第12章参数模型功率谱估计课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,12,章：参数模型功率谱估计,12.1,平稳随机信号的参数模型：,该参数模型的思路是：,（,1,）假定所研究的过程 由一个输入序列,激励一个线性系统的 输出，如图：,（,2,）由已知的 ，或者其自相关函数 来,估计 的参数。,第12章：参数模型功率谱估计12.1 平稳随机信号的参数模型,12.1,平稳随机信号的参数模型：,（,3,）由 的参数来估计 的功率谱。,不论 是确定性信号还是随机信号，对上图所示的线性系统，和 之间总有如下的输入输出关系：,(12.1.1),(12.1.2),12.1 平稳随机信号的参数模型：（3）由 的参,12.1,平稳随机信号的参数模型：,对上式两边分别取,z,变换，并假定 ，可,得：,(12.1.3),(12.1.4a),(12.1.4b),(12.1.4c),12.1 平稳随机信号的参数模型：对上式两边分别取z变换，并,12.1,平稳随机信号的参数模型：,为了保证 是一个稳定的且是最小相位系,统，的零点都应在单位圆内。,假定 是一个方差为 的白噪声序列，,由随机信号通过线性系统的理论可知，输出,序列 的功率谱：,（,12.1.5,）,12.1 平稳随机信号的参数模型：为了保证 是一,12.1,平稳随机信号的参数模型：,AR,模型：,在 中，如果：,（,1,）全为零，那么 ，,，分别变成：,（,12.1.1,）,(12.1.1),(12.1.3),(12.1.5),(12.1.6),(12.1.7),(12.1.8),12.1 平稳随机信号的参数模型：AR模型：（12.1.1）,12.1,平稳随机信号的参数模型：,MA,模型：,（,2,）全为零，那么 ，,，全变成：,(12.1.1),(12.1.3),(12.1.5),(12.1.9),(12.1.10),(12.1.11),12.1 平稳随机信号的参数模型：MA模型：(12.1.1),12.1,平稳随机信号的参数模型：,ARMA,模型：,（,3,）若 ，不全为零，则 给出的模型为自回归,移动平均模型，简称,ARMA,模型，显然此模型是一个既有极点，又有零点的模型。,总结：,由于,ARMA,模型是一个极,零模型，它易于反映功率谱中的峰值和谷值。,AR,模型易反映谱的中峰值，而,MA,模型易反映谱中的谷值。,(12.1.1),12.1 平稳随机信号的参数模型：ARMA模型：(12.1.,12.2 AR,模型的正则方程与参数计算,假定 、都是实平稳的随机信号，为白噪声，方差为 ，现在我们建立,AR,模型的参数 和 的自相关函数的关系，也就是,AR,模型的正则方程（,Yule-Walker,方程）。,(12.2.4),12.2 AR模型的正则方程与参数计算 假定,12.2 AR,模型的正则方程与参数计算,上式可简单的表示为：,(12.2.5),12.2 AR模型的正则方程与参数计算上式可简单的表示为：(,12.2 AR,模型的正则方程与参数计算,(12.2.6),(12.2.7),(12.2.8),12.2 AR模型的正则方程与参数计算(12.2.6)(12,12.2 AR,模型的正则方程与参数计算,(12.2.9),(12.1.10),(12.2.11),12.2 AR模型的正则方程与参数计算(12.2.9)(12,将这两个方程和,AR,模型的正则方程相比较，可以看出他们及其相似，因为 是同一个随机信号，若线性预测器的阶次和,AR,模型的阶次一样，那么有：,上两式说明，一个,p,阶,AR,模型的 个参数,同样可以用来构成一个,P,阶的最佳线性预测器。所以,AR,模型和线性预测器是等价的，由此可以看出，,AR,模型是在最小平方意义上对数据的拟合。