函数的最大值和最小值课件

Ying Yong Shu Xue,山东英才学院,Applied Mathematics,山东英才学院,第四章,Mathematics,山东英才学院,第四章,第四节 函数的极值与最值,函数的极值,函数的最值,第四节 函数的极值与最值函数的极值函数的最值,一、函数的极值,定义：,在其中当,时,(1),则称 为 的,极大值点,称 为函数的,极大值,;,(2),则称 为 的,极小值点,称 为函数的,极小值,.,为极大值点,为极小值点,极大点与极小点统称为,极值点,一、函数的极值定义：在其中当时,(1)则称 为,注意,对常见函数,在可导点处 取得极值，曲线的切线是,水平的.但曲线是水平的地方却不一定取得到极值.,1)函数的极值是函数的,局部性质,.,2)函数的极值只可能出现在区间的,内部,；,为极大值点,为极小值点,不是极值点,出现在区间内部也可能出现在端点处.,而最值可能,可能出现在,导数为0,或,不存在的点,.,极值点是单调区间,的分界点,注意对常见函数,在可导点处 取得极值，曲线的切线是1)函数,函数的极值的判定和求法,设函数,f,(,x,)在点,x,0,处可导，且,x,0,为,f,(,x,)的极值点，则,定理1(极值的必要条件),定理2(判定极值的第一充分条件),设函数,y=f,(,x,)在点,x,0,连续，且在,x,0,的某邻域内可导(点,x,0,可除外).如果在该邻域内,(1)当,x,x,0,时,则,x,0,为,f,(,x,)的极大值点,(2)当,x,x,0,时,则,x,0,为,f,(,x,)的极小值点,驻点,函数的极值的判定和求法设函数 f(x)在点x0处可导，且x,函数的最大值和最小值课件,(4)判定每个驻点和导数不存在的点 两侧(在,x,i,较小的邻域内)的符号，依定理2判定,x,i,是否为,f,(,x,)的极值点.,求函数极值一般步骤为：,(1)求出函数的定义域,(4)判定每个驻点和导数不存在的点,例1,求函数,的极值.,解:,1)求函数的定义域为,2)求导数,3)令,得,而,4)列表判别,不存在,例1 求函数的极值.解:1)求函数的定义域为2)求,定理,3,(极值存在的第二充分条件),则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,注意：,时必须用第一充分条件判断,思考：,在,处的极值情况,定理3(极值存在的第二充分条件)则 在点,例2,求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,例2 求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令,二、函数的最大值和最小值,则其最值只能,在,极值点,或,端点,处达到.,二、函数的最大值和最小值则其最值只能在极值点或端点处达到.,求函数,在连续区间,上的最值和最值点的一般,步骤：,（1）求出,的驻点和导数不存在的点；,（2）计算以上各点的函数值以及,（3）,比较这些函数值，得出函数,在,和最值点,上的最值,求函数在连续区间上的最值和最值点的一般步骤：（1）求出的,例,1,求函数,在 上的最大值和最小值,解:,例1 求函数在 上的最大值和最小值解:,例2,求函数,在区间,上的,最大值和最小值。,解:,因为求的是函数,在区间,上的最值，所以舍去,计算函数在驻点和区间端点处的函数值得：,所以函数,在区间,上的,最大值是12，最小值是-15.,例2 求函数在区间 上的最大值和最小值。解:因为求的是函,特别:,当 在 内只有,一个,极值可疑点时,当 在 上,单调,时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对应用问题,有时可根据,实际意义,判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点.,(小),特别:当 在 内只有一个,要做一个容积为,V,的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？,h,r,设底半径为,r,高为,h,，,总的表面积为,例3,解,即表面积最小.,即高与底面直径相等.,即为最小值点,.,导数左负右正，是极小值点，,要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计,练习,练习,