学案6椭圆(教育精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案,6,椭圆,名师伴你行,SANPINBOOK,名师伴你行,SANPINBOOK,考点,1,考点,2,填填知学情,课内考点突破,规 律 探 究,考 纲 解 读,考,向 预 测,考点,3,考点,4,考点,5,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,考 纲 解 读,椭圆,（,1,）掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题,.,（,2,）了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法,.,名师伴你行,SANPINBOOK,考 向 预 测,返回目录,从近两年的高考试题来看，椭圆的定义、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、求椭圆的标准方程是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中等偏高，但试题难度较前几年大大降低，不再作为“压轴”题目；客观题主要考查对椭圆的基本概念与性质的理解及应用；主观题考查较为全面，在考查对椭圆基本概念与性质的理解及应用的同时，又考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力、运算能力以及数形结合思想,.,预测,2012,年高考仍将以椭圆的定义、性质和直线与椭圆的位置关系为主要考点，重点考查运算能力与逻辑推理能力,.,返回目录,1.,椭圆的定义,平面内与两个定点,F,1,，,F,2,的距离的和等于常数（大于,|F,1,F,2,|,）的点的轨迹叫做椭圆,.,这,叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的,.,两个定点,焦距,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,2.,椭圆的标准方程和几何性质,标准方程,图形,性,质,范围,x,y,x,y,对称性,对称轴：,对称中心：,-a,a,-b b,-b b,-a,a,x,轴,y,轴,原点,名师伴你行,SANPINBOOK,性,质,顶点,A,1,A,2,B,1,B,2,A,1,A,2,B,1,B,2,轴,长轴,A,1,A,2,的长为,短轴,B,1,B,2,的长为,焦距,|,F,1,F,2,|=2c(c=),离心率,e=,其中,c=,返回目录,(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0),2a,2b,(0,1),名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,一动圆与已知圆,O,1,：（,x+3,）,2,+y,2,=1,外切，与圆,O,2,：,（,x-3,）,2,+y,2,=81,内切，试求动圆圆心的轨迹方程,.,【,分析,】,两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件,.,考点,1,椭圆的定义,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【,解析,】,两定圆的圆心和半径分别为,O,1,（,-3,，,0,），,r,1,=1,；,O,2,（,3,，,0,），,r,2,=9.,设动圆圆心为,M,（,x,，,y,），半径为,R,，,则由题设条件可得,|MO,1,|=1+R,，,|MO,2,|=9-R.,|MO,1,|+|MO,2,|=10.,由椭圆的定义知，,M,在以,O,1,，,O,2,为焦点的椭圆上，且,a=5,，,c=3.,b,2,=a,2,-c,2,=25-9=16.,故动圆圆心的轨迹方程为,.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,平面内一动点与两个定点,F,1,，,F,2,的距离之和等于常数,2a,，当,2a,|F,1,F,2,|,时，动点的轨迹是椭圆；当,2a=|F,1,F,2,|,时，动点的轨迹是线段,F,1,F,2,；当,2a,|F,1,F,2,|,时，轨迹不存在,.,名师伴你行,SANPINBOOK,已知,ABC,中，,A,（,-1,，,0,），,C,（,1,，,0,），且边,a,，,b,，,c,成等差数列，求顶点,B,的轨迹方程,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,设,B,（,x,，,y,），,a+c,=2b,，,|BC|+|BA|=4.,又,A,，,C,为定点，由椭圆定义知，动点,B,的轨迹是,以,A,，,C,为焦点的椭圆，设其方程为 ，,c=1,，,a=2,，,b,2,=3,，,椭圆方程为,.,又,A,，,B,，,C,不共线，,y0,即,x2.,所求,B,点的轨迹方程为,(x2).,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【,分析,】,利用待定系数法求椭圆方程,.,考点,2,椭圆的标准方程,（,1,）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的,3,倍，并且过点,p(3,0),求椭圆的方程,.,（,2,）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且,经过两点,P,1,（，,1,）,P,2,（,-,-,）,求椭圆的方程,.,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,（,1,）若焦点在,x,轴上，设方程为,（,a,b,0,）,.,椭圆过,P,（,3,，,0,），,.,又,2a=32b,a=3,b=1,方程为,.,若焦点在,y,轴上，设方程为 （,a,b,0,）,.,椭圆过点,P,（,3,，,0,），,又,2a=32b,a=9,b=3.,方程为,.,所求椭圆的方程为 或,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,（,2,）设椭圆方程为,mx,2,+ny,2,=1,（,m,0,n,0,且,mn,）,.,椭圆经过,P,1,，,P,2,点，,P,1,，,P,2,点坐标适合椭圆方程，,6m+n=1,，,3m+2n=1,，,m=,n=.,所求椭圆方程为,则,两式联立，解得,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于,a,，,b,的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为,mx,2,+ny,2,=1,（,m,0,n,0,mn,），由题目所给条件求出,m,，,n,即可,.