,12.2 AR,模型的正则方程与参数计算,将这两个方程和AR模型的正则方程相比较，可以看出他们及,12.2 AR,模型的正则方程与参数计算,Levinson-Durbin,递推算法：,Levinson-Durbin,递推算法从低阶开始递推，直到阶次,p,，给出了在每一个阶次时的所有参数，即,这一特点有利于选择,AR,模型的合适阶次。,12.2 AR模型的正则方程与参数计算 Levinson-D,12.2 AR,模型的正则方程与参数计算,上述算法的递推导是建立在 的前 个自相关函数已知的基础上，但在实际的工作中，往往不能精确的知道 的自相关函数，而知道的仅仅是,N,点数据，即 ，为此，可以这样：,1,）首先由 估计 的自相关函数，得,2,）用 代替上述递推算法中的 ，重新求解,Yule-Walker,方程，这时求出的,AR,模型参数是真实参数的估计值，即,12.2 AR模型的正则方程与参数计算 上述算法的递推导,由这些参数，得到 的功率谱 的估计，即：,对 在单位圆上均匀抽样，设分点为,N,个，则得到离散谱：,12.2 AR,模型的正则方程与参数计算,12.2 AR模型的正则方程与参数计算,12.2 AR,模型的正则方程与参数计算,式中,这样上式可用,FFT,快速计算。,12.2 AR模型的正则方程与参数计算,12.3 AR,模型谱估计的性质及阶次,p,的选择,12.3.1 AR,模型谱估计的性质,1,谱的平滑性,谱比周期图谱平滑的多。,2,）谱的分辨率,经典谱估计的分辨率反比于使用的信号长度，现代谱估计的分辨率不受此限制。,3,）谱的匹配性质,在整个频率范围内，和 相跟随，但在每一局部处，它跟随 的峰点要比跟随谷点的程度好。,12.3 AR模型谱估计的性质及阶次p的选择12.3.1,12.3.1 AR,模型谱估计的性质,4,）谱的统计特性,谱的方差反比于数据 的长度 和信噪比 。,5,）模型谱估计方法的不足,其一，谱的分辨率和求 模型时所使用的信号的信噪比 有着密切的关系。信噪比越小，谱的分辨率降低的越明显。,其二，如果 是含有噪声的正弦信号，在应用时发现，谱峰的位置易受 的初相位的影响，,12.3.1 AR模型谱估计的性质4）谱的统计特性,12.3.1 AR,模型谱估计的性质,且在有的算法中，还可能出现,“,谱线分裂,”,的现象，即在本来应只有一个谱线的位置附近分裂成两个谱线。,其三，谱估计的质量受到阶次,p,的影响。,P,选的过低，谱太平滑，反映不出谱峰。,P,选的过大，可能产生虚假的峰值。,12.3.1 AR模型谱估计的性质 且在有的算法中，还可能,12.3.2 AR,模型阶次的选择,AR,模型的阶次,p,是单调下降的，直观上讲，当模型的最小误差功率 达到所指定的希望值，或是不再发生变化时，其时的阶次即是要选的正确阶次。因此，降到多少才合适，有几个不同的准则被提出，常用的有两个：,（,1,）最准预测误差准则：,12.3.2 AR模型阶次的选择 AR模型的阶次p是单调,12.3.2 AR,模型阶次的选择,（,2,）信息论准则：,其中 为数据 的长度，当阶次 由,1,增加时，和 都将在某一个 处取得极小值。将此时的 定为最合适的 。在实际运用时发现，当数据较短时，它们给出的阶次偏低，且二者给出的结果基本上是一致的。上面两式仅为阶次选择提供一个依据，究竟阶次取多少为好，还要在实践中由所得到的结果作多次比较后，予以确定。,12.3.2 AR模型阶次的选择（2）信息论准则：,12.4 AR,模型的稳定性及对信号建模问题的讨论,12.4.1 AR,模型的稳定性,重新定义自相关矩阵 为：,并记其行列式的值为 。用三个结论来说明矩阵 的性质与,AR,模型稳定性的关系。,12.4 AR模型的稳定性及对信号建模问题的讨论12.4.1,12.4.1 AR,模型的稳定性,结论一：如果 是正定的，那么，由,Yule-Walker,方程解出的 构成的,阶,AR,模型是稳定的，且是唯一的。也即 的零点都在单位圆内。此性质称为,AR,模型的最小相位性质。