x0(x0 ,y0),由定义知:函数y=f(x)在点x,0,处连续,必须满足以下三个条件,:, f (x)在点x,0,及其附近有定义.(要求比极限存在的条件高),2 .,间断点,: 不满足以上三个条件之一的点就叫做 f(x)的间断点.,极限必须存在（ 即 ）,),(,lim,0,x,f,x,x,),(,lim,),(,lim,0,0,x,f,x,f,x,x,x,x,+,-,=,),(,),(,lim,0,0,x,f,x,f,x,x,=,（即该极限等于点x,0,处的函数值）,40,由定义知:函数y=f(x)在点x0处连续必须满足以下三个条件,例 :举一例说明间断点的第种情形:,=,=,1,1,sin,),(,x,x,x,f,y,当 x0 时,当x=0,0,1,sin,lim,),(,lim,0,0,=,=,x,x,x,f,x,x,解: ,而f (0) =1,y= f (x) 在 x =0处不连续.,(若定义中 x=0 时 , f (x) =0 , 则 f (x) 在 x=0 处连续),41,例 :举一例说明间断点的第种情形:=11sin,3 .函数的左连续与右连续:,4 .函数f(x)在点x,0,处连续的,充分必要条件,是:,左连续 : 若函数f (x)在x,0,点及某一邻域内有定义 , 且只有,则称 f (x)在点 x,0,处左连续.,),(,),(,lim,0,0,0,x,f,x,f,x,x,=,-,(即充要条件为: f (x)在x,0,点既是左连续又是右连续),),(,lim,),(,lim,0,0,0,0,0,x,f,x,f,x,x,x,x,=,=,+,-,即:,右连续 : 若函数f (x)在x,0,点及某一邻域内有定义 , 且只有,则称 f (x)在点 x,0,处右连续.,),(,),(,lim,0,0,0,x,f,x,f,x,x,=,+,42,3 .函数的左连续与右连续:4 .函数f(x)在点x0处连续,5 . 连续点与极限的关系:,函数在x,0,点处连续,函数在x,0,处极限存在,(回忆极限定义与连续点定义),43,5 . 连续点与极限的关系:函数在x0点处连续函数在x0处极,解: f (x) 在点 x=3 处,没有定义.,点 x=3 是一个间断点.,例 : 考察函数 的间断点.,0,x,y,A(3 , 6),3,(虽然 极限存在),44,解: f (x) 在点 x=3 处没有定义.点 x=3,2,),2,(,lim,),(,lim,2,0,0,0,0,-,=,-,=,-,-,x,x,f,x,x,),(,lim,),(,lim,0,0,0,0,x,f,x,f,x,x,+,-,例 : 讨论函数,-,+,=,2,1,2,),(,2,2,x,x,x,f,当 x0,当 x= 0 的连续性.,当 x0,2,),2,(,lim,),(,lim,2,0,0,0,0,=,+,=,+,+,x,x,f,x,x,解 : , x0 时, 函数的极限不存在., x = 0 点是间断点 , 而其余点是连续的.,0,x,y,+2,-2,45,2)2(lim)(lim20000-=-=-xxfxx,三. 在区间上连续的函数:,1 . f (x)在,开区间,(a , b)上连续 :,如果函数 f (x)在,开区间,(a , b)上每一点都连续 , 则称函数,f (x)在,开区间,(a , b)上连续 .,2 . f (x)在,闭区间,a , b上连续 :,如果函数 f (x) 在,开区间,(a , b)上连续 , 且有,(即 f(x) 在,左端点处右连续,) , , (即 f(x)在,右端点处左连续,) , 则称函数f (x)在,闭区间,a , b上连续.,46,三. 在区间上连续的函数:1 . f (x)在开区间(a ,它们在区间 (- , +)上是连续的.,例:,在区间 (- , +) 是否都连续 ?,例 : y =2x , y = sinx.,在区间 (- , +) 是否都连续 ?,它们在区间 (- , +)上任一点都是连续的.,解 :,解 : x =0 处函数无定义.,函数在 x =0 点处是间断点 , 即在 (- , +)不是都连续的.,47,它们在区间 (- , +)上是连续的.例:在区间 (-,在,闭区间,上,连续函数,的两个性质:,定理1. (最大值最小值定理),在闭区间上的连续函数在该区间上,至少,取得它的最大值和最小值,各一次.,即一段连续曲线必有最高点和最低点.,y,max,y,min,o,x,y,y=f(x),48,在闭区间上连续函数的两个性质:定理1. (最大值最小值定理),定理2. (介值定理):,如果函数 y=f (x)在闭区间a , b上连续 , 且f (a)f (b) , 则对介于,f (a)和 f (b)之间的任何值C,在开区间(a , b)内至少存在一点,使,f ()=C , (ab).,a,1,2,3,b,o,x,y,c,f(a),f(b),其,几何意义,:,连续曲线 y=f(x),与水平直线 y=c,至少相交于一点.,49,定理2. (介值定理):如果函数 y=f (x)在闭区间a,特殊地,若f (a)与f (b)异号,则连续曲线 y=f (x)与x轴至少相交于一点,即方程f(x)=0在区间,a , b内至少有一实根.,a,1,2,3,b,o,x,y,f(b),f(a),50,特殊地,若f (a)与f (b)异号a123boxyf,四. 初等函数的连续性:,1.,一切基本初等函数在其定义域内都是连续的.,2. 连续函数的运算: 利用连续性定义和极限的运算法则即可得出,连续函数的运算法则 :,定理,: 设函数f(x)和g(x)均在x,0,处连续 , 则:,F(x)=f(x)g(x)在点x,0,处连续,F(x)=f(x)g(x)在点x,0,处连续, F(x)=f(x)/g(x)在点x,0,处连续,可推广至多个函数,(即连续函数的和 , 差 , 积 , 商仍是连续函数),51,四. 初等函数的连续性:1. 一切基本初等函数在其定义域内都,在,3. 复合函数的连续性:,),(,u,f,y,=,0,u,u,=,定理 : 设函数,处连续 , 函数,),(,0,0,x,u,j,=,),(,x,f,y,j,=,),(,x,u,j,=,在x =x,0,处连续 , 则复合函数,在 x =x,0,处连续 .,(即连续函数的复合函数是连续函数),0,0,),(,),(,lim,lim,0,0,u,x,x,u,x,x,x,x,=,=,=,j,j,即当 xx,0,时 , u u,0,又函数 y =f (u) 在点 u=u,0,处连续.,则,),(,),(,lim,),(,lim,0,0,0,u,f,u,f,u,f,u,u,x,x,=,=,即,),(,),(,lim,0,0,x,f,x,f,x,x,j,j,=,证明 : ,),(,x,u,j,=,在点 x =x,0,处连续, 复合函数,),(,x,f,y,j,=,在点 x=x,0,处连续.,52,在3. 复合函数的连续性:)(ufy=0uu=定理 : 设函,4.,初等函数,的连续性：,. 一切,初等函数,在其定义域内是连续的.,注: 此结论肯定了一个,初等函数,的定义区间就是这个函数的,连续 区间.,此结论肯定了,初等函数,在其定义区间内任何一点的极限值,就是该点的函数值 , 这就提供了一种非常简单而又实用的,极限计算方法.,53,4. 初等函数的连续性：. 一切初等函数在其定义域内是连续,解: 原式 = lntg/4= ln1= 0,例: 求,tgx,x,ln,lim,4,p,( ln tgx 是初等函数),2,0,1,lim,x,x,+,例: 求,例: 求,解: 原式 =,解: 原式 =,54,解: 原式 = lntg/4= ln1= 0例: 求tgx,