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,（,1,）已知点,P,在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且,P,到两焦点的距离分别为,5,，,3,，过,P,且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程；,（,2,）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为 ，长,轴长为,8.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,（,1,）设所求的椭圆方程为,(ab0),或,(ab0),由已知条件得,2a=5+3,(2c),2,=5,2,-3,2,，解得,a=4,c=2,b,2,=12,故所求方程为 或,.,(2),由已知得,=a=4,2a=8 c=2,b,2,=16-4=12.,焦点可在,x,轴上,也可在,y,轴上,所求椭圆方程为 或,.,返回目录,考点,3,椭圆的几何性质,名师伴你行,SANPINBOOK,已知椭圆,(a,b,0),的左、右焦点分别为,F,1,（,-,c,，,0,），,F,2,（,c,，,0,）,.,若椭圆上存在点,P,使,则该椭圆的离心率的取值范围为,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,【,分析,】,利用正弦定理得,|PF,1,|,，,|PF,2,|,的关系，结合定义可得,|PF,2,|,，再根据焦点弦长的最大、最小值建立不等关系,.,【,解析,】,在,PF,1,F,2,中，由正弦定理知,即,|PF,1,|=e|PF,2,|,又,P,在椭圆上，,|PF,1,|+|PF,2,|=2a,，将代入得,|PF,2,|=(a-,c,a+c,),同除以,a,得,1-e,1+e,得,-1,e,1.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,(1),求椭圆离心率的题目大致分为两类：一类利用椭圆定义及性质直接得出离心率,e,的式子（或与椭圆的统一定义有关）；另一类利用条件（题设条件）获得关于,a,b,c,的关系式，最后化归为关于,a,c,（或,e,）的关系式（关于,a,c,的齐次方程），再依,e=,化成关于,e,的方程，利用方程思想求离心率,.,(2),椭圆性质的挖掘,设椭圆,=1(ab0),上任意一点,P(x,y,),则当,x=0,时,|OP|,有最小值,b,这时,P,在短轴端点处,;,当,x=a,时,|OP|,有最大值,a,这时,P,在长轴端点处,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,椭圆上任意一点,P(x,y)(y0),与两焦点,F,1,(-c,0),F,2,(c,0),构成的,PF,1,F,2,称为焦点三角形,其周长为,2(a+c).,椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中,a,是斜边，,a,2,=b,2,+c,2,.,过焦点,F,1,的弦,AB,，则,ABF,2,的周长为,4a.,(3),离心率,e=,，在求法中要有整体求值思想或变形为,返回目录,已知,F,1,，,F,2,是椭圆的两个焦点，,P,为椭圆上一点，,F,1,PF,2,=60.,(1),求椭圆离心率的范围；,(2),求证：,F,1,PF,2,的面积只与椭圆的短轴长有关,.,名师伴你行,SANPINBOOK,设椭圆方程为 （,a,b,0,）,|PF,1,|=m,|PF,2,|=n.,在,PF,1,F,2,中,由余弦定理可知,4c,2,=m,2,+n,2,-2mncos60.m+n=2a,m,2,+n,2,=(m+n),2,-2mn=4a,2,-2mn,4c,2,=4a,2,-3mn.,即,3mn=4a,2,-4c,2,.,又,mn,=a,2,(,当且仅当,m=n,时取等号,),4a,2,-4c,2,3a,2,即,e .,e,的取值范围是,1,）,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,返回目录,(2),证明,:,由,(1),知,mn,=b,2,=mnsin60=b,2,即,PF,1,F,2,的面积只与短轴长有关,.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,考点,4,直线与椭圆关系的应用,名师伴你行,SANPINBOOK,2010,年高考课标全国卷设,F,1,F,2,分别是椭圆,E:,工程,(0bb0),的右焦点为,F,过,F,的直线,l,与椭圆,C,相交于,A,B,两点，直线,l,的倾斜角为,60,，,AF=2FB.,(1),求椭圆,C,的离心率；,(2),如果,|AB|=,，求椭圆,C,的方程,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,设,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),由直线,l,的倾斜角为,60,及,AF=2FB,知,y,1,0.,(1),直线,l,的方程为,y=3(x-c),其中,.,联立,y=(,x-c,),得,(3a,2,+b,2,)y,2,+2 b,2,cy-3b,4,=0.,解得,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,因为,AF=2FB,所以,-y,1,=2y,2,即,得离心率,e=.,(2),因为,|AB|=|y,2,-y,1,|,所以,.,由 得,b=a.,所以,a=,得,a=3,b=.,所以椭圆,C,的方程为,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,考点,5,椭圆方程与性质的综合应用,2009,年高考广东卷,已知椭圆,G,的中心在坐标原点，长轴在,x,轴上，离心率为 ，两个焦点分别为,F,1,和,F,2,，椭圆,G,上一点到,F,1,和,F,2,的距离之和为,12.,圆,C,k,:x,2,+y,2,+2kx-4y-21=0(kR),的圆心为点,Ak,.,（,1,）求椭圆,G,的方程；,（,2,）求,AkF,1,F,2,的面积；,（,3,）问是否存在圆,Ck,包围椭圆,G,？请说明理由,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,【,分析,】,由,e=,，,2a=12,，求,a,b,，方程可求；,AkF,1,F,2,的面积代入,S=ah;,只要椭圆的长轴端点在圆,C,k,内，则圆,C,k,包围椭圆,G.,【,解析,】,（,1,）设椭圆,G,的方程