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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,x,O,y,A,B,F,过抛物线,y,2,=2px(p0),的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),则,(1)|AB|=x,1,+x,2,+p (2),通径长为,2p,第1页/共20页,xOyABF过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和,1,A,X,y,O,F,B,l,A,1,M,1,B,1,M,过抛物线,y,2,=2px(p0),的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),则,(5),以,AB,为直径的圆与准线相切,.,故以,AB,为直径的圆与准线相切,.,第2页/共20页,AXyOFBlA1M1B1M过抛物线y2=2px(p0)的,2,X,y,F,A,O,B,A,1,B,1,过抛物线,y,2,=2px(p0),的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),则,(6),焦点,F,对,A,、,B,在准线上射影的张角为,90,o,。,1,2,3,4,5,6,第3页/共20页,XyFAOBA1B1过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一,3,过抛物线,y,2,=2px(p0),的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),则,(3)x,1,x,2,=p,2,/4;y,1,y,2,=-p,2,;,证明：思路分析：韦达定理,x,O,y,A,B,F,第4页/共20页,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,4,x,O,y,A,B,F,第5页/共20页,xOyABF第5页/共20页,5,F,过抛物线,y,2,=2px(p0),的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),则,(3)x,1,x,2,=p,2,/4;y,1,y,2,=-p,2,;,法,3,：利用性质焦点,F,对,A,、,B,在准线上射影的张角为,90,。,第6页/共20页,F过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,6,代入抛物线得,y,2,m,s,，,练习,(1).,若直线过定点,M(s,0)(s0),与抛物线,y,2,=2px(p0),交于,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),求证,:x,1,x,2,=s,2,;y,1,y,2,=-2ps.,证明：设,AB,的方程为,=m,s,（,m,）,(2).,若直线与抛物线,y,2,=2px(p0),交于,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),且有,x,1,x,2,=s,2,;y,1,y,2,=-2ps.,求证：直线过定点,(s,0)(s0),证明,：,l,y,y,2,=2px,A,M,x,B,第7页/共20页,代入抛物线得y2ms，练习(1).若直线,7,过抛物线,y,2,=2px(p0),的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),则,(4),若直线,AB,的倾斜角为,则,|AB|=2p/sin,2,x,O,y,A,B,F,证明,:,思路分析,|AB|=|AF|+|BF|=,思考：焦点弦何时最短？,过焦点的所有弦中，通径最短,第8页/共20页,过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,8,x,O,y,A,B,F,过抛物线,y,2,=2px(p0),的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),则,第9页/共20页,xOyABF过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和,9,例,2.,过抛物线,y,2,=2px(p0),的焦点,F,的一条直线和抛物线相交于,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),(1)AO,交准线于,C,则直线,CB,平行于抛线的对称轴,.,x,y,F,A,B,C,O,第10页/共20页,例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物,10,例,2.,过抛物线,y,2,=2px(p0),的焦点,F,的一条直线和抛物线相交于,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),(2),过,B,作,BC,准线,l,垂足为,C,则,AC,过原点,O,共线,.(2001,年高考题,),x,y,F,A,B,C,O,第11页/共20页,例2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的一条直线和抛物,11,例,3.,A,、,B,是抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),上的两点，且,OA,OB,，,1.,求,A,、,B,两点的横坐标之积和纵坐标之积；,2.,求证：直线,AB,过定点；,3.,求弦,AB,中点,P,的轨迹方程；,4.,求,AOB,面积的最小值；,5.,求,O,在,AB,上的射影,M,轨迹方程,.,二、抛物线中的直角三角形问题,第12页/共20页,例3.A、B是抛物线 y2=2px(p0)上的两点,12,例,3.,A,、,B,是抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),上的两点，且,OA,OB,，,(1),求,A,、,B,两点的横坐标之积和纵坐标之积；,解答,(1),设,A,(,x,1,y,1,),，,B,(,x,2,y,2,),，中点,P,(,x,0,y,0,),，,OA,OB,k,O,A,k,OB,=-1,，,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0,y,1,2,=2,px,1,，,y,2,2,=2,px,2,y,1,0,y,2,0,y,1,y,2,=,4,p,2,x,1,x,2,=4,p,2,.,第13页/共20页,例3.A、B是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，,13,例,3.,A,、,B,是抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),上的两点，且,OA,OB,，,(2),求证：直线,AB,过定点；,解答,(2),y,1,2,=2,px,1,，,y,2,2,=,2px,2,(,y,1,y,2,)(,y,1,+,y,2,)=2,p,(,x,1,x,2,),AB,过定点,T(2,p,0).,第14页/共20页,例3.A、B是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，,14,同理，以代,k,得,B,(2,pk,2,-2,pk,).,例,3.,A,、,B,是抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),上的两点，且,OA,OB,，,(3),求弦,AB,中点,P,的轨迹方程；,即,y,0,2,=,px,0,-2,p,2,，,中点,M,轨迹方程,y,2,=,px,-2,p,2,(3),设,OA,y,=,kx,，代入,y,2,=2,px,得,:,k,0,，,第15页/共20页,同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例,15,(4),当且仅当,|,y,1,|=|,y,2,|=2,p,时，等号成立,.,例,3.,A,、,B,是抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),上的两点，且,OA,OB,，,(4),求,AOB,面积的最小值；,第16页/共20页,(4)当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.例3.,16,(5),法一：设,M,(,x,3,y,3,),则,例,3.,A,、,B,是抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),上的两点，且,OA,OB,，,(5),求,O,在,AB,上的射影,M,轨迹方程,.,由,(1),知，,y,1,y,2,=-4,p,2,，,整理得：,x,3,2,+,y,3,2,-2,px,3,=0,，,点,M,轨迹方程为,x,2,+,y,2,-2p,x,=0(,去掉,(0,0).,第17页/共20页,(5)法一：设M(x3,y3),则 例3.A、B是抛物,17,M,在以,OT,为直径的圆上,点,M,轨迹方程为,(,x,-,p,),2,+,y,2,=,p,2,去掉,(0,0).,评注：此类问题要充分利用,(2),的结论,.,OMT,=90,又,OT,为定线段,法二：,AB,过定点,T(2,p,0).,7.,A,、,B,是抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),上的两点，且,OA,OB,，,(5),求,O,在,AB,上的射影,M,轨迹方程,.,第18页/共20页,M在以OT为直径的圆上 OMT=90,18,小结：,在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”，应将其找回。,第19页/共20页,小结：在求轨迹方程问题中易于出错是对,19,谢谢大家！,第20页/共20页,谢谢大家！第20页/共20页,20,
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