常数变易法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第五章 微分,在许多实际问题中，会遇到复杂的运动过程，表达运动规律的函数往往不能直接得到。但是根据问题所给的条件，有时可以得到含有自变量与未知函数及其导数（微分）的关系式。,这样的关系式叫做微分方程。微分方程建立后，对它进行研究，即找出未知函数，这就是解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法。,1,第一节 微分方程的基本概念,下面通过几何、物理学、电学的几个具体,例题来阐明微分方程的基本概念,。,5.1.1,基本概念,2,例,1,已知曲线上任一点出的切线斜率等于这边横坐标的两倍，试建立曲线满足的关系式。根据导数的几何意义，我们知道所求曲线应满足关系,3,例,2.,质量为,m,的物体只受重力的作用而自由降落，试建立物体所经过的路程,s,与时间,t,的关系。把物体降落的铅垂线取作,s,轴，其指向朝下（朝向地心）。设物体在时刻,t,的位置为,s,s(t),。物体受重力,F=mg,的作用而自由下落，物体下落运动的加速度 由牛顿第二定律,F=ma,，得物体在下落过程中满足的关系式为,4,凡表示未知函数与未知函数导数以及自变量之间的关系式，叫做,微分方程,.,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做,(,n,阶,显式,微分方程,),微分方程的基本概念,一般地,n,阶常微分方程的形式是,微分方程的阶,.,或,5,例,4,满足微分方程的函数,.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件,.,n,阶方程的,初始条件,(,或初值条件,),:,的阶数相同,.,特解,例,3,通解,:,特解,:,微分方程的,解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为,积分曲线,.,6,例,5.,验证函数,是微分方程,的解,的特解,.,解,:,这说明,是方程的解,.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得,:,故所求特解为,故它是方程的通解,.,并求满足初始条件,7,第二节 一阶,微分方程,一阶微分方程是含 及,的方程。,它的一般形式是,最简单的一阶微分方程是,8,5.2.1,解的存在与唯一性定理,定理,解的存在与唯一性定理,对于微分方程,和初值条件,如果,，,在矩形区域,内连续，,而且对于 适合利普希茨条件,则初值问题在区间,上存在唯一解，其中常数,9,解分离变量方程,可分离变量方程,5.2.2,解的存在与唯一性定理,10,微分方程,分离变量,是否可分离变量,y,2,xy,3,x,2,5,x,y,0,x,2,y,2,),dx,xydy,=0,y,1,x,y,2,xy,2,y,10,x,y,如果一个一阶微分方程能写成,g,(,y,),dy,f,(,x,),dx,(,或写成,y,(,x,),(,y,),的形式,那么原方程就称为可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程,:,是,不是,不是,是,是,是,y,1,dy,2,xdx,dy,(3,x,2,5,x,),dx,y,(1,x,)(1,y,2,),10,y,dy,10,x,dx,11,可分离变量的微分方程的解法,两端积分,方程,G,(,y,),F,(,x,),C,y,F,(,x,),或,x,Y,(,y,),都是方程的通解,其中,G,(,y,),F,(,x,),C,称为隐式,(,通,),解,求显式解,求方程由,G,(,y,),F,(,x,),C,所确定的隐函数,y,F,(,x,),或,x,Y,(,y,),如果一个一阶微分方程能写成,g,(,y,),dy,f,(,x,),dx,(,或写成,y,(,x,),(,y,),的形式,那么原方程就称为可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,分离变量,将方程写成,g,(,y,),dy,f,(,x,),dx,的形式,12,例,1.,求微分方程,的通解，和满足初值,条件 的特解,.,例,2.,求方程 的通解,.,可化为分离变量的微分方程,作变量代换,例,5.,求微分方程,的通解,.,13,补例,1.,求微分方程,的通解,.,解,:,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数,),或,说明,:,在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解,.,(,此式含分离变量时丢失的解,y,=0,),14,补例,2.,解初值问题,解,:,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,=1,(,C,为任意常数,),故所求特解为,15,2.,一阶齐次微分方程,形如,的方程叫做,齐次方程,.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替,u,便得原方程的通解,.,解法,:,分离变量,:,16,原方程可写成,解,分离变量,得,两边积分,得,u,ln|,u,|,C,ln|,x,|,或写成,ln|,xu,|,u,C,17,例,2,求解微分方程,解,微分方程的解为,18,一阶线性微分方程一般形式,:,若,Q,(,x,),0,若,Q,(,x,),0,称为,非齐次方程,.,称为,齐次方程,;,考察下列方程是否是,(,或能否化为,),线性方程？,是非齐次线性方程,y,3,x,2,5,x,是非齐次线性方程,(2)3,x,2,5,x,y,0,(3),y,y,cos,x,e,sin,x,5.2.3,一阶线性微分方程,19,1.,一阶线性齐次微分方程的通解,分离变量,两边积分得,故通解为,2.,一阶线性非齐次微分方程的通解,（,1,）,定理,一阶线性非齐次微分方程的通解，等于它的任意一个特解加上与其相应的一阶线性齐次微分方程的通解,.,20,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,（,2,）常数变易法,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,21,例,1.,解方程,解,:,方法一,先解,即,积分得,即,用,常数变易法,求特解,.,令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,22,方法二,(,公式法,),由通解公式得,例,2.,解方程,23,解,:,可化为,关于,x,的一阶线性方程,例,3.,解方程,这里,24,伯努利,(Bernoulli),方程,伯努利方程的标准形式,:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解,.,解法,:,(,线性方程,),25,例,4.,求方程,的通解,.,解,:,令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解,:,26,