多元函数的极值及最值(参考)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多元函数的最值应用,一、最值应用问题,函数,f,在闭域上连续,函数,f,在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且,只有一个,极值点,P,时,为极小 值,为最小 值,(,大,),(,大,),依据,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求最值的一般方法,：,将函数在,D,内的所有驻点处的函数值及在,D,的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值,.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值,.,1,、多元函数的最值,解,如图,解,由,无条件极值,：,对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件,.,例,3,：某工厂生产某种产品需要两种原料,A,、,B.,单价分别为,2,万元,/,吨 和,1,万元,/,吨。已知该产,品产量,Q,（单位：吨）与,A,、,B,两种原料的投入,量,x,y,有如下关系：,且该产品的出售价为,5,万元,/,吨，试确定两种,原料,A,、,B,的投入量，使获得利润最大。,解：设所获得利润为,L,，,收入,成本,有问题的实际意义可知最大值一定存在，又求的唯一,驻点。所以函数在驻点处取得最大值。,最大利润为：,L,（,4.8 1.2,）,=229.6,万元,例,3,.,解,:,设水箱长,宽分别为,x,y,m,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为,2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省,?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点,.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（无条件极值,）,例,4.,有一宽为,24cm,的长方形铁板,把它折起来做成,解,:,设折起来的边长为,x,cm,则断面面积,x,24,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大,.,为,问怎样折法才能使断面面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,解得,:,由题意知,最大值在定义域,D,内达到,而在域,D,内只有,一个驻点,故此点即为所求,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、条件极值,极值问题,无条件极值,:,条 件 极 值,:,条件极值的求法,:,方法,1,代入法,.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,求条件极值的方法,（,1,）,代入法：,将条件代入函数，化为无条件极,值问题来解。,（这对于一类其条件的表达形式较简单的问题，是方便的）,（,2,）,Lagrange,乘数法：,构造辅助函数，化为无,条件极值问题。,Lagrange,乘数法求,z=f(x,y),在满足条件,(x,y)=0,时的极值，方法为：,步骤,构造函数,（,为待定常数）,步骤,解方程组,求出实数解,(x,0,y,0,),和,;,步骤,判别求出的点,(x,0,y,0,),是否为极值点,(,通常由实际问,题的实际意义判定,),，并求出极值,z,0,=f(x,0,y,0,),注记,：,以上方法步骤，也适用于三元以上的,多元函数，以及多个条件的情形。,例,5,求表面积为,a,2,，而体积为最大的长,方体的体积，及长、宽、高的尺寸。,解：,x,y,z,解得唯一驻点 ，由题意，知矩形的长,宽高各为 时，其体积最大。,令,方法,2,拉格朗日乘数法,.,如方法,1,所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引入辅助函数,辅助函数,F,称为拉格朗日,(Lagrange),函数,.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足,:,朗日函数求极值的方法称为,拉格朗日乘数法,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形,.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点,.,例如,求函数,下的极值,.,在条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,要设计一个容量为,则问题为求,x,y,令,解方程组,解,:,设,x,y,z,分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小,.,z,使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,机动 目录 上页 下页 返回 结束,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的,2,倍时，所用材料最省,.,因此,当高为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考,:,1),当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何,?,提示,:,利用对称性可知,2),当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价,最省,应如何设拉格朗日函数,?,长、宽、高尺寸如何,?,提示,:,长、宽、高尺寸相等,.,解,则,内容小结,1.,函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点,.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点,.,2.,函数的条件极值问题,(1),简单问题用代入法,如对二元函数,(2),一般问题用拉格朗日乘数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数,确定定义域,(,及约束条件,),3.,函数的最值问题,在条件,求驻点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,