隐函数的求导方法（精编ppt课件）

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,精品课件,*,目录 上页 下页 返回 结束,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,精品课件,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章,第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,1),方程在,什么条件,下才能确定隐函数,.,例如,方程,C,0,时,不能确定隐函数,2),方程能确定隐函数时,研究其,连续性,可微性,及,求导方法,问题,.,本节讨论,:,精品课件,第九章 第五节一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,什么是隐函数？,显函数,:,精品课件,一、一个方程所确定的隐函数及其导数什么是隐函数？显函数:精品,隐函数,:,二元方程,一元隐函数,如,有时可以将隐函数显化：,精品课件,隐函数:二元方程一元隐函数如有时可以将隐函数显化：精品课件,精品课件,精品课件,精品课件,精品课件,精品课件,精品课件,精品课件,精品课件,定理,1.,设函数,则方程,单值连续函数,y=f,(,x,),并有连续,(,隐函数求导公式,),定理证明从略，,仅就求导公式推导如下：,具有连续的偏导数,;,的,某邻域内,可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,精品课件,定理1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并,两边对,x,求导,在,的某邻域内,则,精品课件,两边对 x 求导在的某邻域内则精品课件,例,1,方法一（公式法）,精品课件,例1方法一（公式法）精品课件,例,1,方法二（直接求导法）,方程两边对,x,求导，把,y,视为函数。,精品课件,例1方法二（直接求导法）方程两边对 x 求导，把 y 视为函,例,1,方法三（微分法）,方程两边同时微分,精品课件,例1方法三（微分法）方程两边同时微分精品课件,若,F,(,x,y,),的二阶偏导数也都连续,二阶导数,:,则还可求隐函数的,精品课件,若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则,由一个三元方程确定的隐函数,二元显函数：,精品课件,由一个三元方程确定的隐函数二元显函数：精品课件,二元隐函数：,三元方程,二元隐函数：,如,可以显化,精品课件,二元隐函数：三元方程二元隐函数：如可以显化精品课件,精品课件,精品课件,精品课件,精品课件,定理,2.,若函数,的某邻域内具有,连续偏导数,;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数,z=f,(,x,y,),定理证明从略,仅就求导公式推导如下,:,满足,在点,满足,:,某一邻域内可唯一确,精品课件,定理2.若函数 的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有,两边对,x,求偏导,同样可得,则,精品课件,两边对 x 求偏导同样可得则精品课件,例,2,方法一（公式法）,精品课件,例2方法一（公式法）精品课件,例,2,方法二（求偏导）,方程两边对,x,求偏导，把,z,视为函数，,y,视为常数。,精品课件,例2方法二（求偏导）方程两边对 x 求偏导，把 z 视为函数,例,2,方法三（微分法）,方程两边同时微分,精品课件,例2方法三（微分法）方程两边同时微分精品课件,例,2,精品课件,例2精品课件,解,令,则,精品课件,解令则精品课件,练习,解：,精品课件,练习解：精品课件,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形,.,由,F,、,G,的偏导数组成的行列式,称为,F,、,G,的,雅可比 行列式,.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,雅可比,精品课件,二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到,定理,3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的,单值连续函数,且有偏导数公式,:,在点,的某一邻域内可,唯一,确定一组满足条件,满足,:,导数；,精品课件,定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数,定理证明略,.,仅推导偏导数公式如下：,(P85),精品课件,定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P85)精品课件,有隐函数组,则,两边对,x,求导得,设方程组,在点,P,的某邻域内,解的公式,故得,系数行列式,精品课件,有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内解的,同样可得,精品课件,同样可得精品课件,例,3.,设,解:,方程组两边对,x,求导，并移项得,求,练习,:,求,答案,:,由题设,故有,精品课件,例3.设解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习:求答,例,3.,设,求,解,法,2,（微分法）,方程组两边同时微分,用,Gramer,法则,精品课件,例3.设求解法2（微分法）方程组两边同时微分用Gramer,显然，利用全微分法求偏导数更简便,精品课件,显然，利用全微分法求偏导数更简便精品课件,例,4.,设函数,在点,(,u,v,),的某一,1),证明函数组,(,x,y,),的某一邻域内,2),求,解,:,1),令,对,x,y,的偏导数,.,在与点,(,u,v,),对应的点,邻域内有连续的偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且具有,连续偏导数的反函数,精品课件,例4.设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,式两边对,x,求导,得,则有,由,定理,3,可知结论,1),成立,.,2),求反函数的偏导数,.,精品课件,式两边对 x 求导,得则有由定理 3 可知结论 1)成,从方程组,解得,同理,式两边对,y,求导,可得,精品课件,从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得精品课件,例,4,的应用,:,计算极坐标变换,的反变换的导数,.,同样有,所以,由于,精品课件,例4的应用:计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由,内容小结,1.,隐函数,(,组,),存在定理,2.,隐函数,(,组,),求导方法,方法,1.,利用复合函数求导法则直接计算,;,方法,2.,利用微分形式不变性,;,方法,3.,代公式,.,思考与练习,设,求,精品课件,内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组),提示,:,精品课件,提示:精品课件,解法,2.,利用全微分形式不变性同时求出各偏导数,.,第六节,由,d,y,d,z,的系数即可得,作业,P89 2,8,，,9,10,(1);(3),精品课件,解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第六节 由,备用题,分别由下列两式确定,:,又函数,有连续的一阶偏导数,1.,设,解,:,两个隐函数方程两边对,x,求导,得,(,考研,),解得,因此,精品课件,备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.,2.,设,是由方程,和,所确定的函数,求,解法,1,分别在各方程两端对,x,求导,得,(,考研,),精品课件,2.设是由方程和所确定的函数,求解法1 分别在各方,解法,2,微分法,.,对各方程两边分别求微分,:,化简得,消去,可得,精品课件,解法2 微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得精,二元线性代数方程组解的公式,解,:,精品课件,二元线性代数方程组解的公式解:精品课件,雅可比,(1804,1851),德国数学家,.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础,.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作,.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积,分中,.,他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微,分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献,.,他在柯尼斯堡大学任教,18,年,形成了以他为首的学派,.,精品课件,雅可比(1804 1851)德国数学家.他在数学方面最,作业,P89 2;8;9;,精品课件,作业精品课件,