,结论二：若 由 个复正弦组成，即,12.4.1 AR模型的稳定性 结论一：如果 是正,12.4.1 AR,模型的稳定性,式中 为常数，是在 内均匀分布的零均值随机变量，的自相关函数为,:,则由前 个值 组成的自相关矩阵 是奇异的，而 是正定的，即：,12.4.1 AR模型的稳定性 式中 为常,12.4.1 AR,模型的稳定性,结论三：如果 由 个正弦组成（实的或复的），则 是完全可以预测的，即预测误差等于零。,结论二指出了 何时奇异何时正定的条件，它和结论三一起正弦信号的某些性质。特别说明，用,AR,模型对纯正弦信号建模是不合适 的，会出现自相关矩阵为奇异的情况，要克服自相关阵奇异的情况，最常用的方法是加上白噪声，这样 不会等于零。,12.4.1 AR模型的稳定性 结论三：如果 由,12.4.2,关于信号建模问题的讨论,*,信号建模的本质：,准确建模的定义：,设平稳随机过程 存在 阶模型，使得模型的输出 在 阶统计特性上和 的同阶统计特性相一致，则把 称为 阶统计意义上可准确建模的随机过程，而把改模型称作在 阶统计意义上的准确模型。,12.4.2 关于信号建模问题的讨论,12.6 AR,模型系数的求解算法,12.6.1,自相关法,令,则（,12.5.13,）可写为：,令,12.6 AR模型系数的求解算法 12.6.1 自相关法,12.6.1,自相关法,由最小平方原理，并将前面的式子互相代入，,得到：,此式即是,(12.2.5),式的,Yule-Walker,方程和（,12.2.10,）、（,12.2.11,）式的,Wiener-Hopf,方程,由此得出结论：,12.6.1 自相关法,12.6.1,自相关法,（,1,）由 个自相关函数，利用 递归求解 方程所得到的,AR,模型的参数等效于前向预测器的系数。,AR,模型激励白噪声的方差 等效与前向预测的最小预测误差功率 。,（,2,）,AR,模型的自相关法等效与对前向预测的误差序列 前后加窗，加窗的结果是使得自相关法的分辨率降低。数据越短，分辨率越好。,12.6.1 自相关法（1）由 个自相关函数，利用,12.6.1,自相关法,（,3,）也正是因为 的 是从 至 ，故矩阵积 才是 型自相关阵。如若使用 ，或 ，对应的矩阵积将不再是 阵。因此，自相关法也是已知所有,AR,系数求解方法中最简单的一种。,12.6.1 自相关法,12.6.2 Burg,算法,Burg,算法是建立在数据基础上的,AR,系数求解的有效算法。其特点是：,1,，令前后向预测误差功率之和,为最小，而不是像自相关法那样仅令 为最小。,2,，和 的求和范围不是 至 ，,而是从 至 ，这等效使用 ，前,后都不加窗，这时：,12.6.2 Burg算法 Burg算法是建立在数据基础,12.6.2 Burg,算法,3,，在上式中，当阶次,m,由,1,至,p,时，,有如下的递推关系：,12.6.2 Burg算法,12.6.2 Burg,算法,将,(12.6.9),、,(12.6.10),、,(12.6.11),代入,中，令 ，可得使 为最小的 为：,按此式估出的 满足 。,4,，按上式估计出 后，在阶次 时的,AR,模型,12.6.2 Burg算法将(12.6.9)、(12.6.1,12.6.2 Burg,算法,系数仍然由,Levinson,算法递推求出：,上两式是假定在第 阶时的,AR,参数已求出。,由于,Burg,算法具有以上特点，所以,Burg,算法比自相关算法有着较好的分辨率，但对于白噪声加正弦信号，有时可能会出现前面所提到的谱线分裂现象。,12.6.2 Burg算法 系数仍然由Levinson算法,Burg,算法的递推步骤：,1,）由初始条件 ，再由（,12.6.12,）式求出 ；,2,）由 得 时的参数：,；,3,）由 和,(12.6.11),求出 ，再由,(12.6.12),式估计 ；,4,）依照,(12.6.13),和,(12.6.14),式的,Levinson,递推关系，