直线和抛物线

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,直线和抛物线,分析,:,直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；,另一种是直线与抛物线相切,判断直线与抛物线位置关系的流程,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的,对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,0,=0,0,分析,:,直线与抛物线没有公共点时,0,注,:,在方程中,二次项系数含有,k,所以要对,k,进行讨论,作图要点,:,画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点,P,转动的情形,变式一,:,已知抛物线方程,y,2,=4x,当,b,为何值时,直线,l:y,=,x+b,与抛物线,(1),只有一个公共点,(2),两个公共点,(3),没有公共点,.,当直线与抛物线有公共点时,b,的最大值是多少,?,分析,:,本题与例,1,类型相似,方法一样,通过联立方程组求得,.,(1)b=1 (2)b1,当直线与抛物线有公共点时,b,的最大值当直线与抛物线相切时取得,.,其值为,1,变式二,:,已知实数,x,、,y,满足方程,y,2,=4x,求函数,的最值,变式三,:,点,(,x,y,),在抛物线,y,2,=4x,上运动,求函数,z=,x-y,的最值,.,本题转化为过定点,(-2,1),的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题,.,本题转化为直线,y=,x-z,与抛物线有公共点时,z,的最值问题,.,无最大值,O,y,x,l,P,O,y,x,A,B,P,知,识,迁,移,例,2.,过抛物线焦点,F,的直线交抛物线于,A,B,两点,通过点,A,和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点,D,求证,:,直线,DB,平行于抛物线的对称轴,.,x,O,y,F,A,B,D,例,3,设,A,、,B,是抛物线,y,2,2,px,(,p,0),上的两点，且,OA,OB,.,(1),求,A,、,B,两点的横坐标之积和纵坐标之积；,(2),求证：直线,AB,过定点；,(3),求弦,AB,中点,P,的轨迹方程；,(4),求,AOB,面积的最小值,AB,过定点,(2,p,0),，设,M,(2,p,0),当,x,1,x,2,时，,AB,仍然过定点,(2,p,0),中点,P,的轨迹方程为,y,2,px,-,2,p,2,.(,p,0),(4),S,AOB,S,AOM,S,BOM,|,OM,|(|,y,1,|,|,y,2,|),p,(|,y,1,|,|,y,2,|),2,p,4,p,2,，,当且仅当,|,y,1,|,|,y,2,|,2,p,时，等号成立，,故,AOB,面积的最小值为,4,p,2,.,y,O,x,B,A,练习,：,练习：等腰直角三角形,AOB,内接于抛物线,y,2,=2px(P0),O,为抛物线的顶点,OAOB,则,AOB,的面积为,A.8p,2,B.4p,2,C.2p,2,D.p,2,变式,：已知直线,l,：,x=2p,与抛物线,=2px(p0),交于,A,、,B,两点，求证：,OAOB.,证明：由题意得，,A(2p,2p),B(2p,-2p),所以,=1,，,=-1,因此,OAOB,推广,1,若直线,l,过定点,(2p,0),且与抛物线,=2px(p0),交于,A,、,B,两点，求证：,OAOB.,x,y,O,y,2,=2px,A,B,L,:x=2p,C(2p,0),x,y,O,y,2,=2px,A,B,l,C(2p,0),证明：,设,l,的方程为,y=k(x-2p),或,x=2p,所以,OAOB.,代入,y,2,=2px,得，,可知,又,直线,l,过,定点,(2p,0),推广,2,：,若直线,l,与抛物线,=2px(p0),交于,A,、,B,两点，且,OAOB,，则,_,x,y,O,y,2,=2px,A,B,l,C(2p,0),验证：由 得,所以,直线,l,的,方程为 即,而因为,OAOB,，,可知 推出 ，代入,得到直线,l,的方程为,所以直线过定点（,2p,0).,高考链接：过定点,Q,（,2p,0),的直线与,y,2,=2px,（,p,0,）,交于相异两点,A,、,B,，,以线段,AB,为直径作圆,H(H,为圆心），试证明抛物线顶点在圆,H,上。,小结,:,1.,掌握抛物线的,几何性质,:,范围、对称性、顶点、离心率、通径,;,2.,会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题,;,